Methode 'Praktische Logica':
Logica en Creativiteit
De Creativiteit van de Logica
[eerste website versie 29-12-2005]
[3de, herziene versie 11-10-2009]
[3de, herziene versie 11-10-2009]
Inhoudsopgave
1. Inleiding
2. Creatieve wetten van de logica (niveau PPL
).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Implicatie: voor de productie van informatie.
(2)
Equivalentie van elke disjunctie aan een implicatie.
(3)
Afleidbaarheid uit elke conjunctie van een implicatie.
(4)
Regel van onbeperkte disjunctieve expansie.
(5)
Regel van onbeperkte conjunctieve expansie.
(6)
Regel van onbeperkte hypothese-uitbreiding.
(7)
Regel van onbeperkte afleidbaarheid uit ontkenning van een (waar) feit.
(8)
Regel van onbeperkte afleidbaarheid uit onwaarheid.
1. Inleiding
Vragen we mensen 'wat is logica?' dan variëren de antwoorden van 'een bepaald gevoel' tot 'een soort wiskunde'. De werkelijkheid is dat iedereen van nature logische intuïties heeft - een absolute vereiste om überhaupt samenhangend te kunnen functioneren - maar dat de meeste mensen vrijwel niets weten van wat logica als denkwijzer inhoudt, en wat je er mee kùnt.
Tegelijk is het idee wijd verbreid dat logica star is, rechtlijnig, dor, en vooral 'koud' en zelfs 'inhumaan' .. Kortom, ongeveer alles wat we niet willen voor een aangenaam en ontspannen leven niet willen. Het tegendeel is echter de waarheid! De logica is in feite tot op de grond eindeloos genuanceerd en flexibel , en zeker ook een creatief systeem.
Logica is simpelweg een wezenlijk onderdeel van de menselijke verbeeldingskracht. Dat geldt voor de meest primitieve vormen van intelligentie, via algemeen gedachtenvorming tot aan de meest sublieme dimensies van de menselijke geest.
"But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed."
(Albert Einstein, geciteerd in: Heinz R. Pagels, 'The Cosmic Code: Quantum Physics As the Language of Nature', Simon & Schuster, New York, 1982).
Dit creatieve karakter geldt zelfs al voor de meest primitieve vorm van logica, de propositielogica (
PPL
).En dat terwijl 'hogere' vormen van logica - modale logica, predikatenlogica, enz. - alleen maar méér expressieve mogelijkheden toevoegen, en daarmee explosief toenemen in nuance en flexibiliteit. Dat wordt duidelijk wanneer we echt inzicht verwerven in de structuur van de logica, wat alleen kan door het oefenen en praktisch toepassen van logische principes waardoor we de 'kruisverbanden' in die structuur gaan doorzien.
De immense creatieve capaciteit van de logica ligt al besloten in haar meest basale eigenschappen en wetmatigheden: haar grondprincipes. Hieronder zullen we enkele van die eigenschappen ter illustratie bespreken.
{Zie voor de formele principes die hierbij gebruikt worden:
Inleiding Propositielogica.
Redeneren met elementaire beweringen.}
2. Creatieve wetten van de logica (niveau PPL
).
(Voor logische symbolen gebruiken we hier de volgende, eenvoudige codes: '¬' voor 'niet',
'&' of '
' voor 'en', 'v' of '
' voor 'en/of',
'>' of '
' voor 'impliceert' en '==' of '≡' voor 'is equivalent aan').
' voor 'en', 'v' of '' voor 'en/of',
'>' of '' voor 'impliceert' en '==' of '≡' voor 'is equivalent aan'). (1)
De logica is allereerst creatief vanwege het connectief (d.i. voegwoord) implicatie.
De implicatie in toegepaste vorm (een implicatie-stelling) creëert een zgn. productieregel.
Deze kan gebruikt worden om uit beschikbare gegevens andere gegevens af te leiden.
(2)
Kan dus gebruikt worden om uit beschikbare gegevens andere gegevens af te leiden.
(3)
Principe: elke conjunctie impliceert twee implicatieregels, d.i. productieregels.
Een dergelijke afleiding van implicatie uit disjunctie levert overigens minder zekerheid d.i. logische kracht dan de uitgangsgegevens.
(4)
Elke bewering of conclusie kan onbeperkt worden uitgebreid met disjuncten op de basislijn.
