Cursus / training: Methode Formele Logica
©
VIII. Wetten voor Semantische Regressief reductie.
15.
Wetten voor Transformaties met degressie.
(·) Y is een variant (alternatieve vorm) van X:
Y is een meer complexe vorm van hoofdvorm X.
(bijv., maakt gebruik van een ander, minder algemeen syntactisch stramien/ idioom/ alfabet).
(·) Y is een indirecte vorm van X:
Y levert na (syntactische) parafrase bewerking (bijv. syntactische standaardisatie) de hoofdvorm X.
(·) Y is een impliciete vorm van X:
Y levert na (syntactische) parafrase bewerking een andere hoofdvorm X.
15A.
Inleiding: de aard van implicatie.
15A.1.
Wat is implicatie?
Er is vaak verwarring over de precieze betekenis van het logische begrip ' implicatie'.
(a) Logische relatie.
Implicatie: de implicatie is één van de (zestien) elementaire logische relaties.
Ze wordt verkort aangeduid met het logisch symbool '>', of '  ' of ook '
 '.
(b) Gebonden aan het informatiedomein.
De implicatie behoort, als logische relatie, tot het domein van informatie, of abstracte patronen,
oftewel mathematische logica.
Net als andere logische relaties is ze onafhankelijk van andere domeinen, maar kan vrij op andere domeinen
worden toegepast.
(Zie voor verschillen met andersoortige relaties hieronder, 15A2).
(c) Verlies van logische kracht.
De implicatie biedt bij uitstek de mogelijkheid om een specifiek soort logische afleiding (deductie) te maken:
semantische reductie, oftewel degressie.
Een geldige degressief afleiding heeft als eigenschappen:
(·) Is een geldige logische afleiding.
(·) Betekent (semantische) verzwakking, of ' down-grading', van redeneervorm.
(·) Impliceert vermindering van logische kracht - via bewerking van (deel)bewering.
Oftewel, 'Andere vorm, èn altijd andere (verminderde) inhoud'.
(·) Vindt plaats op grond van (geldige) subsumptie: de conclusie is een logische, zwakkere afgeleide
van de premisse.
Bijv.: { X} $1.
Bijv.: {A  X} A.
(·) De (semantische) verzwakking die de conclusie weergeeft geldt op minstens één aspect van de premisse:
binnen het waarheidswaardenpatroon wordt minstens één bit verhoogd, bijv. van $0 naar $
1.
Dat laatste is noodzakelijk voor de logische geldigheid van de gehele afleiding.
(·) Daarnaast kan zo'n redenering géén (semantische) versterking bevatten van de bewering die de premisse
(n) vormt; nl. op één of meer andere aspecten: minstens één bit van $1 naar $0.
Dat laatste zou de afleiding ongeldig maken.
Tabelbewijs:.
(kolom: A):
{ $(10)}
(11) : is geldig.
(kolommen: A, B):
{ $(1100) $(1100)};
 $(1000);
(1010) : is geldig.
(d) Onomkeerbaar.
Elke degressief afleiding is een redenering met - in semantische zin - als basale logische relatie implicatie. (in
syntactische vorm het hoofdconnectief) Maar het omgekeerde geldt niet.
Degressie, is een afleiding die geldig is onder logische implicatie;
maar, in tegenstelling tot parafrase deductie, níet geldig is onder equivalentie.
Equivalentie impliceert implicatie, maar niet omgekeerd.
Implicatie in strikte zin is dus onomkeerbaar, irreversibel.
D.w.z.: het verband is niet wederzijds geldig, (is asymmetrisch, niet-bidirectioneel), maar eenzijdig
(unidirectioneel).
Want niet gebaseerd op equivalentie c.q. parafrase.
Bijv.: { X} $1 : is geldig.
Maar: { $1} X : is ongeldig.
Bijv.: {A X} A : is geldig.
Maar: {A} (A X) : is ongeldig
.
(e) De kans op dubbelzinnigheid.
Als een implicatie in algemene (syntactische) vorm wordt vermeld, is de strekking dat de conclusie tenminste
een semantische reductie omvat van de premisse.
'x y' : De selectiviteit van x is groter of gelijk aan die van y.
D.w.z.: bij een logische afleiding kan verlies van selectief vermogen plaatsvinden.
We kunnen dan echter niet direct uitsluiten dat tegelijk ook equivalentie geldt.
Er is dus sprake van dubbelzinnigheid.
Bijv.: {A B} ¬(¬A
 ¬B) : is geldig.
Bijv.: {A B} ¬(¬A
¬B) : is (eveneens) geldig.
(·) Dit betekent gebrek aan betekenisbeslisbaarheid - wat min of meer een doodzonde is binnen de formele logica,
die haar waarde immers (onder meer) juist ontleent aan haar volkomen exactheid, dus volledige eenduidigheid van de
syntax.
Bijv.:
{A X};
(1) ?  (A X);
(2) ? ¬| (A X).
(·) In dit geval volgt dan ook onmiddellijk een semantisch nadeel: het is daardoor niet direct duidelijk
of het verlies van logische kracht noodzakelijk is.
Terwijl het behoud van logische kracht juist cruciaal kan zijn om uiteindelijk tot een optimaal resultaat te verkrijgen:
een valide conclusie, een afdoende bewijsvoering (of weerlegging), of meer algemeen, hoogwaardige informatie.
(f) Behoud van exactheid.
We moeten dus onderscheid maken met 'eigenlijke' implicatie, ( Implication proper).
Om aan te geven dat uitsluitend degressief reductie wordt bedoeld, gebruiken we het implicatie symbool
met een specifieke toevoeging;
bijv.: ' (degres)', of korter '
(degres)'.
' (degres)' : afleiding geldig onder implicatie, met
degressie, vermindering van Logische kracht.
( degressief-validiteit).
Bij afleiding onder ' implicatie -met- degressie' wordt equivalentie dus uitgesloten.
Vergelijk bijv.:
{A B} ¬  ¬
(A B).
{A (degres) B} ¬
(A B).
Voor extrapolatie naar Predikatenlogica (PDL):
' (u)' : implicatie geldig onder argumenten-unificatie.
Wanneer sprake is van tenminste degressief afleiding, zonder de stelling van geldigheid,
kunnen we een 'neutraal' symbool gebruiken zoals: '  '.
(g) Behoud van waarheid.
Omdat redeneren (in taal) gewoonlijk lineair en unidirectioneel verloopt, is implicatie meestal voldoende
om een afleiding weer te geven. Het doel is bij zo'n afleiding meestal dat het eindresultaat nog even 'waar' is
als de uitgangsgegevens: de afleiding levert geen verlies van waarheidsgehalte op, is ' waarheidsbehoudend' (
truth preserving).
Hiervoor is het nodig dat de afleidingsrelatie (algemeen) geldig is, oftewel valide.
CHK:
(·) 'Maximale geldigheid' van een redenering c.q. afleidingsrelatie: gegeven de premisse(n) bevatten de
conclusie(s) maximaal behoud van zekerheid, en minimaal verlies van informatieve waarde.
Bijv.: { X} $1.
(·) 'Minimale geldigheid' van een redenering c.q. afleidingsrelatie: gegeven de premisse(n) bevatten de
conclusie(s) minimaal behoud van zekerheid, en maximaal verlies van informatieve waarde.
Bijv.: { X} $0.
Logische zwakte c.q. tolerantie - m.n. in de vorm van disjuncten - krijg je er gemakkelijk bij
(minstens uit conjuncties), en raak je maar moeilijk kwijt.
(h) Productie van informatie.
De implicatie geeft aan de logica het grote voordeel dat ze informatie oplevert.
Een afleidingsregel die door middel van implicatie werkt, via degressief afleiding, wordt daarom een productieregel
genoemd.
O.a. bruikbaar voor logische bewijsmethoden die degressief afleiding toelaten. Bijv. de Resolutie bewijsmethode.
15A.2. Wat is implicatie niet?
Wat is nu eigenlijk het verschil tussen implicatie en andere relaties, zoals
een 'oorzaak-gevolg relatie' in de fysische wereld, of een 'als dan' relatie in de wiskunde, dan wel
de 'als dan' formulering in de gewone spreektaal? Voor wie zinvol wil kunnen redeneren is het onontbeerlijk
om hier een goed begrip van te hebben.
(a) Logische implicatie is niet direct 'te vertalen' in natuurlijke taal.
De meeste logische verbindingswoorden ( connectieven) kunnen worden gelezen
als een vrijwel rechtstreekse 'vertaling' van bepaalde voegwoorden ( coniunctio) in de natuurlijke taal.
Bijvooorbeeld 'niet' ( negatie), 'en' ( conjunctie) en 'en/of' ( disjunctie).
De implicatie is in dit opzicht heel verschillend. Ze kan soms enigszins worden vertaald met 'als ..
dan ..' maar dat dekt de lading maar heel beperkt.
(b) Logische implicatie is een verwijzingsrelatie.
In algemene toepassingen vervult de implicatie typisch de rol van verwijzing of referentie, c.q. aanwijzing of
indicatie. Dat wil zeggen, de linkerterm ( premisse(n)) vormt een voldoende indicatie
voor de rechterterm ( conclusie).
Een verwijzingsrelatie impliceert in die zin dus een logische implicatie.
Het omgekeerde is overigens niet per se waar: een willekeurige indicatie is zeker niet altijd een logische implicatie.
Bijv.: { X  Y } (
degres) ( X Y ).
(c) Logische relatie is geen causale relatie.
Een causale relatie is typisch gebonden aan een bepaald domein, met name het fysisch domein,
en wordt daardoor bijvoorbeeld beperkt door condities van tijd en ruimte.
Bijv. 'de zwaartekracht', maar ook, in het psychisch domein, 'motivatie', 'reactiepatroon', of andere drijfveren
achter gedrag.
Een causale relatie is - door haar domein-afhankelijkheid - een veel 'striktere' relatie dan logische implicatie.
Wel is het zo dat je de implicatie nodig hebt om causale relaties vast te stellen. Voor accurate causale analyse
is een goede beheersing van logica (op zijn minst predikatenlogica) onontbeerlijk, maar ook van statistiek,
en toch ook een zeker minimum van het betreffende toepassingsgebied en inhoudelijke materie.
Een (causaal) effect Y kan in sommige situaties wel, bijvoorbeeld als 'symptoom', wijzen op een onderliggende
oorzaak of causale factor X. Maar dat geldt alleen onder heel bepaalde, strikte voorwaarden Z.
