al3lp09n-htm--Alento Training Advies

Cursus / training:

Methode Formele Logica

^©

20. **Logische afleidingen als operaties op waarheidswaardepatronen.**

In dit hoofdstuk bekijken we enkele wetenswaardige eigenschappen van logische afleidingen, en de invloed van globale en lokale mutaties van het waarheidswaardepatroon, op logische kracht en logische geldigheid.

20A.

Afleidingen in een logisch systeem.

Een afleiding onderscheiden we hier van zelfstandige bewering of redeneervorm (zoals algemene structuur).
Ze wordt gekenmerkt door aanwezigheid van minstens één premisse(groep) en minstens één conclusie(groep), die verbonden zijn door een implicatie op de hoofdlijn.

De twee hoofdcomponenten van een logische afleiding, premisse en conclusie, zijn elk te herleiden tot een specifiek 'onderliggend' equivalent waarheidswaardenpatroon.
Tegelijk is ook elke redenering als geheel te herleiden tot (onder parafrase) een specifiek 'onderliggend' equivalent waarheidswaardenpatroon.

20A.1.

**Logisch-semantische afleiding - globaal effect:**

Met correcte vorm heeft een logische afleiding een globaal, relatief semantisch effect, d.i. effect op de 'onderliggende' globale, enkelvoudige waarheidswaarde (enkelvoudig, want als proportie) van de gehele premisse(groep) ten opzichte van de eindconclusie.

Het effect op de globale waarheidswaarde is gedeeltelijk afhankelijk van het type afleidingsrelatie en de geldigheid ervan.

(a)

Globale stijging:

Per saldo semantische verzwakking, downgrading.
GR : Globale semantische reductie.
De afleidingsrelatie is al dan niet logisch geldig.
(b)

Globaal gelijkblijvend:

Per saldo geen semantische verandering.
GI : globale semantische identiteit.
De afleidingsrelatie is logische equivalentie, parafrase, altijd geldig.
(c)

Globale daling:

Per saldo semantische versterking, upgrading.
GX : globale semantische expansie.
De afleidingsrelatie is logische contradictie of contingentie, altijd ongeldig.

20A.2

**Logisch-syntactische afleiding - operatie:**

Hoe wordt zo'n eindresultaat van een afleiding bereikt?

20A.2a

**Operatie: mutaties per bit.**

Een logische afleiding bestaat in de grond uit bewerkingen (mutaties) met 'lokaal' semantisch effect, d.i. effect op afzonderlijke bits in het 'onderliggende' waarheidswaardepatroon (c.q. de bijbehorende domeintoestand) van de gehele premisse(groep) ten opzichte van de gehele eindconclusie:

Mogelijkheden van mutatie per bit:

(a)

Lokale stijging:

R : semantische reductie, verzwakking.
(b)

Lokaal gelijkblijvend:

I : semantische identiteit.
(c)

Lokale daling:

X : semantische expansie, versterking.

20B.

Geldigheid van afleidingen volgens mutaties van waarheidswaarde.

Logische afleidingen kunnen nu ingedeeld worden overeenkomstig het soort mutaties van de waarheidswaarde van de premisse(n) ten opzichte van de conclusie(s).

20B.1.

Geldige afleiding:

Lokale mutaties:

Elke bit positie in het patroon blijft gelijk of wordt hoger.
D.w.z.:

• minstens één bit positie in het patroon wordt hoger.
• geen één bit positie in het patroon wordt lager.

Globaal effect (per saldo):

Globale waarheidswaarde blijft gelijk of wordt hoger.

Een geldige afleiding kan twee hoofdvormen weergeven:

• hetzij een parafrase (van twee equivalenten), cq tautologie;
• hetzij een 'zuivere' generalisatie, i.e. 'zuivere' semantische verzwakking cq reductie cq regressie.

20B.1a.

**Geldig door Equivalentie:**

Lokale mutaties:

Geen. Alle bits blijven identiek.

Globaal effect (per saldo):

Geen. Globale waarheidswaarde blijft gelijk.
GI : Per saldo globale waarde-equivalentie.

Bijv.: ({¬A

¬B}

¬(A

B));

≡ (¬(¬A

¬B)

(¬A

¬B));
≡_DNF ((A

¬A

¬B);
≡_(transf.ctd) (A

¬A

¬B);
≡_(transf.ctd) (

$

¬B);

[≡_val (

$

0111

$

1000);
≡_val (

$

0111

$

0111); [=(3/4 -3/4) =+0/4] [=(0000): 4I+0X+0R];
≡_val (

$

1000

$

0111); ≡_val

$

1111 [= 4/4].]

≡

$

1 : geldig.

20B.1b.

**Geldig door Implicatie (onder degressie).**

Lokale mutaties:

Bits blijven gelijk of worden verhoogd.

Globaal effect (per saldo):

Verzwakking, Semantische reductie, downgrading.
GR : Globale semantische reductie.
Bijv.: Bewijs via 'bevestigende wijs': Modus Ponens (

MP

).
Sluitrede, algemene (basis)vorm. 'Material detachment'.
Via Factief bevestigde premisse; resp. (impliciete) Transferente contradictie eliminatie; resp. Conjunctieve reductie.
Eenvoudige vorm.