Deze regel is recursief toepasbaar. Zie bijvoorbeeld:
Principe: aan een enkel gegeven feit c.q. zekerheid kunnen we altijd onbeperkt nieuwe opties / mogelijkheden toevoegen, tot in het oneindige.
Als geheel hebben we dan nog steeds even veel zekerheid c.q. logische kracht.
Disjunctieve uitbreiding vormt bij uitstek de basis van creatief denken, vrij associëren, brainstormen, 'gedachte-experimenten', hypothesevorming, ontwerpen, plannen, innoveren, enz..
De disjunctieve toevoeging heeft op zich wèl minder zekerheid d.i. logische kracht dan de uitgangsgegevens.
De nieuwe disjunctie van mogelijkheden is geldig totdat het tegendeel bewezen is (d.i. by default).
Vervolgens is het de vraag of de nieuwe opties logisch zijn te handhaven, met name in het licht van andere, meer zekere gegevens c.q. feiten.
Zo niet, dan vallen ze op semantisch niveau terug tot non-existentie.
(5)
Elke premisse in een redenering kan onbeperkt worden uitgebreid met conjuncten op de basislijn.
Deze regel is eveneens recursief toepasbaar.
(6)
Ook deze regel is recursief toepasbaar. Bijvoorbeeld:
Principe: aan een gegeven feit c.q. zekerheid kunnen altijd onbeperkt nieuwe, voorwaardelijke hypothesen worden toegevoegd, tot in het oneindige.
Als geheel behouden we dan weer even veel zekerheid c.q. logische kracht.
Hypothese-uitbreiding vormt de sublieme grondslag van inventief denken in termen van hypothesen, mogelijke werelden: onmisbaar voor gedachten-experimenten.
Eerste beperking is dat de nieuwe hypothese uitsluitend voorlopig geldt, en onder voorwaarde, nl. op een ‘zijspoor' van redenering.
De nieuwe voorwaardelijke hypothese is geldig totdat het tegendeel bewezen is (d.i. by default).
De redenering volgt met andere woorden de volgende stappen:
Vervolgens is het de vraag of de nieuwe hypothese logisch is te handhaven, met name in het licht van andere, meer zekere gegevens c.q. feiten.
Er kan een andere implicatieregel geldig blijken die zorgt voor contradictie, waarmee de betreffende hypothese vervalt (en bovendien een ander feit bewezen wordt!).
(7)
(8)
Deze regel is verwant aan die van onbeperkte hypothese-uitbreiding.
Mutatis mutandis gelden hier dan ook dezelfde beperkingen en consequenties.
Implicatie: voor de productie van informatie.
De logica is allereerst creatief vanwege het connectief (d.i. voegwoord) implicatie.
De implicatie in toegepaste vorm (een implicatie-stelling) creëert een zgn. productieregel.
Deze kan gebruikt worden om uit beschikbare gegevens andere gegevens af te leiden.
Bijvoorbeeld:
'A B'.
'A
B'.(2)
Equivalentie van elke disjunctie aan een implicatie.
Wet: { A B } ≡ (¬A
B).
Principe: elke disjunctie-stelling is equivalent aan een implicatieregel, d.i. een productieregel. B } ≡ (¬A
B).Kan dus gebruikt worden om uit beschikbare gegevens andere gegevens af te leiden.
(3)
Afleidbaarheid uit elke conjunctie van een implicatie.
Principe: elke conjunctie impliceert twee implicatieregels, d.i. productieregels.
Bijvoorbeeld:
Wet: { A B } (A
B).
Wet: { A B } (B
A).
Kan dus gebruikt worden om uit beschikbare gegevens andere gegevens af te leiden.Wet: { A
B } (A
B).Wet: { A
B } (B
A).Een dergelijke afleiding van implicatie uit disjunctie levert overigens minder zekerheid d.i. logische kracht dan de uitgangsgegevens.
(In dit geval: $(1000) wordt ($(1011) $(1101)); dus $(1001)).
$(1101)); dus $(1001)).
(4)
Regel van onbeperkte disjunctieve expansie.
Elke bewering of conclusie kan onbeperkt worden uitgebreid met disjuncten op de basislijn.
Wet: {A} (A X).
Oftewel: Disjunctie-introductie regel ('v in').
(A X).Oftewel: Disjunctie-introductie regel ('v in').
Deze regel is recursief toepasbaar. Zie bijvoorbeeld:
{A};
(A X
[1]);
(A X[1]
X[2]);
(A X[1]
X[2] X[3]);
..
(A X[1]
X[2] X[3]
.. X[∞]]).