Bijv.: { X Y } (( Y
Z ) X ).
(d) Logische implicatie is meer dan 'als .. dan ..' relatie.
De 'als .. dan ..' relatie in de wiskunde, weer te geven met symbolen als '=>', of '
', geeft weer dat een uitdrukking links na een bepaalde bewerking
de uitdrukking rechts oplevert.
Dat is een veel 'lossere' relatie dan logische implicatie.
Bijv.: { X Y } ( X
Y ): geldig, maar niet omgekeerd.
(e) Logische implicatie is niet hetzelfde als referentiële insluiting.
In de wiskundige verzamelingenleer kennen we relaties van lidmaatschap en zgn. referentiële insluiting,
bevoorbeeld in uitdrukkingen als: 'Verzameling A bevat B', waarbij B element of deelverzameling is van A.
Bijv.: 'A bevat B';
(1) ? (B  A);
(2) ? (B  A).
Als we 'verzameling' opvatten (interpreteren) als 'eigenschap' dan kunnen we dit lezen als 'Eigenschap A impliceert B'.
Dat wil zeggen: B is, als eigenschap, aspect of toestand van A, niet onafhankelijk, maar blijft gebonden aan A.
Anders gezegd: B vereist A.
B is hierdoor via logische insluiting het geval zodra A het geval is.
De laatste betekenis wordt echter niet volledig gedekt door de eerste, en omgekeerd.
We kunnen dit als volgt formeel weergeven:
Bijv.: { d A* }
A( d ); ( d
Ad ).
Bijv.: { A* B*
} B( A ); ( A
BA ).
(f) Logische implicatie is gedefinieerd door waarheidswaardecombinaties.
De logische implicatie, ook genoemd materiële implicatie, wordt volkomen exact gedefinieerd via de (tweewaardige)
waarheidswaardentabel - voor twee variabelen, van het meest elementaire systeem in de logica, de
propositielogica ( PPL). (Zie eerder, 3.2.2).
Ze is op de eerste plaats louter een benaming voor een specifieke categorie in die tabel. Ze behelst in feite enkel
één bepaalde reeks van vier waarheidswaarden, een waarheidswaardenpatroon, uit zestien andere reeksen (
kolommen) in de tabel. Alleen daardoor wordt haar betekenis bepaald.
15A.3. De werking van implicatie
Berekenen van validiteit van implicatie onder degressie.
Een eenvoudige bewijsmethode om te toetsen of een relatie tussen twee beweringen of (deel)redeneringen voldoet aan een
valide implicatie - onder degressie - is het bit-voor- bit vergelijken van de bijbehorende
waarheidswaardepatronen.
Praktische binaire rekenregel.
De conjunctieve waarde - de most general unifier van de waarheidswaardepatronen - van de premisse(n) is voor
minstens één bit 'kleiner dan' het waarheidswaardepatroon van de totale conclusie.
Voldoende en noodzakelijke voorwaarden
Om beweringen en redeneringen op hun houdbaarheid te kunnen beoordelen is het nodig om de logische voorwaarden
voor geldige conclusies te kennen. Daarbij moeten we allereerst scherp onderscheid maken tussen voldoende en
noodzakelijke voorwaarden. Beide zijn bruikbaar om de grond van een bewering te beoordelen.
(1) Eis van voldoende voorwaarde.
Een bewering /conclusie C is waar als tenminste één voldoende voorwaarde A [i] voor C waar is.
Bijv.: {C} (
 i (A [i] C ) ).
(2) Eis van noodzakelijke voorwaarde.
Een bewering /conclusie C is waar als aan alle noodzakelijke voorwaarden B [j]
voor C voldaan is.
Bijv.: {C} (
 j ((C B [j] )
B [j] ) ).
Voor een goed algemeen oordeelsvermogen is het volgende inzicht cruciaal: de noodzakelijke voorwaarden
voor een gevolg (conclusie, consequentie of effect) zijn niet per se tegelijk ook voldoende voor dat gevolg
- en vice versa.
Hieronder een toelichting op deze begrippen.
(1) Kenmerken van voldoende voorwaarde.
'A is een voldoende voorwaarde voor C' betekent:
De premisse(n) impliceert/ impliceren de conclusie.
(A C).
(a) De premisse(n) vormt/vormen een volledige voorwaarde voor de conclusie.
(b) Naast A is geen andere voorwaarde nodig voor C. A levert een zelfstandige bijdrage aan C.
{Nb. Volgens de wet: [(a c) ≡ (¬
a c)] .}
(c) De conclusie C is dan ook noodzakelijk gevolg van de premisse(n).
De premisse(n) vormt/vormen een garantie dat de conclusie waar is.
{Nb. Volgens de wet: [(a c) ≡ ¬(
a ¬c)] .}
(d) De premisse(n) vereist/vereisen de (waarheid van de) conclusie.
{Nb. Dit in contrast met oorzaken in een causale relatie, die onafhankelijk zijn ten opzichte van de gevolgen.}
De conclusie is dus noodzakelijke voorwaarde voor de premisse(n).
{Nb. Volgens de wet van Contrapositie: [(a
c) ≡ (¬c ¬a)] .}
(e) Elk uniek kenmerk van een toestand biedt een eenduidige indicatie voor die toestand: vormt dus een
voldoende voorwaarde voor de aanwezigheid van die toestand. (Het omgekeerde geldt echter niet per se).
(f) Een voldoende voorwaarde (voor een bewering C) kàn in voorkomend geval vervangbaar zijn door een andere, een zgn.
disjunctieve voorwaarde Dj.
(g) Een voldoende voorwaarde (voor een bewering C) omvat tenminste àlle noodzakelijke voorwaarden B (voor C).
(2) Kenmerken van noodzakelijke voorwaarde.
'B is een noodzakelijke voorwaarde voor C' betekent:
De conclusie(s) impliceert/ impliceren de premisse.
(C B).
(a) Premisse B is altijd vereist voor C.
(b) Het is dan uitgesloten dat C zonder B voorkomt.
{Nb. Volgens de wet: [(c b) ≡ ¬(
c ¬b)]. }
(c) De noodzakelijke voorwaarde is dus onvervangbaar, ze levert een unieke bijdrage aan de conclusie.
{Nb. Volgens de wet: [(c b) ≡ (¬
c b)] .}
( d) Zodra de conclusie onwaar is, moet minstens één van de noodzakelijke voorwaarden
eveneens onwaar zijn.
{Nb. Volgens de wet van Contrapositie: [(c
b) ≡ (¬b ¬c)] .}
(e) Elke inherente component van een toestand vormt een 'onmisbaar ingrediënt' van die toestand; vormt dus een
noodzakelijke voorwaarde voor de aanwezigheid van die toestand. (Het omgekeerde geldt echter niet per se).
(f) Een noodzakelijke voorwaarde kàn in sommige gevallen slechts bijdragen aan de conclusie
in combinatie met een andere factor, een conjunctieve voorwaarde Cj.
Het verband tussen voldoende en noodzakelijke voorwaarde
Het kenmerkende verschil tussen de voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor een bewering
is eenvoudig aan te geven:
(·) Een voldoende voorwaarde kàn vervangbaar zijn.
(·) Een noodzakelijke voorwaarde is altijd onvervangbaar.
Maar er bestaat ook een positieve relatie tussen de voldoende en noodzakelijke voorwaarden voor een bewering.
(·) Elke voldoende voorwaarde impliceert alle noodzakelijke voorwaarden (voor dezelfde conclusie).
(·) Elke noodzakelijke voorwaarde is onderdeel van elke voldoende voorwaarde (voor dezelfde conclusie).
15B. Wetten voor geldige degressie
: verzwakking van bewering.
Tactisch:
In directe vorm geldig in zelfstandige bewering, redenering of conclusie(s).
Toetsingscriterium: Functionele kwaliteit van informatie: Optimale logisch-semantische kracht.
Kenmerken van degressie:
(·) Is formeel geldig.
(·) Leidt tot vermindering, verlies van logische kracht c.q. selectief vermogen, verzwakking van redeneervorm.
(·) Leidt dus tot vermindering van informatieve waarde (logisch-semantische reductie).
(·) Betekent beperking van mogelijkheden (beschikbare opties).
(·) Is strikt logisch gezien overtollig (redundant).
Is dus wel geldig, maar onnodig, en suboptimaal: verarmend.
Drogredenen.
Bijv.:
(a) Overtolligheid.
Onnodige vermindering van informatieve waarde. Is onzinnig, kan in later stadium uitlopen op ongeldigheid.
Is dus suboptimaal.
(b) Ongeldige parafrase.
Een afgeleide, gedegradeerde bewering - in een later stadium - behandelen als logisch equivalent.
(c) Eenzijdige down-grading van premisse(n).
Ongeldig in voorwaardelijke bewering, redenering of premisse(n).
degressie van premisse(n), zonder evenredige degressie van conclusie(s): is ongeldig.
15B.1.
Directe verzwakking van bewering.
Verzwakking kan in directe vorm in een zelfstandige bewering c.q. redenering of in een conclusie(s),
op drie manieren:
(a) Via (geldige) basale/Lokale Conjunctieve beperking (Conjunctieve reductie):
weglating (deletie, eliminatie) van conjuncten. Zie (15B.1a).
(b) Via (geldige) basale/Lokale Disjunctieve uitbreiding (Disjunctieve expansie):
toevoeging (introductie, inclusie) van disjuncten. Zie (15B.1b).
(c) Via (geldige) basale/Lokale conjunct-disjunct reductie, zoals connectief reductie, kwantor down-grading
.
Combinatie van (a) en (b). Zie (15B.1c).
(Informele) Drogreden:
Bijv. verlichten van geldige conclusies, met als resultaat miskennen van de consequenties van beweringen.
15B.1a.
Directe verzwakking; door weglating van Conjunct(en) -
in bewering of conclusie(s).
Conjunctieve reductie: Conjunct eliminatie - in bewering of conclusie(s).
Onnodige weglating/ beperking van conjunct(en) - in bewering of conclusie(s).
Tactisch:
Onnodige (globale of lokale) specificatie, instantiatie, particularisering, concretisering
,..
Op grond van logische implicatie wegens:
voldoende ' dekkingsgraad' van conclusie ( referent) door premisse(n) ( target element);
vanwege: voldoende inclusie ( referentiële insluiting) / directe intersectie (overlapping).
Bijv. conjunct selectie, destillatie.
Bijv. ten behoeve van richten, selecteren, specificeren, simplificeren.