Bijv.: ({(A

B), A}

_{(degres
)} B);

(1)

Route 1:

≡ (¬((¬A

B);
≡ ((¬(¬A

¬A)

B);
≡_DNF ((A

¬B)

¬A

B);
≡_(transf.ctd) (A

¬A

B);
≡ (

$

B);
(2)

Route 2:

≡ (((¬A

_(degres
) B);
≡_(transf.ctd) ((A

_{(
degres
)} B);
≡ (¬(A

B);
≡_DNF (¬A

¬B

B);
≡ (¬A

$

1);

[≡_val (((

$

1100

$

1010)

$

1100)

$

1010);
≡_val (((¬

$

1100

$

1010)

$

1100)

$

1010);
≡_val (((

$

0011

$

1010)

$

1100)

$

1010);
≡_val ((

$

1011

$

1100)

$

1010);
≡_val (

$

1000

$

1010);
≡_val (

$

1000

$

1010); [=(1/4 -2/4 =-1/4] [=(00+0): 3I+0X+1R];
≡_val (

$

0111

$

1010); ≡ _val

$

1111 [= 4/4].]

≡

$

1 : geldig.

Bijv. Kwantor-downgrading, instantiatie in bewering of conclusie(s).

Bijv. (

PDL

): ((

x A(x))

(

x A(x)));

~

≡_PPL ((A1

A2)

(A1

A2));

~

≡_PPL ((A

B));

≡ (¬(A

B));

≡ ((¬A

¬B)

B));

≡_DNF (¬A

¬B

B);

≡_{(bas.taut.,2x)} (

$

1);

[≡_val (

$

1000

$

1110); [=(1/4 -3/4) =-2/4] [=(0--0): 2I+2X+0R];
≡_val (

$

0111

$

1110); ≡_val

$

1111 [= 4/4].]

≡

$

1 : is geldig.

Kortom:

• Geldigheid impliceert altijd globale equivalentie òf verzwakking.
• Maar het omgekeerde geldt niet: Verzwakking impliceert niet noodzakelijk geldigheid.
• Een geldige afleiding kan géén versterking omvatten: noch een globale, noch een lokale versterking.

20B.2.

Ongeldige afleiding:

Een ongeldige afleiding heeft een conclusie die een (semantische) versterking bevat van de premisse(n);
nl. op minstens één aspect: minstens één bit van

$

1 naar

$

0.
Dat is fataal voor de logische geldigheid van de gehele afleiding.
Daarnaast kan de conclusie van zo'n redenering ook een (semantische) verzwakking bevatten van de premisse(n) nl. op één of meer andere aspecten: minstens één bit van

$

0 naar

$

1.
Dat laatste maakt de afleiding echter niet minder ongeldig.

Een ongeldige afleiding kan twee hoofdvormen weergeven:

• hetzij een 'zuivere' (globale) semantische versterking c.q. generalisatie;
• hetzij een 'gemixte' drogreden, d.i. 'lokale' versterking in combinatie met 'lokale' verzwakking.

• 'Zuivere' generalisatie (semantische expansie):
Een ongeldige afleiding die (semantische) versterking behelst maar daarnaast geen (semantische) verzwakking .
Daardoor is het resultaat per saldo globale (semantische) versterking.
• 'Gemengde' drogreden:
Een ongeldige afleiding die naast (semantische) versterking ook (semantische) verzwakking omvat.
Daardoor kan het resultaat per saldo globale (semantische) versterking, gelijkheid of verzwakking zijn.

Kortom:

• Globale versterking is níet een algemeen kenmerk van ongeldigheid.
• Een ongeldige afleiding bevat in ieder geval altijd lokale versterking.
Minstens één bit positie in het waardepatroon wordt lager.
• Ongeldigheid kan ook optreden met lokale verzwakking.
• Ongeldigheid blijkt zelfs (en vrij vaak!) op te treden met globale verzwakking /reductie (GR).
• Vaststelling van ongeldigheid heeft dus niet direct iets te maken met de (globale) waarheidswaarde van het eindresultaat, behalve dat deze niet

$

1 (verum resp. valide) dient te zijn.

20B.2a.

**Ongeldig door Contradictie:**

Lokale mutaties:

Elke bit positie in het patroon wordt lager.

Globaal effect (per saldo):

Versterken naar maximale logische kracht, dus

$

0 (falsum).
Uitsluitend door afleiding van onwaarheid uit waarheid.
Bijv. afleiding van contradictie uit tautolologie.

Bijv.: ({A

¬A}

¬A));

≡ (¬(A

¬A)

¬A));
≡_DNF ((¬A

¬A));
≡_{(lok.ctd.,2x)} (

$

0);

≡_val ((

$

01);

(

$

01));
≡_val (

$

00); [=(2/2 -0/2) =+2/2]; [=(--): 0I+2X+0R];
≡_val (

$

00); ≡_val

$

00 [= 0/2];

≡

$

0 :

ongeldig

(contradictie).

20B.2b.

**Ongeldig door Contingentie:**

Globaal effect (per saldo):

wisselend.

20B.2b.1

**'Zuivere' generalisatie.**

Lokale mutaties:

Elke bit positie in het patroon blijft gelijk of wordt lager.
D.w.z.:

• Minstens één bit positie in het patroon wordt lager.
• Géén bit positie in het patroon wordt hoger.
Bevat dus geen 'lokale' verzwakking /downgrading.

