Introductie_Predikatenlogica_PDL_Deel_VIg_H

Cursus / training:

Methode Formele Logica

^©

18. **Kwantor-bewerkingen; met semantische expansie.**

Kwantor upgrading: Upgrading van kwantificaties.

18.1. **U-Kwantor upgrading.**

Kwantor-upgrading: Universeel.
(N.v.t.)

18.2. **E-Kwantor upgrading.**

Kwantor-upgrading: Existentieel.
Algemeen:

_(degres
) '

' : is

ongeldig

Toepasbaar in Literaal, Conjunctie, Disjunctie.
Equivalentie/ Parafrase: nooit valide.
Implicatie/ Degressie: nooit valide.

(1)

In Literaal (atoom/predicatie).

Via operatie: conjuncte expansie.

{

x A(x,y)}

_(degres
)_(cj.xpn.) (

y A(x,y)) :

ongeldig

.
{

y A(x,y)}

_(degres
)_(cj.xpn.) (

y A(x,y)) :

ongeldig

(2)

In Conjunctie.

Tweede term, met Kwantor-volgordeverandering.

{

x (A(x)

B(y))}

_(degres
) _{(dj.rdc.;cj.xpn.)} (

w (A( x)

B(w))) :

ongeldig

.
{

z (A(y)

C_(x,z))}

_(degres
)_{(dj.-cj.xpn.)} (

z (A(y)

C_(x,z))) :

ongeldig

Tweede term, met Kwantorsplitsing.

{

y (A(y)

B(y))}

_(degres
)_{(dj.-cj.xpn.)} (

x (A(x)

B(y))) :

ongeldig

Beide termen.

{

x (A(x)

(

y C_(x,y)))};

_{(
degres
)}_{(dj.-cj.xpn.)} (

x (A(x)

(

y C_(x,y)))) :

ongeldig

(3)

In Disjunctie.

Tweede term.

{(

x A(x))

(

y B(y))}

_(degres)_{(dj.-cj.xpn.)} (

w (A(x)

B(w))) :

ongeldig

Beide termen.

{

y (A(y)

B(y))}

_(degres
)_{(dj.-cj.xpn.)} (

x (A(x)

B(x))) :

ongeldig

Eerste term.

{

x (A(x)

(

y B(y)))}

_{(degres
)}_{(dj.-cj.xpn.)} (

x (A(x)

(

y B(y)))) :

ongeldig

19. **Wetten voor logische strijdigheid (contradictie).**

19A.

Directe 'fatale' strijdigheid (in
CNF
).

19A.1.

**Directe, 'fatale', interne enkelvoudige strijdigheid.**

Directe 'Basale contradictie' (unit conflict).

[Wet in PPL: {p

¬p} ≡_(u) p. ]
[Wet in PPL: {p

¬p & q} ≡_(u)

$

q; ≡

$

0. ]

Zie ook PPL wetten (7.6).

19B.

Indirecte 'fatale' strijdigheid.

19B.1.

Impliciete Basale Conjunct Contradictie (in
CNF
).

Indirecte 'Basale contradictie'.

Graduele onjuistheid - 'horizontaal'.
In

PDL

(Skolem).

(19B.1a)

Partieel Exclusief Disjunctie; Met existentieel Negatieve predicatie/Literaal.

Bijv.: {A(x)

¬A(

c

_d) };

(

c

_d is een (bestaande) 'domein' constante).

Route 1.

_(xts.) ({A(x_[1])

..

, A(x_[i])

..

, A(x_[n])}

¬A(

c

_d));

i (A(x_[i])·[x _[i] :=

c

_d] );

_(sbs.) ({A(x_[1])

..

, A(x_{[c

_d]})

..

, A(x_[n]) }

¬A(

c

_d) );

_{(bas.cj.rei.)} ({A(x_[1])

..

, A(x_{[
c
_d]})

..

, A(x_[n]) }

c

_d)

¬A(

c

_d) );

_(its.) (A(x)

c

_d)

¬A(

c

_d) );

_(u,bas.ctd) (A(x)

(

$

0) );
('¬A(

c

_d)' is tegenvoorbeeld (contra-indicatie, falsificator) voor algemene regel 'A(x)' ).

Route 2.

_{(bas.cj.rei.)} (A(x)

c

_d)

¬A(

c

_d) );

_(u,bas.ctd.) (A(x)

$

0 );

Route 3.

· [x:=

c

_d]

_(i) (A(

c

_d)

¬A(

c

_d));

_(bas.ctd.)

$

Idem, genoteerd (isomorf) in

PPL

_(iso
) ((A₁, A₂, A₃,

..

)

(¬A₁/ ¬A₂/ ¬A₃/

..

) );

(A₁, A₂, A₃,

..

, (¬A₁/ ¬A₂/ ¬A₃/

..

) );

_(trf.ctd.1) (A₁, A₂, A₃,

..