Is geldig, maar suboptimaal: verlies van bronnen, 'bouwstenen'.
(15B.1a1) Algemene vorm: in Conjunctie.
Conjunct eliminatie regel ('& el').
Bijv.: {A X} (degres
) A.
Tabelbewijs:.
(kolommen A, X).
[ ({ $(1000)} $
(1100) ).]
Bijv.: {A X C}
(degres) (A C).
Bijv.: {(A X) ( X
C)} [(u)
(A X C)];
(degres) (A C).
(15B.1a2) Idem, In CNF, Indirecte vorm: lokale Conjunctieve reductie, in
implicatie.
Geldige activatie van een positieve afleidingsregel.
Via directe Transferente equivalentie tussen basale ( factieve) conjunct en lokale (
disjuncte) premisse binnen een basaal conjuncte afleidingsregel; resp. (impliciete)
Transferente contradictie eliminatie; resp. Substitutie.
Wet: Implicatie eliminatie regel ('> el').
(15B.1a2a) Bewijs via 'bevestigende wijs': Modus Ponens (MP).
Sluitrede, algemene (basis)vorm. ' Material detachment'.
Via Factief bevestigde premisse; resp. (impliciete) Transferente contradictie eliminatie;
resp. Conjunctieve reductie.
Eenvoudige vorm.
Bijv.: {(A B), A}; [
((¬A B) A);
Lokale atomaire disjunct eliminatie wegens Transferente contradictie, 1x (de substitutie
stap).
(u) (A B);
Basale atomaire conjunct eliminatie, via Conjunctieve reductie, 1x.]
degres) B : is geldig.
Tabelbewijs:.
(kolommen: A, B).
{ $(1011) $(1100)}
( $(1011) $(1100);
(u)
(1000);
(degres)
(1010).
Bijv.: {(A X), ( X C)}
(A X
(¬X C));
(u) {A X
(C)); (
degres) (A C ).
Variant met equivalentie.
Bijv.: { X, ( X C)}
( X ((¬ X
C) ( X ¬C)));
(u) ( X (C)
( X ¬C));
(u) ( X C);
(degres) C.
Bijv.: {(A X), ( X C)}
(A X
((¬ X C) ( X
¬C))); (u) (A
X (C) ( X
¬C)); (u) (A
X C);
(degres) (A C).
(15B.1a2b) Weerlegging via 'ontkennende wijs': Modus Tollens (MT).
Via Factief uitgesloten conclusie; resp. Contrapositie, c.q. Transpositie; resp. (impliciete)
Transferente contradictie eliminatie; resp. Conjunctieve reductie.
Indirecte, ' Potentiële' contradictie.
D.w.z. geen ('echte') uitzondering resp. weerlegging van de regel.
Eenvoudige vorm.
Bijv.: {(A B), ¬B }; [
((¬A B) ¬B );
Lokale atomaire disjunct eliminatie, wegens Transferente contradictie, 1x.
(u) (¬A ¬B );
Basale atomaire conjunct eliminatie, via Conjunctieve reductie, 1x.]
degres) ¬A : is geldig.
Tabelbewijs:.
(kolommen: A, B).
{ $(1011) $(0101)}
( $(1011) $(0101);
(u) $(0001);
(degres) $(0011).
Bijzondere varianten van Syllogisme; geldige vormen.
(Pseudo-)Syllogisme, met negatieve premissen.
Via (impliciete) Transferente contradictie eliminatie; resp. Conjunctieve reductie.
(a) (Pseudo-)Syllogisme, met negatieve eerste (minor) term.
Met unificeerbaar equivalente conclusies.
(b) (Pseudo-)Syllogisme, met negatieve tweede (major) term.
Met unificeerbaar equivalente premissen.
(15B.1a2) In DNF.
(Directe) lokale Conjunctieve reductie, binnen conjunctie.
Via Distributie.
Bijv.: {A (B C)} [
((A B) (A
C) );] (
degres) (A B).
Bijv.: {A (B [1] .. B
[i] .. B [n])}
(degres) (A B [i
]).
(15B.1a3) In Implicatie.
(Directe) lokale Conjunctieve reductie, binnen conclusie(s). Via Distributie.
Bijv.: {A (B C)} [
((A B) (A
C) );] (
degres) (A B).
Bijv.: {A (B [1] .. B
[i] .. B [n])}
(degres) (A B [i
]).
(15B.1a5) In Parallelle Negatie.
Is impliciet, Basale Conjunctieve reductie.
(15B.1a6) In Equivalentie.
Indirekte Basale Conjunctieve reductie.
{A X C}; [
((A X) (A
C) (X
C))]; (degres) (A
C).
Tabelbewijs:.
(kolommen A, X, C).
[ ({ $(1000.0001)} (
$(1010.0101)) ); $(1111.1111).]
(15B.1a7) In Exclusief Disjunctie.
{A # B}; [((A
B) (¬A ¬B) );
(degres) (A
B); en/of (degres)
(¬A ¬B).
Indirekte Basale Conjunctieve reductie.
{A # X # C}; [
((A # X) (A # C)
(X # C)); $
0;] (degres) (A
# C).
Tabelbewijs:.
(kolommen A, X, C).
[ ( $(0011.1100) $
(0101.1010) $(0110.0110));
$(0000.0000); (
degres) $(0101.1010); $1;]
15B.1b. Directe verzwakking
; door toevoeging van Disjunct(en) - in bewering of conclusie(s).
Disjunctieve expansie: Disjunct introductie in bewering of conclusie(s).
Onnodige toevoeging/ uitbreiding van disjunct(en) - in bewering of conclusie(s)
(m.n. van alternatieve consequent).
Onnodige (globale of lokale) diffusie, Skolemisatie,..
Tactisch:
Bijv. associëren, divergeren, uitbreiden.
Suboptimaal: Uitbreiding van onzekerheden.
(Informele) Drogreden: Bijv. tactisch verzwakken van een stellingname;
van zichzelf: t.b.v. omzeilen van weerstand;
of idem van de opponent, ' stroman' tactiek: t.b.v. 'binnensmokkelen' van weerleggingsopties.
(15B.1b1) Algemene vorm: in Literaal.
Bijv.: {A}; (degres) (A
X).
Tabelbewijs:.
(kolommen A, X).
[ ({ $(1100)} $
(1110) ); $(1111).]
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A}; (degres) (A
X[1] .. X
[∞] ).
Idem, variant: met reeks conjuncten.
D.w.z. Introductie van conjuncte propositie, binnen reeds gegeven disjunct.
Bijv.: {A}; (degres) (A
( X Y ) ).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A}; (degres) (A
( X[1] .. X
[∞] ) ).
Idem, variant: naar Implicatie.
Implicatie introductie regel ('> in').
Regel van onbeperkte hypothese-uitbreiding.
Gegeven een bewering A, mag elke aanname X worden overwogen.
Deze kan als startpunt worden genomen van een (nieuwe) geneste redenering.
( Natural deduction, volgens Fitsch e.d.).
Bijv.: {A}; (degres) (A
¬X ); ( X
A ).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A}; (degres) ( X[1]
( X[2] .. ( X
[∞] A) .. ));
Volgens Deductiestelling:
(( X[1] .. X
[∞] ) A ).
Bijv.: {A}; (degres) (A
X ); (¬A
X ).
Bijv.: {A}; (degres) (¬A
( X[1] .. X
[∞] ) ).
[*V.a hier: Afleiden naar tautologie, en die dj. uitbreiden; EN is doublure van voorgaande; dus OVERTOLLIG: ]
(a) Hieruit volgt ook:
(b) Ook volgt hieruit:
Bijv.: {A}; (degres) (A
(¬A X ) );
(¬A (A X
) ); (¬A (¬(¬A)
X ) ); (A
(¬A X ) ).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A}; (degres) (A
(¬A ( X[1] ..
X[∞] ) ) ).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A}; (degres) (A
( X[1] ( X[2]
.. ( X[∞] A)
.. )));
Volgens Deductiestelling:
((A X[1] ..
X[∞] ) A ).
Hieruit volgen ook (de bewijzen voor)
afleidingsrelaties tussen basale elementen en waarheidswaarden.
(Alle met degressie).
(a) Het principe: 'Waarheid is altijd afleidbaar'.
Wet: ' Ex omnibus (dictum) vero reducantur'.
Zie eerder: (11C.1) Directe ' waarheid' ( verum), in implicatie; als conclusie.
Bijv.: {A}; (degres) (A
¬A ); (u)
$1.
Bijv.: {¬A}; (degres) (¬A
A ); (u)
$1.
Bijv.: { X}; (degres)
(X $1 );
$1.
(b) Het Het principe: 'Uit onwaarheid is wat dan ook afleidbaar'.
Wet: ' Ex falso sequitur quodlibet'.
Zie eerder: (11C.2) Directe ' onwaarheid' ( falsum), in implicatie; als premisse.
Bijv.: { $0}; (degres)
($0 X );
X.
Bijv.: { $0}; (degres)
($0 ¬X );
¬X.
Bijv.: { $0}; (degres)
($0 $1 );
$1.
(15B.1b2) In Disjunctie.
Basale Disjunctieve expansie, vanuit een reeks disjuncten.
Bijv.: {A B}; (degres)
(A B X ).
(15B.1b3) In Conjunctie.
Basale Disjunctieve expansie, vanuit een reeks conjuncten.
Bijv.: {A B}; (degres)
((A B) X ).
Disjunctieve expansie, vanuit een conjunct.
Bijv.: {A B}; (degres)
(A (B C ) ).
(15B.1b4) In Implicatie.
Lokale Disjunctieve expansie, van Conclusie(s).
Noodzakelijke consequentie wordt mogelijke consequentie.
Dus ook:
Bijv.: {A B}; [ (¬A
B);] (
degres) (¬A B
¬X); (A
(¬X B) );
(A ( X
B ) ).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A B}; (degres)
(A ( X[1] ( X[2]
.. ( X[∞]
B) .. )));
Volgens Deductiestelling:
((A X[1] ..
X[∞] ) B ).
In Implicatie, Gecombineerde vorm: (Indirecte) basale Conjunctieve reductie, waarna Basale Disjunctieve
expansie. Via Distributie.
Bijv.: {A B C}
[ ((A B)
C); (¬(¬A B)
C); ((A ¬B)
C);
Distributie. ((A C)
(¬B C));
Conjunctieve reductie. (degres) (¬B
C); (B C);
Disjunctieve expansie. (degres) (¬A
¬B C); (¬A
(¬B C));
degres) (A (B
C ) ).