Globaal effect (per saldo):

Versterken naar minder dan maximale logische kracht, dus hoger dan

$

0 (falsum) (maar, uiteraard, lager dan

$

1 (verum).

Is te beoordelen:
(voor gevallen met EN zonder premissen(n)):

• Op logische structuur/criteria, als redeneervorm.
• Op empirische grond, 'kennis van de wereld'.
• Op causaal-analytische gronden.

Bijv. Conjuncte expansie van bewering(en) of conclusie(s).

Bijv.: ({A}

B));

≡_DNF (¬A

B));
≡_{(transf.ctd.)} (¬A

B);

[≡_val (

$

1100

$

1000); [=(2/4 -1/4 =+1/4)] [=(0-00): 3I+1X+0R];
≡_val (

$

0011

$

1000); ≡_val

$

1011 [= 3/4].]

≡ (A

B) :

ongeldig

Bijv. Afleiding van contingentie naar contradictie.

Bijv.: ({A

¬B));

≡ (¬(A

¬B));
≡_DNF ((¬A

¬B)

¬B));
≡_(lok.ctd.) ((¬A

¬B)

$

0));

[≡_val ((

$

1100

$

1010)

(

$

1010

$

0101));
≡_val (

$

1110

$

0000); [=(3/4 -0/4) =+3/4] [=(---0): 1I+3X+0R];
≡_val (

$

0001

$

0000); ≡_val

$

0001 [= 1/4] ]

≡ (¬A

¬B) :

ongeldig

Bijv. Disjunct-conjunct conversie van hoofdconnectief in bewering(en) of conclusie(s).

Bijv.: ({A

B));

≡_DNF ((¬A

¬B)

B));

[≡_val (

$

1110

$

1000); [=(3/4 -1/4) =+2/4] [=(0--0): 2I+2X+0R];
≡_val (

$

0001

$

1000); ≡_val

$

1001 [= 2/4].]

≡ (A ≡ B) :

ongeldig

Bijv. Kwantor-upgrading generalisatie in bewering of conclusie(s).

Bijv. (

PDL

): ((

x A(x))

(

x A(x)));

~

≡_PPL ((A1

A2)

(A1

A2));

~

≡_PPL ((A

B));

≡ (¬(A

B));

≡_DNF ((¬A

¬B)

B));

≡ (A ≡ B);

[≡_val (

$

1110

$

1000); [=(3/4 -1/4) =+2/4] [=(0--0): 2I+2X+0R];
≡_val (

$

0001

$

1000); ≡_val

$

1001 [= 2/4].]

≡ (

y (A(x) ≡ A( y)) : is

ongeldig

20B.2b.2

**'Gemengde' drogreden.**

Lokale mutaties:

Behelst lokale verzwakking èn versterking.

• minstens één bit positie in het patroon wordt lager.
• minstens één bit positie in het patroon wordt hoger.

Globaal effect (per saldo):

wisselend.

20B.2b.2a

**Globaal (per saldo) versterkend.**

Globaal effect (per saldo):

Verhoging van globale waardeniveau van een stelling.
Bijv. Via weglaten van een (complexe) disjunct in bewering(en) of conclusie(s).

Bijv.: ({A ≡ B}

¬B));

≡ (¬((A

A))

¬B)); ≡ ((¬(¬A

¬(¬B

A))

¬B));
≡ (((A

¬B)

¬A))

¬B));
≡_DNF ((A

¬B)

¬A)

¬B)); ≡ _(doub.elim.) ((A

¬B)

¬A));

[≡_val (

$

1001

$

0100); [=(2/4 -1/4) =+1/4] [=(-+0-): 1I+2X+1R];
≡_val (

$

0110

$

0100); ≡_val

$

0110 [= 2/4].]

≡ (A

#

B) :

ongeldig

(met verlaging van globale waarheidswaarde)..

20B.2b.2b

**Globaal (per saldo) gelijk blijvend.**

Globaal effect (per saldo):

Behoud van globale waardeniveau van een stelling.
Bijv. via vervanging van een conjunct (d.i. (geldige) conjuncte reductie èn (ongeldige) conjuncte expansie), in bewering(en) of conclusie(s).
Levert gedeeltelijke gelijkenis/ overlapping van basale conjuncten.

Bijv.: ({A

C));

≡_DNF (¬A

¬B

C)); ≡_{(transf.ctd.)} (¬A

¬B

C);

[≡_val (

$

1100.0000

$

1000.1000); [=(2/8 -2/8) =+0/8] [=(0-00.+000): 6I+1X+1R];
≡_val (

$

0011.1111

$

1000.1000); ≡_val

$

1011.1111 [= 7/8].]

≡ (A

C)) :

ongeldig

20B.2b.2c

**Globaal (per saldo) verzwakkend.**

Globaal effect (per saldo):

Verlaging van globale waardeniveau van een stelling.
Bijv. via vervanging van alle basiselementen, en conjunct-disjunct conversie van hoofdconnectief in bewering(en) of conclusie(s).
(De conclusie vormt het complement van de premisse).

