Methode 'Praktische Logica':

   

Bewijsmethode voor Formele logica

:

Voorbeelden van bewijzen via

de Resolutiemethode.

Bewijs via resolutie.



Voorbeeld van logische bewijsreeks via Resolutie.
(Resolutie-deductie).
{Zie voor uitleg: Inleiding Resolutielogica .}

Resolutie in PPL



Voorbeeld van validiteitsbewijs in PPL via Resolutie:



Immuniteit van VN ten aanzien van wanprestatie in Srebrenica:


beter echt weerleggen.



Op 4 juni 2007 werd de Dagvaarding van (Van Diepen Van der Kroef Advocaten © 2007) voor de Rechtbank van 's-Gravenhage betekend in de civiele procedure aanhangig gemaakt door nabestaanden van de slachtoffers van de val van de enclave Srebrenica, contra (1) de Staat der Nederlanden (Ministerie van Algemene Zaken), en (2) de De Verenigde Naties.
Zie voor een beknopte samenvatting op hoofdpunten Fragment uit 'Dagvaarding voor de Rechtbank 's-Gravenhage, betekend 4 juni 2007'.
Over het geheel genomen vormt deze dagvaarding een robuust betoog. Dit afgezien van een klein aantal, tamelijk cruciale redeneerfouten, waar ik de betreffende advocaten, mr. M.R. (Marco) Gerritsen en mr. dr. A. (Alex) Hagedorn, op heb willen attenderen in brieven van 26 juni 2007 en 29 juni 2007, en tijdens bespreking op 28 juni 2007.
Enkele citaten hieruit:

"Het leek mij goed om ter gelegenheid van ons gesprek op 28 juni a.s. een concreet voorbeeld uit te werken van een systematische analyse volgens mijn methodiek.
Hiervoor neem ik de toegepaste betoogtrant in nrs. 447-450 op grond van artikel 105 van het VN-handvest. Ik heb premisse en conclusie uitgewerkt in formele logica, en de geldigheid van de afleidingsrelatie getoetst via formeel logische beslismethode, m.n. resolutie. Zie de bijlage voor het resultaat."
(brief 26 juni 2007, aan mr. M.R. Gerritsen, en mr. dr. A. Hagedorn, Van Diepen Van der Kroef Advocaten).

"Ik wees u op het verschil tussen twee zaken: (1) "such privileges and immunities as are necessary for the fulfilment of its purposes" (VN artikel 105), en (2) " immuniteit voor zover dat nodig is voor het vervullen van de doelstellingen van de VN" (uw parafrase in nr. 448).
Het punt is dat (1) 'such ..

as are

necessary for', oftewel 'zodanig .. als nodig is voor ..', vraagt om voldoende immuniteit als nodig is, terwijl (2) '.. voor zover nodig is voor ..', doelt op niet meer immuniteit dan nodig is.
Anders gezegd, het eerste definieert een minimum c.q. ondergrens, het tweede stelt een maximum c.q. bovengrens. Een essentieel verschil.

Van uw parafrase is het uiteraard een kleine stap naar uw volgende predicatie: " immuniteit beperkt tot hetgeen noodzakelijk is voor de vervulling van de doelstellingen" (in nr. 450).
Alleen, logisch is dit een omkering van voldoende en noodzakelijke voorwaarde, een bekende drogreden ( conversio).
De VN-regel betreft (1) uitsluitend een minimum dat de VN voor zichzelf opeist, en geenszins (2) een maximum waarmee zij zichzelf zou beperken."

Nb. Om het overzichtelijker te maken, de structuur van de redenering:

(1)

Premisse (antecedens).


De brontekst: De Verenigde Naties behouden zich het recht voor op ".. such privileges and immunities

as

are necessary for the fulfilment of its purposes" (Verenigde Naties, handvest, artikel 105).
In Nederlands: ".. de voorrechten en immuniteiten die noodzakelijk zijn voor de verwezenlijking van haar doelstellingen".
De syntactische constructie: '.. zodanige .. [voorzover] als nodig zijn voor ..'.
De logische strekking: De VN claimt het recht op voldoende immuniteit als nodig is. Oftewel alle noodzakelijke immuniteit.
Anders gezegd, deze VN regel definieert een minimum c.q. ondergrens.
Dit betreft bovendien uitsluitend een minimum dat de VN voor zichzelf opeist.
Dus de VN was vrij om in elke concrete situatie arbitrair, ad hoc, alsnog, de bovengrens van haar eigen immuniteit te bepalen, en zichzelf zo te vrijwaren van elke verwijtbaarheid.
(2)

Conclusie (consequens).


