Cursus / training: Methode Formele Logica
©
11.
Substitutie in de Predikaten-logica.
11.1.
Algemene substitutie, c.q. interpretatie.
Substitutie: Vervanging van een expressie (formule, predicatie of term).
Bijv.: vervang x door y; oftewel, vul y in op de plaats van x.
Ter ontwarring van de terminologie, let op het verschil in gebruik van de term:
'Substitueren (vervangen) van x door y'; oftewel:
'Substitueren (invullen) van y voor x' (Van Dale, 2018).
Substitutie wordt toegepast op minstens één expressie,
bijv. propositie, (complexe) Disjunctie, clause, predicatie, term, en/of verzameling expressies.
(1) Notaties.
Ek : expressie (term/ formule).
Fh : formule.
vi : variabele.
tj : term.
E 1, T : target element, ' slot' (voorwaarde, of voorwaardelijke conclusie).
Datgene wat vervangen wordt.
E 2, r : referent, ' filler' (feit, bijv. constante).
Datgene wat geïntroduceerd ('ingevoerd') en geabsorbeerd wordt.
(2) Substitutie-operatie.
'E0 ·[E1 :=E2]'
Binnen een expressie E 0 wordt elk voorkomen van E 1 als target vervangen door E 2 als
referent.
E1 ·[v1 :=t1] :
Binnen een expressie E 1 wordt elke aanwezige variabele v1 als target vervangen door term
t1 als referent.
(3) Relevante Wetten/Regels m.b.t. substitutie:
Substitutie is in wezen gebaseerd op ketenredenering op basis van transitiviteit.
Bijv.: {(E 0 = '(A1  B1)')
 ((E 1 = 'A1')  ((E 2
= { A2 })  ((E 2  E
1)  (A2 (s) B
1) ) ) ) }.
Bijv.: {(E 0 = '(A1  B1)')
 ((E 1 = 'B1')  ((E 2
= { B2 })  ((E 1  E
2)  (A1 (s) B
2) ) ) ) }.
Substitutiestelling.
(2.1) Substitutie onder parafrase.
D.i. Equivalentie, synonymie.
Equivalentie:
(E 1 ≡ E 2)  (F ·[E 3:=E
1] ≡ F ·[E 3:=E 2]).
Synonymie.
( t1 =(r) t2)
 (F ·[ t3:=t1
] ≡ F ·[ t3:=t2]).
Bijv. (PPL): (A1  C1); (A1
A2); ·[A1 := A2];
(s) (A2 
C1) : is geldig.
Bijv. (PPL,Skl): {A 1( t1)  C 1( t
1))} (t1
=(r) t2); ·[t
1:=t2];
(s) (A 1( t2)
 C 1( t2)) : is geldig.
(2.2) Substitutie onder degressie.
(E 1  E 2)  (F ·[E 3
:=E 1]  F ·[E 3:=E
2]).
( R*( t2)  R
*( t1) );  (F ·[ t3
:=t1]  F ·[ t
3:=t2]).
Bijv. (PPL): (A1  (C1  C2));
((C1 C2)
C3); ·[(C1
C2) := C3]; (s) (A1
 C3) : is geldig.
Bijv. (PDL,Skl): {A 1( v1)  C 1( v1
))} (R*(c
1)  R*(v1) );
·[v1:=c1];
(s) (A 1( c1
)  C 1( c1)) : is geldig.
11.2. Substitutie van argumenten.
Toekenning van termen aan variabelen (argumenten van functies en predicaten).
(1)
(2) Substitueerbaarheid.
Uitdrukking E 1 is substitueerbaar
binnen een andere uitdrukking E 0 (bijv. een bewering of redenering (formule) F):
desda er geldt: E 1 kan een uitdrukking E 2 binnen E 0 vervangen.
Gegeven: E1 ·[t1:=t
2];
(a) Randvoorwaarden voor relevantie van een substitutie:
Syntactische welgevormdheid.
(a1) ¬(E1
PPL* ) : anders is de substitutie loos.
(a2) (t1
E1 ) : anders is de substitutie loos.
(a3) ¬(Code(t1)
= Code(t2) ); c.q. ¬(t1 =
(c) t2 ) : anders is de substitutie loos.
(a4) (t2
TERM*).
(b) Randvoorwaarden voor validiteit van een substitutie:
Semantische validiteit.
(b1) (t1
(VAR* CNS*d
FNC*d FNC*
s) ) ¬(t1
CNS*s) )
: anders volgt bijv. prefix conflict.
(b2) (R*(t2
)  R*(t1) )
: Het referentiegebied van t1 is gelijk aan of
subsumeert dat van t2.
(b3) ¬(t1
t2) : anders volgt
circulariteit.
(b4) Geen kwantor conflict in de interne context (binnen de omvattende expressie).
 (¬(FREE(E 1, t1 )
 (( t2  VAR *
)  FREE(E 1, t2 ) ) ) ).
Bijv.: ( x y (({F[ x]}
 ¬( y  VAR *(F) ) ) ≡ (F
·[ x:=y])) ).
Bijv.: ( x y (({F[ x]}
 ¬( y  VAR *(F) ) ) ≡ (F
·[ x:=y])) ).
(b5) Geen kwantor conflict in de externe context (buiten de omvattende expressie).
Generalisatie van vorige:
 ( i (¬(FREE(E[ i], t
1 )  (( t2  VAR
* )  ( j (E[ i]
 E[ j] )  FREE(E[ j], t
2 ) ) j ) ) ) i ).
(4) Soorten arbitraire ('ad hoc') interpretaties:
Van variabelen (als termen in argumentenlijsten).
(4.1) Variabele-hernoeming (renaming).