(A X
[1]);(A X[1]
X[2]);(A X[1]
X[2] X[3]);..
(A X[1]
X[2] X[3]
.. X[∞]]).Principe: aan een enkel gegeven feit c.q. zekerheid kunnen we altijd onbeperkt nieuwe opties / mogelijkheden toevoegen, tot in het oneindige.
Als geheel hebben we dan nog steeds even veel zekerheid c.q. logische kracht.
Bijvoorbeeld:
Wet: {A(A X)} ≡ (A).
Wet: {A
(A X)} ≡ (A).Disjunctieve uitbreiding vormt bij uitstek de basis van creatief denken, vrij associëren, brainstormen, 'gedachte-experimenten', hypothesevorming, ontwerpen, plannen, innoveren, enz..
De disjunctieve toevoeging heeft op zich wèl minder zekerheid d.i. logische kracht dan de uitgangsgegevens.
(In dit geval: $(1100) wordt $(1110)).
De nieuwe disjunctie van mogelijkheden is geldig totdat het tegendeel bewezen is (d.i. by default).
Vervolgens is het de vraag of de nieuwe opties logisch zijn te handhaven, met name in het licht van andere, meer zekere gegevens c.q. feiten.
Zo niet, dan vallen ze op semantisch niveau terug tot non-existentie.
Bijvoorbeeld (stap-voor-stap):
{(A X) ¬X};
{(A
X) ¬X};≡ ((A {}) ¬X);
≡ ((A) ¬X);
≡ (A ¬X).
{}) ¬X);
≡ ((A)
¬X);≡ (A
¬X).(5)
Regel van onbeperkte conjunctieve expansie.
Elke premisse in een redenering kan onbeperkt worden uitgebreid met conjuncten op de basislijn.
Wet: { A B } ((A
X) B).
B } ((A
X) B).Deze regel is eveneens recursief toepasbaar.
(6)
Regel van onbeperkte hypothese-uitbreiding.
Wet: {A} (X A).
Hypothese-uitbreiding.
Oftewel: {A, [?X]}(X A).
Implicatie introductie regel ('> in').
(X A).
Hypothese-uitbreiding.Oftewel: {A, [?X]}
(X A).
Implicatie introductie regel ('> in').Ook deze regel is recursief toepasbaar. Bijvoorbeeld:
{A};
(X[1]
A);
(X[1] (X
[2] A));
(X[1] (X
[2] (X[3] A)));
..
(X[1] (X
[2] (X[3] > .. (X[∞]
] A) .. ))).
(X[1]
A);(X[1] (X
[2] A));(X[1] (X
[2] (X[3] A)));..
(X[1] (X
[2] (X[3] > .. (X[∞]
] A) .. ))).Principe: aan een gegeven feit c.q. zekerheid kunnen altijd onbeperkt nieuwe, voorwaardelijke hypothesen worden toegevoegd, tot in het oneindige.
Als geheel behouden we dan weer even veel zekerheid c.q. logische kracht.
Bijvoorbeeld:
{A(X A)};
{A
(X A)};≡ (A (¬X A));
≡ (A {});
≡ (A).
(¬X A));
≡ (A
{});≡ (A).
Hypothese-uitbreiding vormt de sublieme grondslag van inventief denken in termen van hypothesen, mogelijke werelden: onmisbaar voor gedachten-experimenten.
Eerste beperking is dat de nieuwe hypothese uitsluitend voorlopig geldt, en onder voorwaarde, nl. op een ‘zijspoor' van redenering.
De nieuwe voorwaardelijke hypothese is geldig totdat het tegendeel bewezen is (d.i. by default).
Bekijk als voorbeeld de volgende redenering:
'Hier is de tafel (A) ..
Dus mocht er een TV komen (B),
dan is de tafel (A) er in ieder geval alvast'.
Formeel gesteld:
Oftewel, geldig is:
'Hier is de tafel (A) ..
Dus mocht er een TV komen (B),
dan is de tafel (A) er in ieder geval alvast'.
Formeel gesteld:
'A (B A)'.
Hierbij kunnen we voor B alles invullen! (B A)'.Oftewel, geldig is:
A (X A).
Want, A heb je al, m.a.w. A is wat je zeker hebt, en alles wat je erbij krijgt - zeg X - is mooi meegenomen ..