15B.1c. Directe verzwakking
; door Connectief-'down-grading', in bewering of conclusie(s).
Connectief-'down-grading':
Conjunct-disjunct connectief conversie (reductie), van bewering(en) of conclusie(s).
Is eigenlijk combinatie van:
(1) basale Conjunctieve reductie/ beperking - van bewering of conclusie(s):
deletie /weglating van conjuncte elementen.
(2) basale Disjunctieve expansie/ uitbreiding - van bewering of conclusie(s):
(Her)introductie van (dezelfde) elementen als disjunct(en).
(15B.1c1) Algemene vorm: in Conjunctie.
Bijv.: {A B}; [(
degres) (A);] (
degres) (A B).
Idem, variant: Basale Conjunctieve reductie, waarna meervoudige Disjunctieve expansie.
Bijv.: {A B}; [(
degres) (A);] (
degres) (A B C).
Idem, variant: Basale Conjunctieve reductie, waarna Disjunctieve expansie met ander element.
Bijv.: {A B }; [
(degres) (B);] (
degres) (¬A B); [
(A B)].
(15B.1c2) In CNF. Lokale Connectief 'down-grading', van Conjunctie.
Bijv.: (A (B C)) [
(degres) (A
B);] (
degres) (A B C).
(15B.1c3) In Implicatie. Lokale Connectief down-grading, van Conclusie.
(15B.1c4) Suboptimale (niet-equivalente) Spreiding (herverdeling, Distributie).
Basale Conjunctieve reductie, waarna Disjunctieve expansie.
Bijv.: {A (B C)} [
(degres) (A);];
(degres) (A (B
C));
(15B.1c5) Suboptimale (niet-equivalente) Samenvoeging (Comprimatie).
Correcte Distributie, waarna basale Conjunctieve reductie, resp. Disjunctieve expansie.
Bijv.: {(A B) (A
C)} [(u) (A
(B C));
(degres) (A)]; (
degres) (A (B C));
(15B.1c6) Indirecte vormen.
(15B.1c6a) Onnodige negatie-binnenplaatsing in een Disjunctie.
(15B.1c6b) Onnodige negatie-buitenplaatsing van Conjuncten.
Idem, variant: Basale Conjunctieve reductie, waarna Disjunctieve expansie met ander element.
Bijv.: {¬A ¬B }; [
(degres) (¬B);] (
degres) (A ¬B); [
(B A)].
15B.2. Indirecte verzwakking
; door versterking van premisse(n).
Onnodig versterken (verzwaren) van premisse(n); daarmee verzwakken (verlichten) van bewering(en) of redenering.
Geldig binnen implicatie, over premisse(n).
Dit kan in indirecte vorm in een premisse(n), op drie manieren:
(a) Via (geldige) lokale Disjunctieve beperking (Disjunctieve reductie):
weglating (deletie, eliminatie) van disjuncten, in premisse(n). Zie (15B.2a).
(b) Via (geldige) lokale Conjunctieve uitbreiding (Conjunctieve expansie):
toevoeging (introductie, inclusie) van conjuncten in premisse(n). Zie (15B.2b).
(c) Via (geldige) lokale disjunct-conjunct 'up-grading' in premisse(n), zoals connectief up-grading,
kwantor up-grading. Combinatie van (a) en (b). Zie (15B.2c).
Drogreden: Ongeldig over zelfstandige bewering, of binnen implicatie, over conclusie(s)
.
15B.2a.
Indirecte verzwakking; door weglating van Disjunct(en),
in premisse(n).
Via Disjunctieve reductie: Disjunct eliminatie - in premisse(n).
Onnodige weglating/ beperking van disjunct(en) - in premisse(n).
Tactisch:
Bijv. beperking/ weglating van voldoende/ zelfstandige bijdrage(n).
Is geldig, maar suboptimaal: weglating van opties, beperking van speelruimte.
(15B.2a1) Algemene vorm: in Implicatie.
Lokale Disjunctieve reductie - van premisse(n).
Is impliciet, via Distributie, Basale Conjunctieve reductie.
15B.2b. Indirecte verzwakking
; door toevoeging van Conjunct(en), in premisse(n).
Conjunctieve expansie: Conjunct introductie - in premisse(n).
Onnodige toevoeging/ uitbreiding van conjunct(en) - in premisse(n) (m.n. van aanvullende voorwaarden).
Onnodig verzwaren (versterken) van de premissen, d.i. van de 'tolerantiebasis' voor een conclusie.
Onnodige lokale generalisatie.
Bijv. uitbreiding/ toevoeging van noodzakelijke/ unieke bijdrage(n).
Bijv. via versterking van kwantortype: kwantor-up-grading.
Tactisch:
Suboptimaal: Uitbreiding van vereisten, verruimen van bewijslast.
(Informele) Drogreden: Bijv. verzwaren van bewijslast voor de opponent.
(15B.2b1) Algemene vorm: in Implicatie.
Lokale Conjunctieve expansie - van premisse(n).
Via (indirecte) basale Disjunctieve expansie.
Bijv.: {A B}; (¬A
B); (degres) (¬A
B ¬X);
(¬(A X) B);
((A X)
B).
Idem; recursief toegepast.
Bijv.: {A B}; (degres)
((A X[1] ..
X[∞] ) B ).
Bijv.: {(K * = {A [1], .. A [n] } )
(K * C) };
((L * = {B [1], .. B [n] } )
((K *  L * )
C) ).
Bijv.: {(K * = {A [1], .. A [i] } ) (K
* C) }; ((L * = {A [i+1]
, .. A [n] } ) ((K *
L * ) C) ).
Bijv.: {(K * = {A [1], .. A [n] } )
(A [i] K *) }
((A [i] B)
(K * B)).
Bijv.: {(K * = {A [1], .. A [n] } )
(L * K *) }
((L * B)
(K * B)).
Regel voor Compositie van deducties.
Bijv.: {(A B) (C
D)}
Conjunctieve expansie van premisse(n), in eerste complexe conjunct.
(degres) (((A C)
B) (C D));
Conjunctieve expansie van premisse(n), in tweede complexe conjunct.
(degres) (((A C)
B) ((A C)
D));
Comprimatie wegens gemeenschappelijke premisse(n).
(degres)(u) ((A C)
(B D)).
15B.2c. Indirecte verzwakking
; door Connectief-'up-grading', in premisse(n).
Disjunct-conjunct connectief conversie ( expansie) - van premisse(n).
Is combinatie van:
(1) lokale Disjunctieve reductie/ beperking - van premisse(n):
Deletie /weglating van disjuncte elementen.
(Impliciet basale Conjunctieve reductie).
(2) lokale Conjunctieve expansie/ uitbreiding - van premisse(n):
(Her)introductie van (dezelfde) elementen als conjunct(en).
(Impliciet basale Disjunctieve expansie).
(15B.2c1) Algemene vorm: in Implicatie.
Lokale Connectief down-grading - van premisse(n).
Bijv.: {(A B) C}
(¬(A B) C);
((¬A ¬B) C);
Distributie, naar conjunctie: ((¬A
C) (¬B C));
((A C) (B
C));
Basale Conjunctieve reductie: (degres) (A
C);
Lokale Conjunctieve expansie:
(degres) ((A B)
C).
15C. 'Pseudo-afleiding':
versterking van bewering; ongeldig.
Een ongeldige afleiding heeft een conclusie die een (semantische) versterking vormt van de premisse(n);
nl. op minstens één aspect: minstens één bit van $1 naar $0.
Dat is fataal voor de logische geldigheid van de gehele afleiding.
Daarnaast kan de conclusie van zo'n redenering ook een (semantische) verzwakking bevatten van de premisse(n)
nl. op één of meer andere aspecten: minstens één bit van $0 naar $1.
Dat laatste maakt de afleiding echter niet minder ongeldig.
Drogreden: Zie drogredenen, ongeldige conclusies.
15C.1.
Directe versterking van bewering.
15C.1a.
Directe versterking van bewering; door afleiding van irrelevante
conclusie(s).
(15C.1a.1) Volledig Ontbrekende premisse(n).
Algemene vorm. In Literaal. Ongegronde propositie introductie.
Bijv.: {A}; : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { A}].
Idem, in Implicatie. Ongegronde implicatie introductie.
Bijv.: {A B}; : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (A B)}].
(15C.1a.2) Volledig voorbijgaan aan gegeven premisse(n).
De conclusie omvat niets van de premisse(n).
Er 'naast' redeneren. Onjuistheid, erratum. Fabuleren.
Simpele vervanging van een term, zonder grond.
Algemene vorm. In Literaal. Basale propositie substitutie.
Bijv.: {A} B : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (A B)}].
Idem, in Conjunctie. Basale conjunct substitutie.
Bijv.: {A B} C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { ((A B)
C)}].
(15C.1a.3) Applicatiefout. Geen relevante (basale) referentiële premissen.
Validatiefout. Ongewettigde validatie van (lokale) target element(en).
Impliciet ongewettigde introductie van activerende (transferent-equivalente) (basale) referentiële
element(en).
Geen lokale ( target) premisse wordt -feitelijk- vervuld.
(15C.1a.3a) Ontbrekende premisse(n), geen activerend referent.
Impliciete basale Conjunct introductie.
Algemene vorm. in (onecht) Modus Ponens.
Bijv.: {A B} (degres)
B : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A B)
B); ((A ¬B)
B); (u) (A
B)}].
Idem, In (onecht) Modus Tollens.
Bijv.: {¬B ¬A} (degres)
¬A : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬¬B ¬A)
¬A); ((¬B A)
¬A); (u) (¬A
¬B) }.]
Idem, In (onecht) Modus Ponens, met conjuncte premissen.
Geen conjuncte premisse wordt vervuld.
Bijv.: {((A B) C)
(degres) C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬(A B)
C) C); (¬((¬A
¬B) C) C);
(¬(¬A ¬B C)
C); ((A B
¬C) C); (u)
((A B) C)}].
Bijv.: {((A [1] .. A [i]
.. A [n]) C)
(degres) C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (( i |= A [i])
C)}.]
Idem, In (onecht) Modus Ponens, met disjuncte premissen.
Geen disjuncte premisse wordt vervuld.
Bijv.: {((A B) C)
(degres) C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬(A B)
C) C); (¬((¬A
¬B) C) C);
((¬(¬A ¬B) ¬C)
C); (((A B)
¬C) C); (u)
(A B C) }].