De vermeende parafrase, of afgeleide van (1): De troepen van UNPROFOR c.q. Dutchbat kwam slechts recht toe op ".. immuniteit

voor zover

dat nodig is voor het vervullen van de doelstellingen van de VN" (mr. M.R. Gerritsen en mr. dr. A. Hagedorn, Van Diepen Van der Kroef Advokaten, dagvaarding, 4 juni 2007, nr. 448).
Oftewel, vrij vertaald naar Engels:
".. immunity

as far as

necessary for the fulfilment of its purposes".
De syntactische constructie: '.. [zodanige] .. voor zover [als] nodig is voor ..'.
De logische strekking: Deze doelt op niet meer immuniteit dan nodig is.
G&H stellen dus dat de VN geen recht hadden op meer dan noodzakelijke immuniteit.
Anders gezegd, deze parafrase c.q. reductie stelt een maximum c.q. bovengrens.
Volgens deze lezing betreft de VN-regel dus een maximum waarmee de VN zichzelf zou beperken.
".. immuniteit beperkt tot hetgeen noodzakelijk is voor de vervulling van de doelstellingen" (ibidem, in nr. 450).
Er zijn nu twee problemen met deze redenering:
(·) Logisch: Punt (1) impliceert niet punt (2).
(·) Juridisch: Punt (2) was nergens te bekennen in de VN-regels.
De stap van (1) naar (2) is dan ook niet te verdedigen. Terwijl Gerritsen en Hagedorn het beroep op immuniteit bestreden door (2) aan te vallen.

"Kortom, (2) volgt niet uit (1). Dit niet vanwege een nuanceverschil, maar een structuurprobleem: de premisse ( antecedens) wordt in deze afleiding niet zozeer opgerekt, ze raakt gewoon nergens de conclusie (consequens).

Het leek mij nuttig dit onderscheid sluitend te onderbouwen met een formeel logisch bewijs (bijlage in mijn brief van 26 juni). De formele logica stelt de grenzen aan geldigheid op elk vakgebied, ook het juridische. Een meer betrouwbare bewijsvoering is niet bekend. Dat dit niet altijd voldoende is en evenmin altijd per se nodig is om mensen (waaronder rechters) te overtuigen ben ik met u eens, maar het kan wel helpen.
[..]
Het is uiteraard denkbaar dat een rechter in zo'n redeneerfout een probleem zal zien, daarvoor hoeft men geen jurist te zijn.

U kunt natuurlijk betogen dat de VN-regel (ad 1) in dit geval geen geldingskracht heeft, op grond van een baseline principe: immuniteit geldt by default niet voor enige persoon of rechtspersoon (zie mijn brief van 26 juni); het vereist immers een uitzonderingsvoorwaarde.

U kunt aanvoeren dat de gronden voor immuniteit ontbreken omdat de premissen voor (1) niet vervuld zijn. Bijvoorbeeld omdat vervulling van de doelstellingen [van de VN] in die situatie [d.i. de aanval op Srebrenica] niet aan de orde was - quod non - of niet aan bod kwam, althans niet op enigszins beduidende wijze.
De wederpartij kan hierop echter tegenwerpen dat zij een inspanningsverplichting aanging en niet een resultaatverplichting. Zij kan aanvoeren dat de inspanning gepleegd is, ten behoeve van de doelstelling, maar dat de feitelijke vervulling van de doelstelling in die omstandigheden niet haalbaar c.q. uitvoerbaar was. Tot dusver is deze laatste lijn van verweer (helaas) succesvol geweest, en moet dus terdege worden weerlegd.