Bijv.: ({A

(¬A

¬B));

≡ (¬(A

(¬A

¬B));
≡_DNF (¬A

¬B

¬A

¬B);
≡_{(doub.rdc.,2x)} (¬A

¬B)

[≡_val (

$

1000

$

0111); [=(1/4 -3/4) =-2/4] [=(-+++): 0I+1X+3R];
≡_val (

$

0111

$

0111); ≡_val

$

0111 [= 3/4].]

≡ (A

¬B) :

ongeldig

(vooronderstelt de conclusie: vervanging van de premisse door de conclusie).

20C.

Equivalente varianten van ongeldige relaties en afleidingen - voorbeelden.

'Boven' elk willekeurig waarheidswaardenpatroon (dat per definitie van semantische aard is) kunnen in een bepaalde logische taal (bijv., om het simpel te houden: propositielogica) één of meerdere (in principe oneindig veel) syntactische constructies c.q. formules worden gevormd dit tot dat patroon herleidbaar zijn.
Dit betekent onder meer dat elke logische afleiding via haar 'onderliggende' waarheidswaardenpatroon (semantisch) equivalent is aan oneindig veel andere afleidingsvormen, die syntactisch soms een heel andere verdeling van premisse(groep) en conclusie(groep) kunnen vertonen.
In de onderstaande tabel staan een aantal voorbeelden van equivalente varianten van ongeldige relaties en afleidingen .