Bijv.: {((A [1] .. A [i]
.. A [n]) C)
(degres) C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (( i |= A [i])
C)}.]
(15C.1a.3b) Mismatch: Geen/ Onvoldoende gelijkenis, tussen referent en target.
Volledig irrelevante premisse(n).
Geen raakvlak. Daardoor géén overlapping.
Vertekening.
Algemene vorm. in (onecht) Modus Ponens.
Geen raakvlak tussen basale conjunct ( referent) en geneste premisse ( target).
Bijv.: {(A1 B1), A2} (degres
) B1 : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((¬A1 B1)
A2 ) B1 );
((¬(¬A1 B1) ¬A2 )
B1 ); ((A1 ¬B1)
¬A2 B1 );
(u) (A1 ¬A2
B1 ); (A2 (A1
B1)) }.]
Idem, in (onecht) Modus Ponens, met conjuncte premissen.
Geen conjuncte premisse wordt vervuld.
Bijv.: {((A1 A2) B1), A3}
(degres) B1 : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((¬(A1 A2)
B1) A3 ) B1 );
(¬((¬A1 ¬A2 B1)
A3 ) B1 );
((¬(¬A1 ¬A2 B1)
¬A3 ) B1 ); ((A1
A2 ¬B1) ¬A3
B1 );
(u) ((A1 A2)
¬A3 B1 ); (A3
((A1 A2) B1))}.]
Idem, in (onecht) Modus Ponens, met disjuncte premissen.
Geen disjuncte premisse wordt vervuld.
Bijv.: {((A1 A2) B1), A3}
(degres) B1 : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((¬(A1 A2)
B1) A3 ) B1 );
(¬(((¬A1 ¬A2) B1)
A3 ) B1 );
((¬((¬A1 ¬A2) B1)
¬A3 ) B1 );
(((¬(¬A1 ¬A2) ¬B1)
¬A3 ) B1 );
((((A1 A2) ¬B1)
¬A3 ) B1 ); (((A1
A2) ¬B1) ¬A3
B1 );
(u) (A1 A2
¬A3 B1 ); (A3
(A1 A2 B1))}.]
In (pseudo-)Syllogisme:
Geen raakvlak tussen minor conclusie ( referent) en major premisse(n) ( target).
Idem, in ( pseudo-) Syllogisme. Foutieve variant van algemene ( Universele) vorm.
Formele drogreden: Meer dan drie termen ( Fallacy of four terms).
Bijv.: {(S M), (N P)}
(degres) (S P) : is
ongeldig (geen overlapping).
[Vooronderstelt: { (¬((¬S M)
(¬N P)) (¬S
P) );
((¬(¬S M) ¬(¬N
P)) (¬S P ) );
(((S ¬M) (N
¬P)) (¬S P ) );
((S ¬M) (N
¬P) ¬S P );
(u) (¬M (N
¬P) ¬S P );
(u) (¬M N
¬S P ); (¬(¬S
¬M) (N P ) );
((S M) (N
P ) ) (S (M
(N P ) ) ) }.]
Idem, In ( pseudo-) Syllogisme. Met factieve, atomaire/ conjuncte (' existentiële'
) minor term/propositie.
Bijv.: {(S M), (N P)}
(degres) (S P) : is
ongeldig (geen overlapping).
[Vooronderstelt: { (¬((S M)
(¬N P)) (S
P) );
((¬(S M) ¬(¬N
P)) (S P) );
(((¬S ¬M) (N
¬P)) (S P) );
(¬S ¬M (N
¬P) (S P ) );
(u) (¬S ¬M
(N ¬P) P );
(u) (¬S ¬M
N P ); (¬(¬S
¬M) (N P ) );
((S M) (N
P ) ) (S (M
(N P ) ) ) }.]
[Opmerkelijk: gelijk als voorgaande!]
Idem, In ( pseudo-) Syllogisme: Symmetrisch equivalentie van conclusies.
Geen raakvlak tussen minor conclusie ( referent) en major conclusie ( target).
Vertekening. (Vgl. bijv. disjuncte oorzaak).
Idem, In ( pseudo-) Syllogisme: Symmetrisch equivalentie van premissen.
Geen raakvlak tussen minor conclusie ( referent) en major conclusie ( target).
Vertekening. (Vgl. bijv. common cause).
(15C.1a.3c) Ongewettigde premisse-vervanging.
Transformatiefout.
Impliciete lokale disjunct substitutie.
Argument ' prefix botsing' via afleiding.
Bijv.: {A1 B}; (degres)
(A2 B) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A1 B)
(¬A2 B) ); ((A1
¬B) ¬A2 B);
(u) (A1 ¬A2
B); (A2 (A1
B) ) }.]
(15C.1a.4) In Implicatie: Ongegronde activatie van de afleidingsregel.
Applicatiefout.
Validatiefout. Ongewettigde validatie van (lokale) target element(en).
Impliciet ongewettigde introductie van activerende (transferent-equivalente) (basale) referentiële
element(en).
Onvoldoende lokale ( target) premisse wordt -feitelijk- vervuld.
Onvoldoende relevante (basale) referentiële premissen.
(15C.1a.4a) In (onecht) Modus Ponens, met conjuncte premissen.
Onvoldoende conjuncte premissen worden vervuld.
Bijv.: {((A B) C), A}
(degres) C : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((¬(A B)
C) A) C);
((¬((¬A ¬B) C)
¬A) C); (((¬(¬A
¬B) ¬C) ¬A)
C);
((((A B) ¬C)
¬A) C); (((A
B) ¬C) ¬A
C);
(u) ((A B)
¬A C);
(u) (B ¬A
C); (A (B
C)) }.]
15C.1b. Directe versterking
; door toevoeging van Conjunct(en), in bewering of conclusie(s).
Conjunctieve expansie: Conjunct introductie - in bewering of conclusie(s).
Ongeldige toevoeging/ uitbreiding van conjunct(en); in bewering of conclusie(s).
(Over)generalisatie
Overdrijving.
(15C.1b.1) Algemene vorm: in Literaal.
Bijv.: {A}; (A X ) : is ongeldig
.
[Vooronderstelt: { (¬A (A
X ); (A
X ) }.]
(15C.1b.2) In Conjunctie.
Bijv.: {A B}; (A
B X ) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { ((¬A (A
X ); ((A B
) X ) }.]
Idem, Gecombineerde vorm: Conjunct(en) vervanging.
(1) Conjunctieve reductie;
(2) met vervolgens Conjunctieve expansie.
Bijv. bij betekenisverschuiving, t.b.v. vertekening, desinformatie, manipulatie, enz..
Bijv.: {A B} (degres)
(B C) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A B)
(B C) ); (¬A
¬B (B C) );
(u) (¬A ¬B
C ); ((A B)
C ) }.]
(15C.1b.3) In CNF. Lokale Conjunctieve expansie, in disjunct.
Bijv.: {A B} (degres)
(A (B X)) : is ongeldig
.
[Vooronderstelt: { (¬(A B)
(A (B X) ) );
((¬A ¬B) A
(B X) );
(u) (¬B A
(B X) );
(u) (¬B A X );
(B (A X
) ); }.]
Bijv.: {A B} (A
(B ( X[1]
.. X[n]))) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (B (A
( X[1] .. X
[n]) )) }.]
(15C.1b4) Idem, In Implicatie. Conjunctieve expansie van conclusie(s).
Bijv.: {A B} (degres)
(A (B X ) ) : is ongeldig
.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A B)
(¬A (B X
) ) ); ((A ¬B) ¬A
(B X) );
(u) (¬B ¬A
(B X) );
(u) (¬B ¬A X);
((A B) X )
}.]
(15C.1b.5) In implicatie; Indirecte vorm: Ongegronde activatie van de afleidingsregel.
Applicatiefout. Geen lokale ( target) premisse wordt -feitelijk- vervuld.
Validatiefout. Ongewettigde validatie van (lokale) target element(en).
Onvoldoende relevante, dus ontoereikende (basale) referentiële premissen.
Impliciet ongewettigde introductie van activerende (transferent-equivalente) (basale) referentiële
element(en).
Impliciete Conjunctieve expansie van basale Conjuncte referent.
Impliciete Conjunctieve reductie van lokale target premisse(n).
In 'Modus Ponens'.
Wel raakvlak/ gelijkenis, wel overlap ( intersectie), maar onvoldoende, tussen referent en target
element.
Bijv.: {((A1 A2) B), A1}
(degres) (B) : is ongeldig;
[Vooronderstelt: { (¬((¬(A1 A2)
B) A1) B);
((¬(¬(A1 A2)
B) ¬A1) B);
((((A1 A2)
¬B) ¬A1) B);
((A1 A2 ¬B)
¬A1 B);
(2u) (A2 ¬A1
B); (A1 (A2
B) ); }.]
Bijv.: {((A [1] .. A [i]
.. A [n]) B), (
i ¬|= A [j])} (
degres) B : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { ( i |
j ( ((1 ≤ i ≤ n) ¬( i= j))
(A [j] (A [i]
B)) ) j, i)}.]
15C.1c. Directe versterking
; door weglating van Disjunct(en), in bewering of conclusie(s).
DIsjunctieve reductie: Disjunct eliminatie - in bewering of conclusie(s).
Ongeldige weglating/ beperking van disjunct(en); in bewering of conclusie(s).
Ultra-tolerantie.
(15C.1c1) Algemene vorm: in Disjunctie.
Bijv.: {A X} A : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A X)
A ); ((¬A ¬ X
) A ); (u) (¬ X
A ); ( X A
)}.]
Bijv.: {A X C}
(A C) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A X
C ) A C );
((¬A ¬ X
¬C ) A C); (2
u) (¬ X A C );
( X (A C)}.]
Idem, variant; Indirecte vorm: Weglating van een indirecte premisse binnen conditionele premissen.
Foutieve ketenredenering (misplaatste transitiviteit).
Foutieve toepassing van Symmetrische contradictie reductie.
(Voor correcte vorm: zie elders.)
Bijv.: {(A X) C}
[((¬A X)
C); (¬A X
C); (
degres) '(A C)' [
(¬A C); : is
ongeldig.
[Vooronderstelt: { ((¬(¬A X)
C) (¬A C) );
((A ¬ X) C
¬A C );
(2u) (¬ X C
¬A ); ( X
(A C ) ); (( X
A) C ) }.]
(15C.1c2) Lokale Disjunctieve reductie, in CNF, van conjunct.