U stelde terecht dat 'betrokkenheid bij massamoord' zeker niet een doelstelling is van de VN, eerder het tegendeel. Dit kan hier echter alleen een relevant argument tégen de immuniteit zijn als het omgekeerde van (1) geldt, nl. (2) - maar die moet dan op andere premissen dan (1) worden waargemaakt.
Daarnaast is 'betrokkenheid bij oorlogsmisdaden' juist hetgeen te bewijzen staat - en ongetwijfeld met vuur zal worden betwist - dus misschien niet iets wat [in casu] a priori kan worden aangevoerd. Maar dat is bij uitstek iets voor juristen ter beoordeling.
[..]
Voor het welslagen van de rechtsprocedure hoop ik oprecht dat u onnodige risico's voor uw cliënten zal weten te vermijden".

(brief 29 juni 2007, aan mr. M.R. Gerritsen, en mr. dr. A. Hagedorn, Van Diepen Van der Kroef Advocaten).


Formele toetsing van geldigheid van inferentie


Door middel van bewijsmethode in formele logica: resolutie.

26 juni 2007.
[herzien 14 juli 2012].

1. Te onderzoeken hypothese:


(1)

Premisse (antecedens):


(Dagvaarding, nr.448) VN regel, "Artikel 105 lid 1 VN-Handvest luidt: ' The organization shall enjoy in the territory of each of its Members such privileges and immunities

as are necessary

for the fulfilment of its purposes.'"
(2)

Conclusie (consequens):


(Dagvaarding, nr.448) ".. De VN hebben derhalve immuniteit

voor zover dat nodig is

voor het vervullen van de doelstellingen van de VN".
(Dagvaarding, nr.450) ".. Zoals bleek is de aldaar gedefinieerde immuniteit

beperkt tot hetgeen noodzakelijk is

voor de vervulling van de doelstellingen.
Het spreekt voor zich dat de vraag over de betrokkenheid van de VN in geval van genocide zeker niet onder een doelstelling van de VN valt".
(Dagvaarding, nr.451) ".. In deze zaak komt de VN dan ook geen immuniteit toe".
(3)

Hypothese (redeneervorm):


Uit (1) volgt (2).
H1: (1) (2).

2. Te gebruiken logisch systeem:

Predikatenlogica van de Eerste Orde (PDL-I).
(1) Vocabulaire:
(1.1) Logische symbolen: van de PDL-I.
(1.2) Niet-logische symbolen:
Constanten: {a,b,c,d,e, .., i,j,k,l, ..}.
Logische functies: {f,g,h, .. }.
Variabelen: {x,y,z, u,v,w, ..}.
(1.3) Lexicon (domein-specifiek):
U[u]: individuen/groepen u onder UN (VN) verantwoordelijkheid.
P[u,x] : Purpose(s), doelstelling(en) x, gehouden door u.
A[u,w] : Actions/ activiteiten, handelingen en handelwijzen w, toegepast door agens/actor(en) u (geautoriseerd door de VN).
F[x,z] : Fulfillment/ vervulling, van specifieke feiten (factieven) z, elementen/ onderdelen (inherente componenten) van (volledige) voldoening van doeleinden x.
I[x,w,z]: Immunity/ immuniteit, aspecten z elementen/ onderdelen van immuniteit, geldig met betrekking tot specifieke acties/handelingen w, van agens/actor(en) x.
(2) Formatieregels: van de PDL-I.
(3) Deductieregels: van de PDL-I.
(4) Interpretatieregels: van de PDL-I (modeltheorie).
(5) Beslismethode: resolutie voor de PDL-I.

3. Formalisering in PDL-I):


(1)

Premisse (antecedens):


Parafrase: 'Voor elke actie w, van een VN-vertegenwoordiger u, die bijdraagt aan de noodzakelijke voorwaarden z voor de purposes / doelstellingen x van de VN, geldt immuniteit y'.
(1a) Formalisering (kwantor-vormen):
(1.1) { u ( U[u] x ( P[u,x] w ( A[u,x,w] z ( F[x,z] y I[u,w,y] y )z ) w )x )u };
(1.2) { u x w z y ( ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] F[x,z] ) I[u,w,y] )y , z, w, x, u };
Conjunctief Normaal Vorm (CNF) conversie:
(1.3) { u x w ( z ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] F[x,z] )z