(X A).De redenering volgt met andere woorden de volgende stappen:
1. A : 'A is waar' (Dit is een zekerheid, dus dit staat op de hoofdlijn van redenering).
2. ?X : 'Stel dat X waar is' (Dit is een tijdelijke aanname, dus dit staat op een tijdelijk 'zijspoor' van redenering).
3. A : 'Maar A is dan nog steeds waar'
(Want op elk zijspoor heb je nog dezelfde zekerheden als je gelijktijdig nog op de hoofdlijn hebt.
Dus dan mag je elk gegeven vanuit de hoofdlijn - zie stap 1 - op je zijspoor gebruiken).
4.
(X A) : 'Als X dan A'
(Dit volgt uit stappen 2 en 3; en is een resultaat dat nog steeds op het zijspoor staat).
5.(A (X
A) ). (Dit volgt als conclusie uit het resultaat van de zijspoor-redenering; omdat het geldig is is het een zekerheid
en kan het op de hoofdlijn worden geplaatst).
2. ?X : 'Stel dat X waar is' (Dit is een tijdelijke aanname, dus dit staat op een tijdelijk 'zijspoor' van redenering).
3.
A : 'Maar A is dan nog steeds waar'
(Want op elk zijspoor heb je nog dezelfde zekerheden als je gelijktijdig nog op de hoofdlijn hebt.
Dus dan mag je elk gegeven vanuit de hoofdlijn - zie stap 1 - op je zijspoor gebruiken).4.
(X A) : 'Als X dan A'
(Dit volgt uit stappen 2 en 3; en is een resultaat dat nog steeds op het zijspoor staat).5.
(A (X
A) ). (Dit volgt als conclusie uit het resultaat van de zijspoor-redenering; omdat het geldig is is het een zekerheid
en kan het op de hoofdlijn worden geplaatst).Vervolgens is het de vraag of de nieuwe hypothese logisch is te handhaven, met name in het licht van andere, meer zekere gegevens c.q. feiten.
Er kan een andere implicatieregel geldig blijken die zorgt voor contradictie, waarmee de betreffende hypothese vervalt (en bovendien een ander feit bewezen wordt!).
Bijvoorbeeld, als de andere regel is 'Y ¬A',
dan krijgen we:
¬A',
dan krijgen we:{A (X A)
(Y ¬A)}
≡ {A (¬X A)
(¬Y ¬A)};
≡ {A {} (¬Y
¬A)};
≡ {A (¬Y {})};
≡ {A (¬Y)};
≡ (A ¬Y).
(X A)
(Y ¬A)}≡ {A
(¬X A)
(¬Y ¬A)};≡ {A
{} (¬Y
¬A)};≡ {A
(¬Y {})};≡ {A
(¬Y)};≡ (A
¬Y).Ander voorbeeld, waarbij de contradictie volgt uit de toevoeging van 'X
¬A':
Hier zien we trouwens een toepassing van bewijsvoering via reductio ad absurdum.
¬A':{A (X A)
(X ¬A)}
≡ {A (¬X A)
(¬X ¬A)};
≡ {A {} (¬X
¬A)};
≡ {A (¬X ¬A)};
≡ {A (¬X {})};
≡ {A (¬X)};
≡ (A ¬X).
(X A)
(X ¬A)}≡ {A
(¬X A)
(¬X ¬A)};≡ {A
{} (¬X
¬A)};≡ {A
(¬X ¬A)};≡ {A
(¬X {})};≡ {A
(¬X)};≡ (A
¬X).Hier zien we trouwens een toepassing van bewijsvoering via reductio ad absurdum.
(7)
Regel van onbeperkte afleidbaarheid uit ontkenning van een (waar) feit.
Wet: {A} (¬A X).
Dit is een parafrase van de voorgaande regel. (¬A X).
(8)
Regel van onbeperkte afleidbaarheid uit onwaarheid.
Wet: {$0} X.
Oftewel, het principe: 'Uit onwaarheid is wat dan ook afleidbaar' (Ex falso sequitur quodlibet).
We kunnen dit ook zo stellen: 'Zodra niets (meer) als waar geldt, dan is alles waar'. Hier zien we wat er gebeurt
wanneer het waarheidsbegrip geen zinnige betekenis meer heeft. X.Oftewel, het principe: 'Uit onwaarheid is wat dan ook afleidbaar' (Ex falso sequitur quodlibet).
Deze regel is verwant aan die van onbeperkte hypothese-uitbreiding.
Mutatis mutandis gelden hier dan ook dezelfde beperkingen en consequenties.
C.P. van der Velde, december 2005.