Bijv.: {A (B X))
[((A B) (A
X));] (A
B) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A (B
X ) ) (A
B ) );
((¬A ¬(B X
) ) (A B ) ); (¬A
(¬B ¬ X )
(A B ) );
(u) (¬A (¬B
¬ X ) B );
(u) (¬A ¬ X B );
((A X )
B ); (A ( X
B ); }.]
Bijv.: {A (B [1] .. B
[i] .. B [n])}
(degres) (A B [i
]) : is ongeldig.
(15C.1c3) Lokale Disjunctieve reductie, in implicatie; in conclusie(s).
Bijv.: {A (B X)}
[((A B) (A
X));] (
degres) (A B) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A (B
X ) ) (¬A
B ) );
(¬(¬A B X )
¬A B ); ((A
¬B ¬ X ) ¬A
B );
(2u) (¬ X ¬A
B ); ((A X)
B ); (A ( X
B ); }.]
Bijv.: {A (B [1] .. B
[i] .. B [n])}
(degres) (A B [i
]) : is ongeldig.
(15C.1c4) In Exclusie.
Weglating van disjuncten.
Bijv.: {A | X | B} [(¬A
¬X ¬B);]
(A | B) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A ¬ X
¬B) (¬A ¬B ) );
((A X B)
¬A ¬B );
(2u) ( X ¬A
¬B ); ((A B)
X ); (A
(B X ); }.]
15C.1d. Directe versterking
; door Connectief-'up-grading', in bewering of conclusie(s).
Disjunct-conjunct connectief conversie (expansie), van bewering(en) of conclusie(s).
Is eigenlijk combinatie van:
(1) basale Disjunctieve reductie/ beperking - van bewering of conclusie(s):
deletie /weglating van disjuncte elementen.
(2) basale Conjunctieve expansie/ uitbreiding - van bewering of conclusie(s):
(Her)introductie van (dezelfde) elementen als conjunct(en).
(15C.1d1) Algemene vorm. In CNF.
Bijv.: {A B} (degres)
'(A B)' : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A B)
(A B) ); ((¬A
¬B) (A B) );
(2u) (A B) }.]
Idem, variant; Indirecte vorm: met negatie in een formule.
Foutieve toepassing van negatie-wetten (voor negatie-spreiding of samenvoeging).
(a) In negatie van Conjunctie: onjuiste negatie binnenplaatsing.
Bijv.: {¬(A B)} [(¬A
¬B);]
(degres) (¬A ¬B) :
is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬¬(A B)
(¬A ¬B) );
((A B) (¬A ¬B ) );
(2u) (A B) }.]
(b) Misplaatste negatie, van een Disjunctie.
Bijv.: {(¬A ¬B)} [
¬(A B);]
(degres) ¬(A B)
[(¬A ¬B);]
: is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (zie verder hierboven) }.]
Idem, variant; Gecombineerde vorm: Foutieve Spreiding (herverdeling, Distributie).
Basale Disjunctieve reductie, waarna Conjunctieve expansie.
Bijv.: {A (B C)} [
((A B) (A
C));];
(degres) '(A (B
C))'; [((A
B) (A C))]
: is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A (B
C)) (A (B
C)));
((¬A ¬(B C))
(A (B C)));
((¬A (¬B ¬C))
(A (B C)));
(((¬A ¬B)
(¬A ¬C)) ((A
B) (A C)));
(((¬A ¬B)
(A B)) ((¬A
¬C) (A C)));
(3u) ((A B)
(A C));
(15C.1d2) In CNF. Lokale Connectief up-grading, in Disjunctie.
Bijv.: {A (B C)}
(A B C) : is
ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(A (B
C)) (A B
C) );
((¬A ¬(B C))
(A B C) );
(u) (¬A (¬B
¬C) (A B
C) ); (u) (¬A
(¬B ¬C) (B
C) ); (2u) (A
(B C) ) }.]
Idem, variant: Fout vervolg van Symmetrische equivalentie reductie.
Indirect, impliciet, basale Disjunctieve reductie.
Bijv.: {(A X) ( X
C)} [(u) (
X (A C))]; [
{(X A C)}];
(degres) (A
C) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((A X)
( X C) ) (A
C) );
((¬(A X)
(¬( X C) ) A
C ); ((¬A ¬
X) (¬ X ¬C)
A C );
(3u) (¬ X C );
( X C ); }.]
Idem, variant; Gecombineerde vorm: Foutieve Samenvoeging (Comprimatie).
Correcte Comprimatie (naar Disjunctie), waarna Basale Disjunctieve reductie, resp. Conjunctieve
expansie.
Bijv.: {(A B) (A
C))}; [(u) (A
(B C));];
(degres) '(A (B
C))'; [((A
B) (A C));]
: is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (zie verder hierboven, in CNF, Foutieve
Distributie)}.]
(15C.1d3) In Implicatie. Lokale Connectief up-grading, in conclusie(s).
Bijv.: {A (B C)} [
((A B) (A
C)); (¬A B
C);]
(degres) (A (B
C)); [(¬A
(B C)); ((A
B) (A C));]
: is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A (B
C) ) (¬A (B
C) );
((A ¬(B C) )
¬A (B C) );
((A (¬B ¬C) )
¬A (B C) );
(u) ((¬B ¬C)
¬A (B C) );
(2u) (A (B
C) ) }.]
Idem, variant: Lokale Connectief up-grading, over deel van Disjuncte conclusie(s).
Verandering van een component van een Disjuncte conclusie in een Conjuncte conclusie.
Bijv.: {A (B C
D)} [(¬A B
C D) );
(degres) (A ((B
C) D) ) : is ongeldig
[Vooronderstelt: { (¬(¬A (B
C D) ) (¬A
((B C) D) ) );
((A ¬(B C
D) ) ¬A (B
C) D ); ((A
(¬B ¬C ¬D) )
¬A (B C)
D );
(u) ((¬B ¬C
¬D) ¬A (B
C) D );
(u) ((¬B ¬C) ¬A
(B C) D );
(2u) (A ((B
C) D ) ) }.]
15C.2. Indirecte versterking
; door verzwakking van premisse(n).
15C.2a.
Indirecte versterking; door toevoeging van Disjunct(en),
in premisse(n).
Disjunct introductie - in premisse(n).
In Implicatie. Disjunctieve expansie - van premisse(n).
Ongeldige toevoeging/ uitbreiding van Disjunct(en) - in premisse(n).
(15C.2a1) Algemene vorm: in Implicatie.
In Implicatie. Lokale Disjunctieve expansie - van premisse(n).
Bijv.: {A B} (degres)
((A X) B ) : is ongeldig
.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A B)
(¬(A X ) B
) ); ((A ¬B)
(¬A ¬ X ) B );
(u) (A (¬A
¬ X ) B );
(A ¬ X B );
( X (A
B ) ) }.]
(15C.2a2) In Implicatie; indirecte varianten:
In Implicatie; indirecte variant: Toevoeging van een indirecte Disjunct in Conjuncte premissen.
Noodzakelijke voorwaarde (directe Conjunct) wordt voorgesteld als (niet meer dan) gunstige voorwaarde (indirecte
Disjunct).
Bijv.: {(A B) C} [
(¬(A B) C);
((¬A ¬B) C);
(¬A ¬B C)];
(degres) '(((A X
) B) C)' : is ongeldig;
[Vooronderstelt: { (¬(¬(A B)
C) (¬((A X)
B) C ) );
((¬¬(A B)
¬C) ((¬(A X)
¬B) C ) );
(((A B) ¬C)
(((¬A ¬ X)
¬B) C ) ); ((A
B ¬C) (¬A
¬ X) ¬B C );
(2u) (A (¬A
¬ X) ¬B C );
(u) (A ¬ X
¬B C ); ((
X B) (A
C ) ); }.]
15C.2b. Indirecte versterking
; door weglating van Conjunct(en), in premisse(n).
Conjunctieve reductie : Conjunct eliminatie - in premisse(n).
In Implicatie. Conjunctieve reductie - van premisse(n).
Ongeldige weglating/ beperking van Conjunct(en) - in premisse(n).
(15C.2b1) Algemene vorm: in Implicatie.
Lokale Conjunctieve reductie - van premisse(n).
Is hier impliciet: basale Disjunctieve reductie - bij symmetrisch equivalentie van conclusies.
Bijv.: {(A X) C}
[((A C) (
X C)); ((¬A
C) (¬X C));
(¬A ¬X
C);]
(degres) (A C)
: is ongeldig;
[Vooronderstelt: { (¬(¬(A X)
C) (¬A C) );
((¬¬(A X)
¬C) ¬A C );
((A X ¬C)
¬A C );
(2u) ( X ¬A
C ); (A (
X C) ); }.]
Idem, variant: Indirecte vorm: Weglating /Beperking van een indirecte conjunct in disjuncte
premissen).
Is hier impliciet: basale Disjunctieve reductie - bij symmerisch equivalentie van conclusies.
Bijv.: {((A X) B)
C } [
(((A X) C)
(B C) );]
(degres) ((A B)
C) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬((A X)
B) C) (¬(A
B) C) );
((¬(¬(A X)
¬B) ¬C) (¬A
¬B) C );
((((A X)
B) ¬C) (¬A
¬B) C );
(u) ((A X)
B (¬A ¬B)
C ); (u) ((A
X) B ¬A
C );
(u) ( X B
¬A C ); (A
(B C X );
}.]
15C.2c. Indirecte versterking
; door Connectief-'down-grading', in premisse(n).
Conjunct-disjunct connectief conversie (reductie), van premisse(n).
Is eigenlijk combinatie van:
(1) lokale Conjunctieve reductie/ beperking - van premisse(n):
deletie /weglating van conjuncte elementen.
(2) lokale Disjunctieve expansie/ uitbreiding - van premisse(n):
(Her)introductie van (dezelfde) elementen als disjunct(en).
Bijv. Noodzakelijke voorwaarde wordt voorgesteld als voldoende voorwaarde.
(15C.2c1) Algemene vorm: in Implicatie.
Lokale Connectief down-grading - van premisse(n).
Bijv.: {(A B) C} [
(¬(A B) C);
(¬A ¬B C);]
(degres) ((A
B) C) : is ongeldig;
[Vooronderstelt: { ((¬A ¬B
C) ((A B)
C));
((A B ¬C)
(¬A ¬B) C);
(u) ((A B)
(¬A ¬B) C);
(2u) ((A B)
C); ((A # B)
C). }.]
Idem, variant: Indirecte vorm: Connectief-'down-grading' in een Disjuncte premisse.