[

y ( I[u,w,y] )y

]

)w, x, u };
(1.4) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( z F[x,z] z ) ( y I[u,w,y] y )

]

  )w, x , u };
(1.5) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( ¬ y I[u,w,y] y ) ( ¬ z F[x,z] z )

]

  )w, x , u }.
(1.6) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( y ¬I[u,w,y] y ) ( z ¬F[x,z] z )

]

  )w, x , u }.
(1.7) { x ( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z ¬F[x,z] z

]

  )x };
(1.8) { x ¬( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z ¬F[x,z] z

]

  )x };
(1.9) { x ( u w y ¬( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z ¬F[x,z] z

]

  )x };
(1.10) { x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] ¬¬I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z ¬F[x,z] z

]

  )x };
(1.11) { x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z ¬F[x,z] z

]

  )x };
(1b) Idem, Skolem-vorm:
[y:=f(u,x,w); z:=h(x) ]
(Sk+1) (1.7s) { ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬I[u,w,f(u,x,w)] )   ¬F[x,h(x)] };
[u:=c; w:=d; z:=h(x) ]
(Sk+1) (1.11s) { ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] I[c,d,y] ¬F[x,h(x)] }.

(2)

Conclusie (consequens):


Parafrase: 'Voor elke actie w, van een VN-vertegenwoordiger u, die niet bijdraagt aan de noodzakelijke voorwaarden z voor de purposes / doelstellingen x van de VN, geldt geen immuniteit y'.
(2a) Formalisering (kwantor-vormen):
(2.1) { u ( U[u] x ( P[u,x] w ( A[u,x,w] z ( ¬F[x,z] y ¬I[u,w,y] y )z ) w )x )u };
(2.2) { u x w z y ( ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] ¬F[x,z] ) ¬I[u,w,y] )y , z, w, x, u };
Conjunctief Normaal Vorm (CNF) conversie:
(2.3) { u x w ( z ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬F[x,z] )z  

[

y ( ¬I[u,w,y] )y

]

  )w , x, u };
(2.4) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( z ¬F[x,z] z ) ( y ¬I[u,w,y] y )

]

  )w, x , u };
(2.5) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( ¬ y ¬I[u,w,y] y ) ( ¬ z ¬F[x,z] z )

]

  )w, x , u };
(2.6) { u x w ( ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] )  

[

( y I[u,w,y] y ) ( z F[x,z] z )

]

  )w, x , u };
(2.7) { x ( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z F[x,z] z

]

  )x };
(2.8) { x ¬( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z F[x,z] z

]

  )x };
(2.9) { x ( u w y ¬( U[u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z F[x,z] z

]

  )x };
(2.10) { x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u )  

[

z F[x,z] z

]

  )x };
(2.11) { x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u ) (z F[x,z] z ) )x };
(2b) Idem, Skolem-vormen:
[y:=f(u,x,w); z:=h(x) ]
(Sk+1) (2.7s) { ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,f(u,x,w)] )     F [x,h(x)] }.
[u:=c; w:=d; z:=h(x) ]
(Sk+1) (2.11s) { ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };

(3)

Toetsing van validiteit in formele logica.


(3a) Te bewijzen hypothese:
H1: (1) (2).

(3b) Bewijsmethode: Maximale syntactische reductie.
Met behoud van equivalentie.
(3b.1) H0: { (1.11s)   (2.11s) };
(3b.2) { (1.11): ( x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z ¬F[x,z] z ) )x )   (2.11s) };
(3b.3) { ( ¬x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z ¬F[x,z] z ) )x )   (2.11s) };
(3b.4) { ( x ¬( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (¬z ¬F[x,z] z ) )x )   (2.11s) };
(3b.5) { ( x ( u w y ¬( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z ¬¬F[x,z] z ) )x )   (2.11s) };
(3b.6) { ( x ( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u ) (z F[x,z] z ) )x )   (2.11s) };
Skolemisatie:
[x:=b; y:=m(u,w); z:=n(x); ]
(Sk+1) (3b.7) { ( (U[u] P[u,b] A[u,b,w] ¬I[u,w,m(u,w)] F[b,z] )   ( ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] ) };
(3b.8) { ( U[u] P[u,b] A[u,b,w] ¬I[u,w,m(u,w)] F[b,z] )   ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };
[ Transferente contradictie:
(¬U[c])