Equivalent Fallacies - contingent formulas - in PPL
Vrb	Rel	Syntax variant	Value pattern	Value proportion	Value mutations p/bit
0	0	1 -Variable
0	0	Relation no. 1
1	1	(A)	$10	1/2
1	1	($1 > A)	$11 > $10	(2/2 - 1/2) =+1/2 :*GX.	(0-) =1I+1X+0R :*ZX
1	1	($0 v A)	$00 v $10
0	0	____________________
0	0	2 -Variable
0	0	Relation no. 2
2	2	(A ==B)	$1001	2/4
2	2	((A v B)) > (A & B)	$1110 > $1000	(3/4 - 1/4) =+2/4 :*GX	(0--0) =2I+2X+0R :*ZX
2	2
2	2	(¬(A & B)) > (¬A & ¬B)	$0111 > $0001	(3/4 - 1/4) =+2/4 :*GX	(0--0) =2I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 3
2	3	(A # B)	$0110	2/4
2	3	(((A == B)) > (A & ¬B))	$1001 > $0100	(2/4 - 1/4) =+1/4 :*GX	(-+0-) =1I+2X+1R :*MIX
2	3	((A & ¬B) v (B & ¬A))	$0110 v $0100
0	0	Relation no. 4
2	4	(A v B)	$1110	3/4
2	4	(-A > B)	$0011 > $1010	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(+01-) =2I+1X+1R :*MIX
2	4	(A > B) > B	$1011 > $1010	(3/4 - 2/4) =+1/4 :*GX	(000-) =3I+1X+0R :*ZX
2	4	((A & ¬B) v B)	$0100 v $1010
0	0	Relation no. 5
2	5	(-A v B)	$1011	3/4
2	5	(A > B)	$1100 > $1010	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0-+0) =2I+1X+1R :*MIX
2	5	($1 >(A > B))	$1111 > $1011	(4/4 - 3/4) =-1/4 :*GX	(0-00) =3I+1X+0R :*ZX
2	5	(A ==(A & B))	$1100 > $1010
2	5	(A ==(A & B))	$(1100 > 1000) & (1000 > 1100)
2	5		$(0011 v 1000) & (0111 v 1100)
2	5		$(1011 & 1111)
2	5	((¬(A > B) & A) > B)
2	5	(((A & -B) & A) > B)
2	5	((A & -B) > B)	$0100 > $1010	(1/4 - 2/4) =-1/4 :*GR	(+-+0) =1I+1X+2R :*MIX
2	5	((¬(A > B) & -B) > -A)
2	5	(((A & -B) & -B) > -A)
2	5	((A & -B & -B) > -A)
2	5	((A & -B) > -A)	$0100 > $0011	(1/4 - 2/4) =-1/4 :*GR	(0-++) =1I+1X+2R :*MIX
2	5	(B > A) > (A > B)	$1101 > $1011	(3/4 - 3/4) =+0/4 :*GI	(0-+0) =2I+1X+1R :*MIX
2	5	(B > A) > (-B > -A)	$1101 > $1011	(3/4 - 3/4) =+0/4 :*GI	(0-+0) =2I+1X+1R :*MIX
2	5	(A > (A & B))	$1100 > $1000	(2/4 - 1/4) =+1/4 :*GX	(0-00) =3I+1X+0R :*ZX
2	5	(¬A v (A & B))	$0011 v $1000
0	0	Relation no. 6
2	6	(A v -B)	$1101	3/4
2	6	(B > A)	$1010 > $1100	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0+-0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	((B > A) & A) > B	$1100 > $1010	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0-+0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	((B > A) & -B) > -A	($1101 & $0101) > $0011
2	6		$0101 > $0011	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0-+0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	(B > A) > (A ==B)	$1101 > $1001	(3/4 - 2/4) =+1/4 :*GX	(0-00) =3I+1X+0R :*ZX
2	6	(A > B) > (B > A)	$1011 > $1101	(3/4 - 3/4) =+0/4 :*GI	(0+-0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	(A > B) > (-A > -B)	$1011 > $1101	(3/4 - 3/4) =+0/4 :*GI	(0+-0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	((A > B) & B) > A	$1010 > $1100	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0+-0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	((A > B) & -A) > -B	($1011, $0011) > $0101
2	6		$0011 > $0101	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(0+-0) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	(¬(B > A) & B) > A	(-$1101 & $1010) > $1100
2	6		($0010 & $1010) > $1100
2	6		($0010 > $1100)	(1/4 - 2/4) =-1/4 :*GR	(++-0) =1I+1X+2R :*MIX
2	6	(¬(B > A) & -A) > -B	(-$1101 & $0011) > $0101
2	6		($0010 & $0011) > $0101
2	6		($0010 > $0101)	(1/4 - 2/4) =-1/4 :*GR	(0+-+) =1I+1X+2R :*MIX
2	6	(A > B) > (A ==B)	($1011 > $1001)	(3/4 - 2/4) =+1/4 :*GX	(00-0) =3I+1X+0R :*ZX
2	6	((A v B) > A)	($1110 > $1100)	(3/4 - 2/4) =+1/4 :*GX	(00-0) =3I+1X+0R :*ZX
2	6	(¬(A v B) v A)	($0001 v $1100)
2	6	((¬A v A) & (¬B v A)	($1111 v $1101)
2	6	((A v B) > (A v ¬B))	($1110 > $1101)	(3/4 - 3/4) =+0/4 :*GI	(00-+) =2I+1X+1R :*MIX
2	6	((¬A & ¬B) v A v ¬B)	($0001 v $1101)
0	0	Relation no. 7
