Inleiding

Formele Logica

Voordelen van formalisering en toepassing van logica.

1. Waarheidsclaims

Logica is allereerst toepasbaar op gedachten en denkbeelden, waarin op zijn minst wordt aangenomen dat iets waar is of zou kunnen zijn. Maar dat zijn vrijwel alle gedachten en denkbeelden: er wordt altijd wel íets voor waar gehouden. (Zelfs in zinnen als 'Niets is waar' of 'Waarheid bestaat niet').
De toepasselijkheid van logica is daarom zeker niet beperkt tot stellingen met een expliciete waarheidsclaim. Elk idee of zelfs maar vermoeden van waarheid herbergt onvermijdelijk oneindig veel logische implicaties, zeker wanneer het kader, universum of domein onbegrensd is. Bijvoorbeeld, als ik zeg 'Ik heb een fiets' dan zeg ik per implicatie oneindig veel méér, zoals: 'Ik heb een fiets en/of een vliegtuig en/of ..' enzovoorts.
Zelfs over volkomen fictieve of virtuele werelden kunnen we prima over waarheid redeneren. Bijvoorbeeld, de zin 'De kerstman heeft een witte baard' heeft binnen een bepaald kader de voorkeur boven 'De kerstman heeft een rode baard'.
Verder is stellen dat iets niet waar is, oftewel onwaar, eveneens een bewering over waarheid of waarheidsgehalte van iets.
Kortom, vrijwel alle soorten informatie, taaluitingen en voorstellingen lenen zich voor analyse op logische kenmerken en implicaties.

Elk aspect van een bepaalde hoeveelheid informatie dat iets 'zegt' over de (on)waarheid van een bepaalde toedracht, impliciet of expliciet, kunnen we een waarheidsbewering noemen.
De kleinste afzonderlijke, herkenbare waarheidsbewering in een hoeveelheid gegevens noemen we een elementaire bewering.

2. Beoordelen van redeneringen

Meerdere elementaire beweringen kunnen samen elementen vormen in een groter geheel, een redenering.

Combinatie van beweringen = redenering.


Vaak herkennen we een redenering in taaluitingen, als een reeks achtereenvolgende uitspraken, of in gedachtegangen, als een reeks denkstappen. Maar in feite herbergt elke denkbare voorstelling van zaken, elke hoeveelheid informatie, een verzameling van minstens één bewering, en dus een redenering in logische zin. Het maakt niet uit of die 'gelijktijdig' ge(re)presenteerd worden keten'.

Uit de manier waarop stellingen gecombineerd worden kunnen we voorspellen welke 'betekenis-effecten' deze hebben op andere stellingen of op de gehele redenering. In het geval van stellingen is dat op het punt van 'waarheidswaarde' en in het geval van redeneringen op het punt van 'geldigheid'.

Definitie:

Geldigheid betekent dat de combinatie van één of meer beweringen, in een redenering of andere voorstelling van zaken, altijd waar is, ongeacht het waarheidsgehalte van de afzonderlijke beweringen.

Om redeneringen zo goed mogelijk te kunnen beoordelen hebben we kennis van logische wetten nodig.

3. Inhoudsvrij redeneren

In de logica werken we met stellingen en redeneringen die ontdaan zijn van 'inhoud' en daardoor algemeen toepasbaar zijn - ongeacht het onderwerp of het gebied van de werkelijkheid (domein) waar we uitspraken over doen.
Bijvoorbeeld als we zeggen 'Niet alle beweringen zijn waar' dan is dat logisch hetzelfde als zeggen 'Minstens één bewering is niet waar'. Het maakt daarbij niet uit van de specifieke inhoud van die beweringen is.

Afzonderlijke stellingen - of elementaire beweringen - leveren in combinatie samengestelde beweringen op, oftewel redeneringen.
Zo kunnen we redeneren

We kunnen bijvoorbeeld redeneren van

4. Mogelijkheden die de logica biedt.

Kort gezegd biedt logica de volgende interessante mogelijkheden:

5. Bewijsvoering in de logica.

De logica biedt een enorme vrijheid om creatieve ideeën te ontwikkelen, maar zonder bewijs houden deze de status van voorlopige aannamen. Er kan in de logica dus heel veel worden verondersteld, maar niets worden gesteld als waar zonder een perfecte, sluitende bewijsvoering.