#

U[u]); (¬P[c,x])

#

P[u,b]); (¬A [c,x,d])

#

A[u,b,w]); ]
(3b.9) { ( ¬I[u,w,m(u,w)] F[b,z] )   ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };
Instantiatie; Redundante conjuncte expansie.
[z:=h(x) ]
[(F[b,z] (F[b,z] F[b,h(x)] ) )].
(3b.10) { ( ¬I[u,w,m(u,w)] F[b,z] F[b,h(x)] )   ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };
Instantiatie; Redundante disjuncte expansie.
[u:=c; w:=d; y:=m(c,d); ]
[(¬I[u,w,m(u,w)] (¬I[u,w,m(u,w)] ¬I[c,d,m(c,d)] ) )].
(3b.11) { ( ¬I[u,w,m(u,w)] ¬I [c,c,m(c,d)] F[b,z] F[b,h(x)] )   ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };
Transferente equivalentie:
[(F[b,z] F[b,h(x)] );
(¬I[u,w,m(u,w)] ¬I[c,d,m(c,d)] ) ].
(3b.12) { ( ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] };
Inverse Skolemisatie:
(3b.13) { ( x ( u w y ( ¬U[u] ¬P[u,x] ¬A[u,x,w] ¬I[u,w,y] )y, w, u ) (z F[x,z] z ) )x ) };
(3b.14) { (2.11) }.
De redenering/afleidngsreeks vooronderstelt de conclusie:
drogreden petitio principii.
Ergo: H1 blijkt niet geldig.
¬ H1.

(3c) Bewijsmethode: Resolutie.
Per Reductio ad absurdum:
Stel het tegendeel van H1.
(3c.1) { ¬H1 };
(3c.2) { ¬((1) (2)) }.
(3c.3) { (1) ¬(2) }.
(3c.4) { (1.11) ¬(2.11) }.
(3c.5) { (1.11) ¬(2.11): ¬( x ( u w y ( U[u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z F[x,z] z ) )x };
(3c.6) { (1.11) ( x ¬( u w y ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z F[x,z] z ) )x };
(3c.7) { (1.11) ( x ( u w y ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (¬z F[x,z] z ) )x };
(3c.8) { (1.11) ( x ( u w y ( U [u] P[u,x] A[u,x,w] I[u,w,y] )y, w, u ) (z ¬F[x,z] z ) )x };
Skolemisatie:
[x:=c; y:=k(u,w) ]
(Sk+1) (3c.9) { (1.11s) (U [u] P[u,c] A[u,c,w] I[u,w,k(u,w)] ¬F[c,z] ) };
(3c.10) { ( ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] )   (U[u] P[u,c] A[u,c,w] I[u,w,k(u,w)] ¬F[c,z] ) };
(3c.11) { ( ¬U[c] ¬P[c,x] ¬A[c,x,d] ¬I[c,d,y] F[x,h(x)] )   U[u] P[u,c] A[u,c,w] I[u,w,k(u,w)] ¬F[c,z] };
Transferente contradictie:
(U[u])

#

¬U[c]); (P[u,c])

#

¬P [c,x]); (A[u,c,w])

#

¬A[c,x,d]);
(I[u,w,k(u,w)])

#

¬I[c,d,y]); (¬F[c,z])

#

F [x,h(x)]);
(3c.12) { U[u] P[u,c] A[u,c,w] I[u,w,k(u,w)] ¬F[c,z] };
(3d) Resultaat:
H0 sluit niet, blijft open (blijkt dus consistent, dus vervulbaar).
Ergo: H1 blijkt niet geldig.
¬ H1.

(4)

Conclusie en advies


Conclusie/consequens (2) blijkt dus geen grond te vinden in premisse/antecedens (1).
Met name blijkt de afleiding van (2) uit (1) exact neer te komen op de vooronderstelling van (1): dat wil zeggen, de drogreden petitio principii.
Conclusie (2) valt mijns inziens wel te onderbouwen met andere argumenten, met name: immuniteit geldt by default niet voor enige persoon of rechtspersoon.