2	7	(-A v -B )	$0111	3/4
2	7	(A > -B )	$1100 > $0101	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(-00+) =2I+1X+1R :*MIX
2	7	(B > -A )	$0101 > $1100	(2/4 - 2/4) =+0/4 :*GI	(+00-) =2I+1X+1R :*MIX
2	7	(A > B) > -A	$1011 > $0011
2	7	(-B > -A) > -A
2	7	(¬(¬A v B) v -A)	$0100 v $0011
2	7	((A & ¬B) v -A)
2	7	((-B > -A) > -A)	($1011 > $0011)	(3/4 - 2/4) = +1/4 :*GX	(-000) =3I+1X+0R :*ZX
2	7	((A & B) > (¬A v ¬B))	($1000 > $0111)	(1/4 - 3/4) = -2/4 :*GR	(-+++) =0I+1X+3R :*MIX
2	7	(¬A v ¬B v ¬A v ¬B)	($0111 v $0111)
2	7	((A v B) > (A # B))	$1110 > $0110	(3/4 - 2/4) = +1/4 :*GX	(-000) =3I+1G+0R :*ZX!
2	7		$0001 v $0110
0	0	Relation no. 8
2	8	¬B	($0101)	2/4
2	8	(((A v B)) > (A & ¬B))	($1110 > $0100)	(3/4 - 1/4) = +2/4 :*GX	(-0-0) =2I+2X+0R :*ZX!
2	8	((¬A & ¬B) v (A & ¬B))	($0001 v $0100)
0	0	____________________
0	0	3 -Variable
0	0	Relation no. 9
3	9	((A & B) v C)	$1110.1010	5/8
3	9	((A & B) v C)	($1100.0000 v $1010.1010)
3	9	(¬(A & B) > C)	($0011.1111 > $1010.1010)	(6/8 - 4/8) = +2/8 :*GX	(+00-.0-0-) =4I+3X+1R :*MIX
3	9	((¬A v ¬B) > C)
3	9	((A > ¬B) > C)	(($1111.0000 > -$1100.1100) > $1010.1010)
3	9		(($1111.0000 > $0011.0011) > $1010.1010)
3	9		(($0000.1111 v $0011.0011) > $1010.1010)
3	9		($0011.1111 > $1010.1010)	(6/8 - 4/8) = +2/8 :*GX	(+00-.0-0-) =4I+3X+1R :*MIX
3	9		($0100.0000 v $1010.1010)
3	9	(((A & B) > C) > C)	$1110.1010	5/8
3	9	((A & B) v C)	($0100.0000 v $1010.1010)
3	9	(-(A & B) > C)	($1011.1111 > $1010.1010)	(7/8 - 4/8) = +3/8 :*GX	(000-.0-0-) =5I+3X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 10
3	10	(A v B v C)	$1111.1110	7/8
3	10	((-(A v B) v C) > C)
3	10	(((A v B) > C) > C)	($1010.1011 > $1010.1010)	(5/8 - 4/8) = +1/8 :*GX	(0000.000-) =7I+1X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 11
3	11	(-A v (B & C))	$1000.1111	5/8
3	11	(A > (B & C))	($1111.0000 > $1000.1000)	(4/8 - 2/8) = +2/8 :*GX	(0---.+000) =4I+3X+1R :*MIX
0	0	Relation no. 12
3	12	(-A v B v C)	$1110.1111	7/8
3	12	(A > (B v C))	$1111.0000 > $1110.1110	(4/8 - 5/8) = -1/8 :*GR	(000-.+++0) =4I+1X+3R :*MIX
3	12	((A & X) > C) > (A > C)
3	12	((X > A) & (X > C)) > (A > C)
3	12	((B > A) & (B > C)) > (A > C)	$1011.0011 > $1010.1111	(5/8 - 6/8) = -1/8 :*GR	(000-.++00) =5I+1X+2R :*MIX
3	12	((((A & B) > C) & A) > C)	$1011.0000 > $1010.1010	(3/8 - 4/8) = -1/8 :*GR	(000-.+0+0) =5I+1X+2R :*MIX
3	12	((A & B) > C) > (A > C)	$1011.1111 > $1010.1111	(7/8 - 6/8) = +1/8 :*GX	(000-.0000) =7I+1X+0R :*ZX
3	12
3	12	((A v B) > (B v C))	($1111.1100 > $1110.1110)	(6/8 - 6/8) = +0/8 :*GI	(000-.00+0) =6I+1X+1R :*MIX
3	12	(-(A v B) v (B v C))	($0000.0011 v $1110.1110)
3	12	(A > (B v C))
3	12	((((A & B) > C) & A) > C)	(((($1111.0000 & $1100.1100>) > $1010.1010) & $1111.0000) > $1010.1010)
3	12	(((-(A & B) v C) & A) > C)	(((¬($1111.0000 & $1100.1100>) v $1010.1010) & $1111.0000) > $1010.1010)
0	0	Relation no. 13
3	13	(A v ¬B v C )	$1111.1011	7/8
3	13	(B > (A v C ))	($1100.1100 > $1111.1010)	(4/8 - 6/8) = -2/8 :*GR	(00++.0-+0) =4I+1X+3R :*MIX
3	13	((A v B) & (B v C)) > (A v C)	($1110.1100 > $1111.1010)	(5/8 - 6/8) = -1/8 :*GR	(000+.0-+0) =5I+1X+2R :*MIX
3	13	((A v B) > (A v (B & C))	($1111.1100 > $1111.1000)	(6/8 - 5/8) = +1/8 :*GX	(0000.0-00) =7I+1X+0R :*ZX
3	13	((A v B v C) > (A v C))	($1111.1110 > $1111.1010)	(7/8 - 6/8) = +1/8 :*GX	(0000.0-00) =7I+1X+0R :*ZX
3	13	(¬B v A v C )
3	13	(B > (A v C))
0	0	Relation no. 14
3	14	(A v B v -C)	$1111.1101	7/8
3	14	(C > (A v B))	($1010.1010 > $1111.1100)	(4/8 - 6/8) = -2/8 :*GR	(0+0+.0+-0) =4I+3X+1R :*MIX
3	14	((A > B) > (C > B))	($1100.1111 > $1101.1101)	(6/8 - 6/8) = +0/8 :*GI	(000+.00-0) =6I+1X+1R :*MIX
3	14	(A > B) > ((A v X) > B)
3	14	(A > B) > ((A v C) > B)
0	0	Relation no. 15
3	15	(-A v -B v C)	$1011.1111	7/8
3	15	(-(A & B) v C)