C.q. herbenoeming/ hercodering; hernummering/ her-indexering ( permutatie, c.q. representatie) van een
objectvariabele.
Transformaties onder parafrase en/of degressie.
Met logische object-variabelen: { x, y, z, w, v, u, ..}.
'·[v1 :=v2]' : Herbenoeming van een variabele.
Vervanging in de voorgaande expressie van elk voorkomen van v1 door v2.
(4.2) Argument-instantiatie.
Via Domeininterpretatie. Verlaging van de generaliteit, d.i. kwantiteit van een term.
Is dus een vorm van conjuncte reductie. Dus met degressie.
Met logische functies: éénplaatsig, constanten, bijv.: { a, b, c,
d, e, ..}; meerplaatsig, functies, bijv.: { f, g,
h, ..}.
(4.3) Argumenten-unificatie.
Bewerkstelligen van uniformiteit van (minstens) twee termen.
Wordt bereikt via minstens één substitutie, m.n. variabele-hernoeming (4.1) of conjuncte reductie c.q.
instantiatie (4.2).
(4.4) Argumenten-differentiatie.
Bewerkstelligen van pluriformiteit van (minstens) twee termen.
Wordt bereikt via minstens één substitutie, m.n. variabele-hernoeming (4.1) of disjuncte expansie (geldig) of
conjuncte expansie (ongeldig).
11.3. Voorwaarden voor
variabele-hernoeming (renaming).
Voorwaarde is synonymie: het referentieel gebied van beide variabelen in het domein is identiek.
( E·[ v1:=v2] )  (
R*( v1) = R*( v2
) ).
Als v2 nog niet in de desbetreffende expressie E voorkwam, dan blijft het referent
ieel bereik van E gelijk, en is het resultaat een variant, d.i. een alfabetische variant,
van de oorspronkelijke expressie.
' =(v)' : identiteit (synonymie) van termen onder variabelen-hernoeming.
'≡(v)' : Equivalentie (parafrase) van proposities onder variabelen-hernoeming.
Regels t.b.v. substitutie via renaming.
(1a) Regel t.b.v. substitutie van termen/ predicaat-argumenten, via renaming.
{ x y (( x =
(r) y)  ( h (¬( y
t[h] )  (
t[h][(.., x,..)]·[ x:=y] =
(v) t[h][(.., y,..)] ) ) h) ) y
, x }.
(1b) Regel t.b.v. substitutie van predicaties/ literalen, via renaming.
{ x y (( x =
(r) y)  ( h (¬( y
F[h] )  ( F
[h][(.., x,..)]·[ x:=y] ≡ (v) F
[h][(.., y,..)] ) ) h) ) y, x }.
11.4. Herbenoeming van variabelen in
predikaties.
Eenvoudige vorm: afleiding met parafrase, met behoud van structuur ( isomorfie, bijectie).
D.i. behoud van argument-volgorde èn argumenten-diversiteit.
Dus zonder variabelen unificatie of differentiatie.
Her-indexering, permutatie. Levert een variant.
In kwantorvrije, universele predicaties.
(1) Renaming; Binnen één Literaal.
(1a) Renaming; Binnen één Literaal; Met éénplaatsig predicaat.
In Literaal.
Bijv.: {A( x)}  ·[ x:=y];
(v) A( y).
(1b) Renaming; Binnen één Literaal; Met meerplaatsig predicaat.
Bijv.: {A( x, x)}  ·[ x:=y];
(v) A( y, y).
Bijv.: {A( x, x, y)}  ·[ x:=z;y:=
w]; (v) A( z, z,w).
Bijv.: {A( x, f( x))}  ·[ x:=
y]; (v) A( y, f( y
)).
Bijv.: {A( x, y, f( z))}  [ x:=
w;y:=v;z:= u]; (v) {A( w, v,
f( u))}.
Renaming; met plaatsverwisseling.
Bijv.: {A( x, y)}  ·[ x:=z;y:=x;z:= y
]; (v) A( y,x).
Bijv.: {A( x, y)}  ·[ x:=z;y:=x;z:= y
]; (v) A( y,x).
Bijv.: {A( x, x, y)}  ·[ x:=
z;y:=x;z:= y]; (v) A( y, y,x).
Bijv.: {A( x, f( y))}  ·[ x:=
z;y:=x;z:= y]; (v) A( y, f
( x)).
Renaming; met unificatie - zonder instantiatie.
Bijv.: {A( x, y)} : A( z, x); L1·[ y:=x]; L2·[ z
:=x] (parafrase)(
v) A( x, x).
(2) Renaming; In Conjunctie.
(2a) Renaming; In Conjunctie; Met
éénplaatsig predicaat.
Bijv.: {A( x)  B( x)}  ·[
x:=y]; (v) (A( y)
 B( y)) : geldig.
Indirecte herbenoeming, In Conjunctie ( zonder (impliciet) argument-differentiatie):
Bijv.: {A( x)  B( y)}  ·[
x:=z;y:=x;z:= y]; (v) (A( y
)  B( x)).
(3) Renaming; In Disjunctie.
(3a) Renaming; In Disjunctie; Met
éénplaatsig predicaat.
Bijv.: {A( x)  B( x)}  ·[
x:=y]; (v) (A( y)
 B( y)) : geldig.
Indirecte herbenoeming, In Disjunctie ( zonder (impliciet) argument-differentiatie):
Bijv.: {A( x)  B( y)}  ·[
x:=z;y:=x;z:= y]; (v) (A( y
)  B( x)).
(4) Renaming; In Implicatie.
Bijv.: {A 1( v1)  C 1( v1))}
·[v1:=v2];
(v) (A 1( v2)
 C 1( v2)) : is geldig.
C.P. van der Velde © 2004, 2016, 2019.
|
|