, (¬A₁/ ¬A₂/

..

) );

_(trf.ctd.2) (A₁, A₂, A₃,

..

, (¬A₁/

..

) );

..

_{(trf.ctd. (n-1))} (A₁, A₂, A₃,

..

, ¬A₁ );

_(bas.ctd.1) (

$

0, A₂, A₃,

..

);

_{(bas.ctd. 2..n)}

$

(19B.1b)

Partieel Exclusief Disjunctie; Met universeel Negatieve predicatie/Literaal:

Bijv.: {A(

c

_d)

¬A(x) };

(

c

_d is een (bestaande) 'domein' constante).

Route 1.

_(xts.) ({¬A(x_[1])

..

, ¬A(x_[i])

..

, ¬A(x_[n])}

c

_d));

i (A(x_[i]·[x _[i] :=

c

_d] );

_(sbs.) ({¬A(x_[1])

..

¬A(

c

_d)

..

¬A(x_[n])}

c

_d) );

_{(bas.cj.rei.)} ({¬A(x_[1])

..

, ¬A(x_{[
i]})

..

, ¬A(x_[n]) }

¬A(

c

_d)

c

_d) );

_(its.) (¬A(x)

¬A(

c

_d)

c

_d) );

_(u,bas.ctd.) (¬A(x)

(

$

0) );
('A(

c

_d)' is tegenvoorbeeld (contra-indicatie, falsificator) voor algemene regel '¬A(x)').

Route 2.

_(U-intro) (((

x ¬A(x ) )

c

_d) );

(Mits de formule staat in normaal vorm).

_{(bas.cj.rei.)} ((

x ¬A(x ) )

¬A(

c

_d)

c

_d) );

_(u,bas.ctd.) ((

x ¬A(x ) )

$

0 );

_(U-elim.) (A(x)

$

0 );

_(bas.ctd.)

$

Idem, genoteerd (isomorf) in

PPL

_(iso
) ((¬A₁, ¬A₂, ¬A₃,

..

)

(A₁/ A₂/ A₃/

..

) );

(¬A₁, ¬A₂, ¬A₃,

..

, (A₁/ A₂/ A₃/

..

) );

_(trf.ctd.1) (¬A₁, ¬A₂, ¬A₃,

..

, (A₁/ A₂/

..

) );

_(trf.ctd.2) (¬A₁, ¬A₂, ¬A₃,

..

, (A₁/

..

) );

..

_{(trf.ctd. (n-1))} (¬A₁, ¬A₂, ¬A₃,

..

, A₁ );

_(bas.ctd.1)

$

0, ¬A₂, ¬A₃,

..

);

_{(bas.ctd. 2..n)}

$

19B.2.

Factief uitgesloten conclusie.

Factief uitgesloten conclusie;
met enkelvoudige (disjuncte) premisse, en (deels) ware referent-premisse.

Bijv.: {((A(x)

B(x))

¬B(

c

_d) )

d

_d) }

(((¬A(x)

B(x))

d

_d)

¬B(

c

_d) );

_(u,trf.ctd.) (¬A(x)

d

_d)

¬B(

c

_d) );

_(u,bas.ctd.) (

$

¬B(

c

_d));

_(bas.ctd.)

$

Cursus / training:

Methode Formele Logica

©

18.

Kwantor-bewerkingen; met semantische expansie.

18.1.

U-Kwantor upgrading.

18.2.

E-Kwantor upgrading.

degres

ongeldig

In Literaal (atoom/predicatie).

degres

ongeldig

degres

ongeldig

In Conjunctie.

degres

ongeldig

degres

ongeldig

degres

ongeldig

degres

ongeldig

In Disjunctie.

degres

ongeldig

degres

ongeldig

degres

ongeldig

19.

Wetten voor logische strijdigheid (contradictie).

19A.

Directe 'fatale' strijdigheid (in CNF ).

CNF

19A.1.

Directe, 'fatale', interne enkelvoudige strijdigheid.

$

$

19B.

Indirecte 'fatale' strijdigheid.

19B.1.

Impliciete Basale Conjunct Contradictie (in CNF ).

CNF

PDL

Partieel Exclusief Disjunctie; Met existentieel Negatieve predicatie/Literaal.

c

c

Route 1.

..

..

c

c

..

c

..

c

..

c

..

c

c

c

c

$

c

Route 2.

c

c

$

Route 3.

c

c

c

$

PPL

iso

..

^©

**Kwantor-bewerkingen; met semantische expansie.**

**U-Kwantor upgrading.**

**E-Kwantor upgrading.**

**Wetten voor logische strijdigheid (contradictie).**

Directe 'fatale' strijdigheid (in
CNF
).

**Directe, 'fatale', interne enkelvoudige strijdigheid.**

Impliciete Basale Conjunct Contradictie (in
CNF
).