3	15	(¬(-A v -B) > C)
3	15	((A & B) > C)	($1100.0000 > $1010.1010)	(2/8 - 4/8) = -2/8 :*GR	(0-+0.+0+0) =4I+1X+3R :*MIX
3	15	(A > (B > C ))	($1111.0000 > $1011.1011)	(4/8 - 6/8) = -2/8 :*GR	(0-00.+0++) =4I+1X+3R :*MIX
3	15	(B > (A > C ))	($1100.1100 > $1010.1111)	(4/8 - 6/8) = -2/8 :*GR	(0-+0.00++) =4I+1X+3R :*MIX
3	15	((A > B) > (A > C))	($1100.1111 > $1010.1111)	(6/8 - 6/8) = -0/8 :*GE	(0-+0.0000) =6I+1X+1R :*MIX
3	15	((A & B) > (B & C))	($1100.0000 > $1000.1000)	(2/8 - 2/8) = +0/8 :*GI	(0-00.+000) =6I+1X+1R :*MIX
3	15	((A > B) > (A > (B & C))	($1100.1111 > $1000.1111)	(6/8 - 5/8) = +1/8 :*GX	(0-00.0000) =7I+1X+0R :*ZX
3	15	(((A > B) > C) > (A > C))	($1011.1010 > $1010.1111)	(5/8 - 6/8) = -1/8 :*GR	(000-.0+0+) =5I+1X+2R :*MIX
3	15	((A & B) > (A & B & C))	($1100.0000 > $1000.0000)	(2/8 - 1/8) = +1/8 :*GX	(0-00.0000) =7I+1X+0R :*ZX
3	15	((A > B) & (C > B)) > (A > C)
3	15	((-A & -C) v B) > (-A v C)
3	15	(¬(A v C) v B) > (-A v C)
3	15	((A v C) > B) > (A > C)	(($1111.1010 > $1100.1100) > $1010.1111)
3	15		($1100.1100 > $1010.1111)	(4/8 - 6/8) = -2/8	(0-+0.00++) =4I+1X+3R :*MIX
3	15	((-A & -C) v B) > (-A v C)	$0011.0011 v $1010.1111
3	15	B > (A > C)
3	15	(A & B) > C
3	15	(A & B) > (B & C)	($1100.0000 > $1000.1000)	(2/8 - 2/8) = +0/8 :*GI	(0-00.+000) =6I+1X+1R :*MIX
3	15	¬(A & B) v (B & C)	($0011.1111 v $1000.1000)
3	15	(¬A v ¬B v (B & C)
3	15	(¬A v ¬B v C)
3	15	(A > (B > C))
3	15	(-A v (B > C))
0	0	Relation no. 16
3	16	(-A v B v -C)	$1101.1111	7/8
3	16	((A & C) > B)	($1010.0000 > $1100.1100)	(2/8 - 4/8) = -2/8 :*GR	(0+-0.++00) =4I+1X+3R :*MIX
3	16	(A > (C > B))
3	16	(C > (A > B))
3	16	((A & (B v C)) > (A > B))	($1110.0000 > $1100.0000)	(3/8 - 2/8) = +1/8 :*GX	(00-0.0000) =7I+1X+0R :*ZX
3	16	((A > (B v C)) > (A > B))	($1110.1111 > $1100.1111)	(7/8 - 6/8) = +1/8 :*GX	(00-0.0000) =7I+1X+0R :*ZX
3	16	((A & C) > B)
3	16	(A ! X ! B) > (A ! B)
3	16	(A ! C ! B) > (A ! B)	($0111.1111 > $0011.1111)	(7/8 - 6/8) = +1/8 :*GX	(0-00.0000) =7I+1X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 17
3	17	((-A & -B) v C)	$1010.1011	5/8
3	17	((A v B) > C)	($1111.1100 > $1010.1010)	(5/8 - 4/8) = +1/8 :*GX	(0-0-.0-+0) =4I+3X+1R :*MIX
3	17	((¬A > B) > C)
3	17	(¬(A v B) v C)
3	17	((¬A & -B) v C)
3	17	((¬A v C) & (-B v C))
3	17	((A > C) & (B > C))
0	0	Relation no. 18
3	18	((A v B) & C)	$1010.1000	3/8
3	18	((-A > B) & C)
3	18	((A & C) v (B & C))	($1010.0000 v $1000.1000)
3	18	(-(A & C) > (B & C))	($0101.1111 > $1000.1000)	(6/8 - 2/8) = +4/8 :*GX	(+-0-.0---) =2I+1X+5R :*MIX
3	18	((-A v -C) > (B & C))
0	0	Relation no. 19
3	19	((A ==B) v (A ==C))	$1110.0111	6/8
3	19	((A v (B & C)) > (A & (B v C)))	($1111.1000 > $1110.0000)	(5/8 - 3/8) = +2/8 :*GX	(000-.-000) =6I+2X+0R :*ZX
3	19	((A v B) & (A v C)) > (A & (B v C))	($1111.1000 > $1110.0000)	(5/8 - 3/8) = +2/8 :*GX	(000-.-000) =6I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 20
3	20	(A > (B ==C))	$1001.1111	6/8
3	20	(A & (B v C)) > (A & B & C)	($1110.0000 > $1000.0000)	(3/8 - 1/8) = +2/8 :*GX	(0--0.0000) =6I+2X+0R :*ZX
3	20	(A > (B v C)) > (A > (B & C))	($1110.1111 > $1000.1111)	(7/8 - 5/8) = +2/8 :*GX	(0--0.0000) =6I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 21
3	21	((A # B) > C)	$1110.1011	6/8
3	21	((A ==B) v C)	($1100.0011 v $1010.1010)
3	21	((A & B) > C) > ((A v B) > C)	($1011.1111 > $1010.1011)	(7/8 - 5/8) = +2/8 :*GX	(000-.0-00) =6I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 22
3	22	¬A	$0000.1111	4/8
3	22	((A > C), (A > ¬C))	(($1111.0000 > $1010.1010), ($1111.0000 > $0101.0101))
3	22	((¬A v C), (¬A v ¬C))	($1010.1111, $0101.1111)
3	22	(¬A & (C v ¬C), (¬A v (C & ¬C))
3	22	(¬A & $0), (¬A v $0)
0	0	____________________
0	0	4 -Variable
0	0	Relation no. 23