Bijv.: {((A X) B)
C } (((A
X) C) (B
C) );] (
degres) ((A X B)
C) : is ongeldig;
[Vooronderstelt: { (¬(¬((A X)
B) C ) (¬(A
X B) C) );
((¬¬((A X)
B) ¬C ) ((¬A
¬ X ¬B)
C) );
((((A X)
B) ¬C ) (¬A
¬ X ¬B) C );
(u) ((A X)
B (¬A ¬ X
¬B) C );
(u) ((A X) B
(¬A ¬ X) C );
(2u) ((A X)
B C ); ((A
# X) (B C ) ); }.]
15C.3 Overige (partiële)
Semantische versterking.
15C.3a.
Directe versterking; door overige (basale) Connectief-transformatie
.
(15C.3a1) Algemene vorm: Directe (basale) Connectief-transformatie.
Ongegronde expliciete omzetting van Implicatie in logische Equivalentie.
Bijv.: {A B} (degres)
(A B) : is ongeldig
[Vooronderstelt: { (¬(¬A B)
((A B) (¬A
¬B)) );
((A ¬B) (A
B) (¬A ¬B) );
((A (B ¬B) )
(¬A ¬B) );
(u) (A (¬A
¬B) ); (u) (A
¬B) ); (B A
)}.]
(15C.3a2) Idem, Indirecte vorm. Transformatiefout.
Ongegronde expliciete basale omkering ( conversio) van Implicatie.
Bijv.: {A B} [(¬A
B);] (
degres) (B A) [
(¬B A);] : is
ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬(¬A B)
(¬B A)); ((A
¬B) A ¬B);
(2u) (¬B A);
(B A) }.]
Bijv.: {A B} (¬A
¬B) : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (als voorgaande) (B A)}.]
(15C.3a3) Idem, Impliciete vorm. Applicatiefout.
Impliciete basale omkering ( conversio) van Implicatie.
In (pseudo-) Modus Ponens.
Ongegronde/onjuiste activatie van een ( positieve) afleidingsregel.
Bijv.: {(A B), B} [
((¬A B) B);
B);] (degres) A : is
ongeldig.
[Vooronderstelt: { (¬((¬A B)
B) A );
((¬(¬A B) ¬B) A );
((A ¬B) ¬B
A );
(u) (¬B A );
(B A)}.]
Bijv.: {(A B), ¬A} [
((¬A B) ¬A);
¬A);] (
degres) ¬B' : is ongeldig.
[Vooronderstelt: { (als voorgaande) (B A) }.]
In (pseudo-) Modus Ponens.
Ongegronde/onjuiste activatie van een negatieve afleidingsregel.
16. Reductie via (Partiële) '
Symmetrische equivalentie'; type II: met degressie; zònder tegelijk 'Symmetrische contradictie'.
Formules met complexe basale subformules/ clauses,
met wederzijds uniforme ( synonieme) elementen (onder unificatie);
zònder tegelijk ' Symmetrische contradictie'.
Reductie op grond van ( Partiële) ' Symmetrische equivalentie'.
16A.
Reductie via Samentrekken (Contractie) van (complexe) basale subformules.
Is variant van (15B.1c.5): Connectief-'down-grading', d.i. Conjunct-disjunct connectief conversie (
reductie).
(1) Basale (Hoofd)connectief reductie.
(2) Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale disjunctie.
(3) Eliminatie van symmetrisch-equivalente elementen.
(via Basale doublure-reductie).
Met degressie.
Algemene structuur.
{( p q [1] ..
q [n]) ( p
r [1] ..
r [m])};
Opties:
Reducties uitsluitend geldig onder degressie.
Optie 1: In CNF; Reductie via Complexe-conjunct afleiding.
Degressief afleiding van minstens één van de samenstellende Conjuncte (sub)formules/ clauses.
Via directe basale Conjunctieve reductie.
Principe: 'Splitting Rule' (Davis and Putnam, 1960).
Optie 1.1:
(degres) ( p
q [1] ..
q [n]).
Optie 1.2:
(degres) ( p
r [1] ..
r [m]).
Optie 2. In CNF/ DNF; Reductie via Samentrekken ( Contractie) van
complexe basale elementen.
Samentrekking ( Contractie) van minstens twee van de samenstellende (sub)formules/ clauses.
Met eventueel eliminatie van Equivalente lokale elementen.
Route 2.1: In CNF/ DNF: Contractie, via Comprimatie.
In CNF: via Comprimatie (naar disjunctie); waarna (lokale) Connectief reductie.
In DNF: via Comprimatie (naar conjunctie); waarna (basale) Connectief reductie.
Principe: 'Pure Literal Rule' (Davis and Putnam, 1960, p.43-52).
(1) Basale Comprimatie (naar Disjunctie).
(u) ( p ((q [1]
.. q [n])
(r [1] ..
r [m])));
(2) Basale (Hoofd)connectief reductie;
(degres) ( p
((q [1] ..
q [n]) (r [1]
.. r [m])));
(3) Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
( p q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m] ).
Route 2.2: In CNF; Contractie, via basale Conjunct-disjunct connectief reductie.
In CNF: via directe basale (Hoofd)connectief reductie; waarna (basale) Doublure eliminatie
.
Wet: [{(p q )} (p
q ) ]; resp. [{(r r )}
r ].
(1) Basale (Hoofd)connectief reductie.
(degres) (( p
q [1] ..
q [n]) ( p
r [1] ..
r [m]));
(2) Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
( p q [1]
.. q [n])
p r [1]
.. r [m]);
(3) Basale doublure-reductie, t.b.v. equivalent eliminatie, van (minstens één) Disjunct.
(u) ( p q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m]);
Voorbeelden.
(16A.1) In CNF:
Bijv.: {( A B) ( A
C)}
Optie 1:
(1.1) (degres) ( A
B);
en/of (1.2). (degres) ( A
C).
Optie 2: via Comprimatie.
Optie 3: via basale Connectief reductie.
Bijv.: {(A B C)
(D B
E)};
Optie 1:
(1.1) (degres) (A
B C);
en/of (1.2). (degres) (D
B E).
Optie 2: via Comprimatie.
Optie 3: via basale Connectief reductie.
(16A.2) In DNF:
Bijv.: {( A B) ( A
C)}
Optie 1: N.v.t.
Optie 2: via Comprimatie.
Optie 2: via lokale Connectief reductie (2x).
17. Reductie via (Partiële) '
Symmetrische contradictie'; type II: onder degressie.
Formules met complexe basale subformules/ clauses,
met wederzijds complementaire ( antinieme) elementen (onder unificatie);
met daarnaast óók niet-unificeerbare elementen.
Reducties uitsluitend geldig onder degressie.
Met eliminatie van symmetrisch-complementaire elementen.
Varianten:
17A.
Reductie via (Partiële) 'Symmetrische contradictie'; type II: onder
degressie;
met daarnaast uitsluitend niet-unificeerbare elementen.
Door Contractie met eliminatie van complementaire elementen.
Geldig onder degressie/ implicatie.
(Sommige onder parafrase/ equivalentie, andere met degressie).
Algemene structuur.
{( p q [1] ..
q [n]) (¬ p
r [1] ..
r [m])};
Bijv. {( A B) (¬ A
C)} [ {A,¬A} zijn unificeerbaar complementair,
{B,C} zijn niet unificeerbaar ]
Opties:
Reducties uitsluitend geldig onder degressie.
Optie 1: Complexe-conjunct afleiding.
Via basale Conjunctieve reductie.
Principe: 'Splitting Rule' (Davis and Putnam, 1960).
Optie 1.1:
(degres) ( p
q [1] ..
q [n]).
Optie 1.2:
(degres) (¬ p
r [1] ..
r [m]).
Optie 2: Contractie, via ('vroegtijdige') directe basale Connectief reductie.
Levert maximaal verlies van logische kracht. Is dus de minst nuttige optie.
(degres) (( p
q [1] ..
q [n]) (¬ p
r [1] ..
r [m]));
Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
( p q [1]
.. q [n]
¬ p r [1]
.. r [m]);
Basale Tautologie eliminatie.
(u) ( $1 q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m]);
Basale Waarheid-implicatie eliminatie.
$1.
Optie 3: Contractie, met tegelijk eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire elementen.
Binaire resolutie; ' Propositional resolution', ' P-resolution'.
Reductie volgens principe: 'Resolution rule' (J.A. Robinson, 1965):
Operator: 'Propositional resolution rule', 'Binary resolution rule'.
Reduct: 'P-resolvent' (Géén Equivalentie).
(degres)(u) ((q [1]
.. q [n])
(r [1] ..
r [m]) ).
Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
(q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m]).
Bewijs via Resolutie.
Aanname van het tegendeel.
((( p q [1] ..
q [n]) (¬ p
r [1] ..
r [m])) ¬(q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m]) );
Nesting vereenvoudiging.
Samenvoeging tot één basale Conjunctie.
(( p q [1]
.. q [n])
(¬ p r [1]
.. r [m])
¬q [1] ..
¬q [n] ¬r [1]
.. ¬r [m] );
Eliminatie van lokale elementen, wegens (basale) Transferente contradictie, ( m + n) keer.
((m +n)*u) ( p
¬ p ¬q [1]
.. ¬q [n]
¬r [1] ..
¬r [m] );
Basale contradictie.
(u) $0 : sluit.
(17A.1) In CNF:
Optie 1: Complexe-conjunct afleiding.
(degres) ( A
B);
en/of: (degres) (¬ A
C);
Optie 2: Contractie, via directe basale Connectief reductie.
Optie 3: Contractie, met tegelijk eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire elementen.
(degres)(u) (B
C).
Tabelbewijs:
[ ( $(1111.1100) $
(1010.1111) );
(1010.1100);
(degres) $(1110.1110)].
Idem, overige toepassingen van Contractie.
Bijv.: {( A B) ( ¬A
C D)} [ {A,¬A} zijn
unificeerbaar complementair, {B,C,D} zijn niet unificeerbaar ]
(17A.2) Indirecte vorm, o.a. in Syllogisme, universele standaardvorm.
Toepassing in PPL.
Bewijs via 'kettingredenering' of 'ketenredenering' ( sorites).
Het aaneenschakelen van redeneringen, met degressie, via substitutie.
{Nb. Vormen van ketenredenering zoals Modus ponens, Syllogisme, e.d. bieden het voordeel
dat de structuurovereenkomst met redenering in de natuurlijke taal gemakkelijk te herkennen is: want tijdvolgelijk,
lineair, unidimensioneel weer te geven.