Logische bewijsvoering kan op verschillende niveau's van abstractie plaatsvinden: gericht op de waarheidswaarde van beweringen, of de geldigheid van redeneringen, of nog abstracter, de beslisbaarheid van die geldigheid.
Vooral het bewijzen van logische geldigheid is van belang omdat daarmee de logische regels en wetten kunnen worden bepaald die onmiddellijk bruikbaar zijn voor correcte redenering en steekhoudende conclusies, ongeacht het specifieke onderwerp.

6. Inhoudsvrij bewijzen.

Als eerste leent de logica zich bij uitstek voor 'inhoudsvrije bewijsvoering': beweringen en voorstellingen worden niet beoordeeld op hun inhoud, maar op hun opbouw en samenhang, met name hun logische structuur. Dat heeft het voordeel dat de bewijsvoering niet afhankelijk is van de specifieke inhoud met haar vrijwel oneindig variërende details.

Een inhoudsvrije bewijsvoering berust op een beoordeling van beweringen en denkbeelden op hun logische structuurkenmerken. De logica biedt hier volkomen eenduidige richtlijnen voor: formele regels. Als regels of andere onderscheidingen niet eenduidig zijn dan vallen ze ook per definitie buiten de logica.

Definitie:

van een formele logica.
Een formele logica, of formeel logisch systeem: verschaft een kunstmatig, formeel beslissingskader, waarbinnen beweringen en redeneervormen in formulevorm kunnen worden geanalyseerd en beoordeeld.
"De formele logica is de theorie van de formeel geldige redeneringen" (Kutchera & Breitkopf, 1972, p.11).

7. Hoofdfasen in formele bewijsvoering

Een inhoudsvrije bewijsvoering vereist op zijn minst twee stappen of hoofdfasen:


Een stelling in de formele logica geeft louter een schema van relaties weer: dat bestaat uit de uiterlijke vorm, d.w.z. de expliciete syntactische structuur, en impliciet de 'lezing' van die vorm, de impliciete semantische structuur.

Een uitdrukking waarvan de precieze waarde (waarheidswaarde, kwantificatie of verwijzingsgebied) (nog) niet bepaald is, wordt in de logica indeterminaat genoemd (onbestemd, onbepaald).

Logische bewijsvoering maakt in ieder geval gebruik van de interpretatieregels voor het beslissen over de waarheidswaarde van beweringen en de geldigheid van redeneringen.

Een formele bewijsmethode is alleen bedoeld voor extensionele toepassingen. Dit betekent dat de bewerkingen altijd (1) op expliciete vormkenmerken horen plaats te vinden en (b) dit uitsluitend volgens de expliciet e vormvoorschriften van de taal. Hierdoor blijven ze onafhankelijk van de inhoudelijke betekenis of interpretatie van de logische expressies.

8. Formeel logisch systeem

Inhoudsvrije bewijsvoering gebeurt met behulp van een formeel systeem.
Een logisch systeem is in feite een kunstmatige taal die voorschriften geeft over zowel de mogelijke uitdrukkingsvormen (zinnen) als de mogelijke betekenissen (waarheidswaarden) van beweringen in die taal. Daarom bestaat een formele logica uit een samenhangend geheel (een stelsel) van uitdrukkingsvormen en regels. Deze zijn op basis van hun functie geordend in een aantal groepen (componenten ).

Syntax en semantiek.

Analoog aan de natuurlijke taal is er een grammatica (syntax) en een betekenisleer (semantiek).


De elementen van deze verzamelingen worden meestal omwille van het gemak en de overzichtelijkheid aangeduid met bondige verkortingen en merktekens (symbolen).

9. Toepassing van het systeem.

Het systeem kan gebruikt worden voor zowel de opbouw als de ontmanteling van redeneringen.
-
Elders wordt een overzicht gegeven van de logische basisregels, om te beginnen met die van het simpelste systeem, de Propositielogica.

Zie verder ..