4	23	((((A & B) > C), D) > C)	&1111_1101.1101_1101	13/16.
4	23	(D >((A &B) vC))).
4	23	((A &B) vC v-D)	$1111_1101.1101_1101
4	23	(((¬(A &B) vC) &D ) >C )	$1111_1101.1101_1101	13/16
4	23	(((¬A v¬B vC) &D ) >C )
4	23	((((¬A &D) v(¬B &D) v(C &D)) >C )
4	23	(((¬(A &B) vC) &D) > C)	$1000_1010.1010_1010 > $1100_1100.1100_1100)	(7/16 -8/16) = -1/16	(0+00 0+-0.0+-0 0+-0) =9I+3X+4R :*MIX
0	0	Relation no. 24
4	24	(((A v B) > C), D) > C	&1111_1111.1111_1101	15/16.
4	24	(D > (A vB vC ))
4	24	(A vB vC v-D)	$1111_1111.1111_1101	15/16
4	24	(((¬(A vB) vC) &D ) >C )	$1111_1111.1111_1101	15/16
4	24	(((¬(A vB) vC) &D) > C)	($1000_1000.1000_1010 > $1100_1100.1100_1100)	(5/16 -8/16) = -3/16	(0+00 0+00.0+00 0+-0) =11I+1X+4R :*MIX
0	0	Relation no. 25
4	25	((S>M),(N>P)) > (S>P)
4	25	&((A=S),(B=M),(C=N),(D=P))
4	25	((A > B), (C > D)) > (A > D)	$1110_1111.1111_1111	15/16
4	25	((A &B) >(C vD ) )
4	25	(A >(B >(C vD ) ) )
4	25	((A &B) >(C vD) )	&1110_1111.1111_1111	15/16
4	25	(((¬A vB) &(¬C vD)) >(¬A vD))	$1110_1111.1111_1111	15/16
4	25	(((¬A vB) &(¬C vD)) >(¬A vD))	($1011_0000.1011_1011 > $1010_1010.1111_1111)	(9/16 -12/16) = -3/16	(000- +0+0.0+00 0+00) =11I+1X+4R :*MIX
0	0	Relation no. 26
4	26	((S,M),(N>P)) > (S,P)
4	26	&((A=S),(B=M),(C=N),(D=P))
4	26	((A & B), (C > D)) > (A & B)	$1110_1111.1111_1111
4	26	((A &B) > (C vD))
4	26	(A > (B > (C vD)))
4	26	(((A &B) &(¬C vD)) >(A &D))	$1110_1111.1111_1111
4	26	(((A &B) &(¬C vD)) >(A &D))	($1011_0000.0000_0000 > $1010_1010.0000_0000)	(3/16 - 4/16) = -1/16	(000- +0+0.0000 0000) =13I+1X+2R :*MIX
0	0	Relation no. 27
4	27	(A > (B v C v D)) > (A > ((B & C) v D))	$1110_1011.1111_1111	13/16
4	27	(A >((B==C) vD))	$1110_1011.1111_1111
4	27	((¬A v(B vC vD)) > (¬A v((B &C) vD)))	($1111_1110.1111_1111 > $1110_1010.1111_1111)	(15/16 - 13/16) = +1/16 :*GX	(000- 0-00.0000 0000) =14I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 28
4	28	((A & B) > C) > (((A v X) & B) > C)
4	28	((A & B) > C) > (((A v D) & B) > C)	$1111_1111.1101_1111	15/16
4	28	((B &D) >(A vC ))	$1111_1111.1101_1111
4	28	((A &B) >C) >((A vD) &B) >C)	($1100_1111.1111_1111 > $1100_1111.1101_1111)	(14/16 - 13/16) = +1/16 :*GX	(0000 0000.00-0 0000) =15I+1X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 29
4	29	(((A & X) v B) > C) > ((A v B) > C)
4	29	(((A & D) v B) > C) > ((A v B) > C)	$1111_1110.1111_1111	15/16
4	29	(¬A v(B vC vD ))	$1111_1110.1111_1111
4	29	(((A &D) vB) >C) >((A vB) >C)	($1100_1101.1100_1111 > $1100_1100.1100_1111)	(11/16 - 10/16) = +1/16 :*GX	(0000 000-.0000 0000) =15I+1X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 30
4	30	((A & X) v B) > C) > ((A v X v B) > C)
4	30	((A & D) v B) > C) > ((A v D v B) > C)	$1111_1110.1111_1101	14/16
4	30	((A # D) >(B vC ) )
4	30	((A==D) vB vC)	$1111_1110.1111_1101
4	30	(((A &D) vB) >C) > ((A vB vD) >C)	($1100_1101.1100_1111 > $1100_1100.1100_1101)	(11/16 - 9/16) = +2/16 :*GX	(0000 000-.0000 00-0) =14I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 31
4	31	PDL :
0	0	Relation no. 32
4	32	((%x Ax) & (%y By)) >(%x(Ax & Bx))
4	32	((A1 vA2) &(B1 vB2)) >((A1 &B1) v(A2 &B2))
4	32	&((A1=A),(A2=B),(B1=C),(B2=D))
4	32	((A vB) &(C vD)) >((A &C) v(B &D))	$1111_1101.1011_1111	14/16
4	32	((A vB) &(C vD)) >((A &C) v(B &D))	($1110_1110.1110_0000 > $1110_1100.1010_0000)	( 9/16 - 7/16) = +2/16 :*GX	(0000 00-0.0-00 0000) =14I+2X+0R :*ZX
0	0	Relation no. 33
4	33	((%x Ax) v (%y By)) >(%x(Ax v Bx))
4	33	((A1 vA2) v(B1 vB2)) >((A1 vB1) v(A2 vB2))
4	33	(A1 vA2 vB1 vB2) >(A1 vB1 vA2 vB2)
4	33	&((A1=A),(A2=B),(B1=C),(B2=D))
4	33	((A vB) v(C vD)) >((A vC) v(B vD))
4	33	(A vB vC vD) >(A vC vB vD)
4	33	=i> (A vB vC vD) ==(A vC vB vD)
4	33	=i> ((%x Ax) v (%y By)) ==(%x(Ax v Bx))
4	33	$1	$1111_1111.1111_1111
0	0	======== FIN