Cursus / training:

Methode Formele Logica

©


18.

 

Kwantor-bewerkingen; met semantische expansie.



Kwantor upgrading: Upgrading van kwantificaties.

18.1.

 

U-Kwantor upgrading.


Kwantor-upgrading: Universeel.
(N.v.t.)

18.2.

 

E-Kwantor upgrading.


Kwantor-upgrading: Existentieel.
Algemeen:
''  (

degres

)
' ' : is

ongeldig

.

Toepasbaar in Literaal, Conjunctie, Disjunctie.
Equivalentie/ Parafrase: nooit valide.
Implicatie/ Degressie: nooit valide.

(1)

In Literaal (atoom/predicatie).


Via operatie: conjuncte expansie.
{y x A(x,y)} (

degres

)
(cj.xpn.) ( x y A(x,y)) :

ongeldig

.
{x y A(x,y)} (

degres

)
(cj.xpn.) ( x y A(x,y)) :

ongeldig

.

(2)

In Conjunctie.


Tweede term, met Kwantor-volgordeverandering.
{y x (A(x)   B(y))} (

degres

)
(dj.rdc.;cj.xpn.) (x w (A( x)  B(w))) :

ongeldig

.
{y x z (A(y)  C_(x,z))} (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) ( y x z (A(y)  C_(x,z))) :

ongeldig

.
Tweede term, met Kwantorsplitsing.
{y (A(y)   B(y))} (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) ( y x (A(x)   B(y))) :

ongeldig

.
Beide termen.
{x (A(x)  ( y C_(x,y)))}; (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) (x (A(x)   (y C_(x,y)))) :

ongeldig

.

(3)

In Disjunctie.


Tweede term.
{(x A(x))  ( y B(y))} (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) (x w (A(x)  B(w))) :

ongeldig

.
Beide termen.
{y (A(y)   B(y))} (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) ( x (A(x)   B(x))) :

ongeldig

.
Eerste term.
{x (A(x)  ( y B(y)))} (

degres

)
(dj.-cj.xpn.) (x (A(x)   (y B(y)))) :

ongeldig

.

19.

 

Wetten voor logische strijdigheid (contradictie).



19A.

 

Directe 'fatale' strijdigheid (in

CNF

).



19A.1.

 

Directe, 'fatale', interne enkelvoudige strijdigheid.



Directe 'Basale contradictie' (unit conflict).
[Wet in PPL:   {p p}   ≡(u) p. ]
[Wet in PPL:   {p p & q}   ≡(u)

$

0 q;   ≡

$

0. ]
Zie ook PPL wetten (7.6).

19B.

 

Indirecte 'fatale' strijdigheid.



19B.1.

 

Impliciete Basale Conjunct Contradictie (in

CNF

).



Indirecte 'Basale contradictie'.

Graduele onjuistheid - 'horizontaal'.
In

PDL

(Skolem).
(19B.1a)

Partieel Exclusief Disjunctie; Met existentieel Negatieve predicatie/Literaal.


Bijv.: {A(x) A(

c

d) };
(

c

d is een (bestaande) 'domein' constante).

Route 1.


 (xts.) ({A(x[1])

..

, A(x[i] )

..

, A(x[n])} A(

c

d ));
 i (A(x[i])·[x [i] :=

c

d] );
 (sbs.) ({A(x[1])

..

, A(x[

c

d]
)

..

, A(x[n]) } A(

c

d) );
 (bas.cj.rei.) ({A(x[1])

..

, A(x[

c

d]
)

..

, A(x[n]) } A(

c

d) A(

c

d) );
 (its.) (A(x) A(

c

d) A(

c

d) );
 (u,bas.ctd) (A(x) (

$

0) );
('A(

c

d)' is tegenvoorbeeld (contra-indicatie, falsificator) voor algemene regel 'A(x)' ).

Route 2.


 (bas.cj.rei.) (A(x) A(

c

d) A(

c

d) );
 (u,bas.ctd.) (A(x)

$

0 );

Route 3.


· [x:=

c

d]   (i) (A(

c

d) A(

c

d));
 (bas.ctd.)

$

0.
Idem, genoteerd (isomorf) in

PPL

:
 (

iso

)
((A1, A2, A3,

..

) (A1/ A2/ A3/

..

) );
 (A1, A2, A3,

..

, (A1 / A2/ A3/

..

) );
 (trf.ctd.1) (A1, A2, A3,

..

, (A1/ A2/

..

) );
 (trf.ctd.2) (A1, A2, A3,

..

, (A1/

..

) );
 

..


 (trf.ctd. (n-1)) (A1, A2, A3,

..

, A1 );
 (bas.ctd.1) (

$

0, A2, A3,

..

);
 (bas.ctd. 2..n)

$

0.

(19B.1b)

Partieel Exclusief Disjunctie; Met universeel Negatieve predicatie/Literaal:


Bijv.: {A(

c

d) A(x) };
(

c

d is een (bestaande) 'domein' constante).

Route 1.


 (xts.) ({A(x[1])

..

, A(x[i] )

..

, A(x[n])} A(

c

d ));
 i (A(x[i]·[x [i] :=

c

d] );
 (sbs.) ({A(x[1])

..

A(

c

d)

..

A(x[n])} A(

c

d) );
 (bas.cj.rei.) ({A(x[1])

..

, A(x[ i])

..

, A(x[n]) } A(

c

d) A(

c

d) );
 (its.) (A(x) A(

c

d) A(

c

d) );
 (u,bas.ctd.) (A(x) (

$

0) );
('A(

c

d)' is tegenvoorbeeld (contra-indicatie, falsificator) voor algemene regel 'A(x)').

Route 2.


 (U-intro) (((x A(x ) ) A(

c

d) );
(Mits de formule staat in normaal vorm).
 (bas.cj.rei.) ((x A(x ) ) A(

c

d) A(

c

d) );
 (u,bas.ctd.) ((x A(x ) )

$

0 );
 (U-elim.) (A(x)

$

0 );
 (bas.ctd.)

$

0.
Idem, genoteerd (isomorf) in

PPL

:
 (

iso

)
((A1, A2, A3 ,

..

) (A1/ A2/ A3/

..

) );
 (A1, A2, A3,

..

, (A1 / A2/ A3/

..

) );
 (trf.ctd.1) (A1, A2, A3,

..

, (A1/ A2/

..

) );
 (trf.ctd.2) (A1, A2, A3,

..

, (A1/

..

) );
 

..


 (trf.ctd. (n-1)) (A1, A2, A3 ,

..

, A1 );
 (bas.ctd.1)

$

0, A2, A3,

..

);
 (bas.ctd. 2..n)

$

0.

19B.2.

 

Factief uitgesloten conclusie.



Factief uitgesloten conclusie;
met enkelvoudige (disjuncte) premisse, en (deels) ware referent-premisse.
Bijv.: {((A(x) B(x)) B(

c

d) ) A(

d

d) }
 (((A(x) B(x)) A(

d

d) B(

c

d) );
 (u,trf.ctd.) (A(x) A(

d

d) B(

c

d) );
 (u,bas.ctd.) (

$

0 B(

c

d));
 (bas.ctd.)

$

0.

C.P. van der Velde © 2004, 2016, 2019.