Nadeel is echter dat de redeneervorm niet noodzakelijk aansluit bij de feitelijke structuur van de informatie
die ter beoordeling staat.
Ze vormt een zeer selectieve variant van een reusachtig (nl. ultra-exponentieel) aantal mogelijke redeneervormen
die volgens de universele structuur van de formele, c.q. combinatorische semantiek van de logica in informatie
gegeven is.
Hierdoor kan het zeer beperkend, en misleidend zijn om teveel op deze vormen te focussen. }
Universeel normaal vorm van Syllogisme (versie PPL).
Propositielogische vorm van Predikaatlogisch schema van Universeel normaal vorm van Syllogisme
.
Bijv.: {(A X) , ( X C) };
((¬A X)
(¬ X C) );
Route (1)
[ Symmetrische contradictie eliminatie, met degressie, Contractie; Eliminatie +/-X:
(degres)(u) [(¬A
C); ] (A
C).
Tabelbewijs:.
{( $(1100.1111) ,
(1011.1011))
(1000.1011)} (degres)
(1010.1111).
Variant met Equivalentie, Substitutie van conclusie.
Variant met Equivalentie, Substitutie van premisse.
Variant met meerdere Equivalenties.
(17A.3) Indirecte, meer complexe vormen; meervoudig 'hypothetisch' (Pseudo-)Syllogisme.
Bidirectional Dilemma.
Bijv.: {(A B) (B
C) (C D)};
((¬A B)
(¬B C) (¬C D));
(degres)(u) ((¬A
C) (¬C D));
(degres)(u) (¬A
¬D);
(degres) (A D);
Idem; semi-circulair.
Bijv.: {( A B) (C
D) (D A
)};
((¬ A B)
(¬C D) (¬D
A));
(degres)(u) ((B
¬D) (¬C D));
(degres)(u) (B
¬C));
(degres) (C B);
Constructive dilemma.
Destructive dilemma.
Bijv.: {(A B) (C
D) (¬ B
¬ D)};
((¬A B)
(¬C D)
(¬B ¬D));
(degres)(u) ((¬A
¬ D) (¬C
D));
(degres)(u) (¬A
¬C ).
(17A.4) Indirecte vorm, o.a. in Syllogisme, (existentiële) standaardvorm.
Via (impliciete) Symmetrische contradictie eliminatie.
Indirecte vorm; via ' Disjunct-vervangingsregel'.
Bijv.: {(A X), ( X C)}
((¬A X)
(¬X C));
((A X) (¬
X C)); (
degres)(u) (A C ).
Bijv.: {(A1 A2), (A1 C1), (A2
C2)};
((A1 A2) (¬A1
C1) (¬A2 C2));
(degres)(u) ((A2
C1) (¬A2 C2));
(degres)(u) (C1
C2 ).
(17A.5) Ander patroon, via Basale-conjunct import.
O.a. in Syllogisme, existentieel normaalvorm.
Via Regel van Existentieel Syllogisme.
Bijv.: {((A1 B1) (A2
B2)), (B1 C1), (B2
C2)};
[1] Route 1.
Lokale CNF normaal vorm conversie, 2x.
(((A1 B1)
(A2 B2)), (¬B1 C1)
(¬B2 C2));
Lokale Basale-conjunct import 2x.
(((A1 B1 (¬B1
C1) ) (A2 B2
(¬B2 C2) ) ) (¬B1
C1) (¬B2 C2));
Lokale Transferente contradictie eliminatie 1 {B1,¬B1}.
(u) (((A1 C1)
(A2 B2 (¬B2
C2) ) ) (¬B1 C1)
(¬B2 C2));
Lokale Transferente contradictie eliminatie 2 {B2,¬B2}.
(u) (((A1 C1)
(A2 C2) ) (¬B1
C1) (¬B2 C2));
Basale Conjunctieve reductie, 2x.
degres) ((A1 C1)
(A2 C2)).
[2] Route 2.
Lokale Basale-conjunct import 2x.
(((A1 B1 [ (B1
C1)] ) (A2 B2 [
(B2 C2)] ) ), (B1
C1), (B2 C2));
Lokale Substitutie, 2x.
(degres)(u) (((A1
C1) (A2 C2) ), (B1
C1), (B2 C2));
Basale Conjunctieve reductie, 2x.
degres) ((A1 C1)
(A2 C2)).
[3] Route 3.
Lokale CNF normaal vorm conversie, 2x.
(((A1 B1)
(A2 B2)), (¬B1 C1)
(¬B2 C2));
Lokale Distributie 1x.
(((A1 (A2 B2
)) (B1 (A2 B2))),
(¬B1 C1) (¬B2
C2));
Lokale Distributie 2x.
((A1 A2) (A1
B2) (B1 A2)
(B1 B2) (¬B1
C1) (¬B2 C2));
Contractie met eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire disjuncten 2x {B1,¬B1}.
(u) ((A1 A2)
(A1 B2) (B1
A2) (B1 B2)
(A2 C1) (B2
C1) (¬B1 C1)
(¬B2 C2));
Contractie met eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire disjuncten 3x {B2,¬B2}.
(u) ((A1 A2)
(A1 B2) (B1
A2) (B1 B2)
(A2 C1) (B2
C1) (A1 C2)
(B1 C2) (C1
C2) (¬B1 C1)
(¬B2 C2));
Basale Transferente contradictie eliminatie 1 {B1,¬B1}.
(u) ((A1 A2)
(A1 B2) (B1
A2) (B1 B2)
(A2 C1) (B2
C1) (A1 C2)
(B1 C2) (C1
C2)
A2 B2 C2
(¬B1 C1) (¬B2
C2));
Basale Transferente contradictie eliminatie 2 {B2,¬B2}.
(u) ((A1 A2)
(A1 B2) (B1
A2) (B1 B2)
(A2 C1) (B2
C1) (A1 C2)
(B1 C2) (C1
C2)
A2 B2 C2
A1 B1 C1
(¬B1 C1) (¬B2
C2));
Basale Distributie.
(((A1 B1) (¬
B1 C1) (¬B2 C2))
((A2 B2) (¬B1
C1) (¬B2 C2)));
Basale Nesting versimpeling.
((A1 B1 (¬B1
C1) (¬B2 C2))
(A2 B2 (¬B1
C1) (¬B2 C2)));
Contractie met eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire disjuncten 1 {B1,¬B1}.
(degres)(u) (((A1
C1) (A2 B2)),
(¬B1 C1) (¬B2
C2));
degres) ((A1 C1)
(A2 C2)).
17B. Reductie via (Partiële) '
Symmetrische contradictie'; type II: onder degressie;
Gecombineerd met Symmetrische equivalentie, met daarnaast óók niet-unificeerbare elementen.
Gecombineerd Symmetrische equivalentie èn contradictie;
al dan niet ' kruiselings verdeeld',
met daarnaast óók niet-unificeerbare elementen.
(17B.1) Algemene vorm: níet 'kruiselings verdeeld'.
Algemene structuur.
{( p q [1] ..
q [n]) (¬ p
q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m])};
Bijv.: {(A B) (A
¬B C)}
[ {A,A} zijn unificeerbaar equivalent, {B,¬B} zijn unificeerbaar complementair, {C} is niet unificeerbaar ]
Opties:
Reducties uitsluitend geldig onder degressie.
Optie 1: Complexe-conjunct afleiding.
Via basale Conjunctieve reductie.
Principe: 'Splitting Rule' (Davis and Putnam, 1960).
Optie 1.1:
(degres) ( p
q [1] ..
q [n]).
Optie 1.2:
(degres) (¬ p
q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m]).
Optie 2: Contractie, via ('vroegtijdige') directe basale connectief reductie.
Levert maximaal verlies van logische kracht. Is dus de minst nuttige optie.
(degres) (( p
q [1] ..
q [n]) (¬ p
q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m]));
Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
( p q [1]
.. q [n]
¬ p q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m]);
Basale Doublures eliminatie, ( n) keer.
(n*u) ( p
q [1] ..
q [n] ¬ p
r [1] r [2]
.. r [m]);
Basale Tautologie eliminatie.
(u) ( $1 q [1]
.. q [n]
r [1] ..
r [m]);
Basale Waarheid implicatie eliminatie.
$1.
Optie 3: Contractie, met tegelijk eliminatie van lokale symmetrisch-complementaire elementen.
Binaire resolutie; ' Propositional resolution', ' P-resolution'.
Reductie volgens principe: 'Resolution rule' (J.A. Robinson, 1965):
Operator: 'Propositional resolution rule', 'Binary resolution rule'.
Reduct: 'P-resolvent' (Géén equivalentie).
(degres)(u) ((q [1]
.. q [n])
(r [1] ..
r [m]) );
Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot één basale Disjunctie.
(q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m]).
Optie 4: Comprimatie, wegens symmetrisch equivalente disjuncte element(en); naar Disjunctie.
(degres)(u) ((q [1]
.. q [n] )
( p (¬ p
r [1] ..
r [m]) ) );
Lokale Transferente contradictie eliminatie.
(u) ((q [1] ..
q [n] ) ( p
(r [1] ..
r [m]) ) );
Nesting vereenvoudiging. Samenvoeging tot basale Disjunctie.
(q [1] ..
q [n] ( p
(r [1] ..
r [m]) ) );
CNF standaardisatie: via Distributie; naar Conjunctie.
(q [1] ..
q [n] p )
(q [1] ..
q [n] r [1]
.. r [m]) ).
(17B.1a) In CNF:
Bijv.: {(A B) (A
¬B C)};
(u) (A (( B)
( ¬B C)));
(A ( B
( ¬B C)));
(u) (A ( B
(C)));
(A ( B
C));
(A B) (A
C)).
Bijv.: {(A B C)
(A ¬B
D)};
(u) (A (( B
C) ( ¬B
D)));
(degres)(u) (A
(C D));
((A C) (A D)).
Bijv.: {(A B C
D) (A B
¬ C E)};
(2u) ((A B)
(( C D)
(¬ C E)) );
(degres)(u) ((A
B) (D E) ).
Varianten met exclusief Disjunctie.
Meervoudige toepassing van Modus ponens (MP).
Disjunctie Eliminatie regel 'v el' ('officieel').
Indirect CNF.
Bijv.: {(A1 A2), (A1 C), (A2
C)};
Fase 1: Parafrase standaardisatie:
[ PPL standaardisatie:]
{(A1 A2) (A1
C) (A2 C) }
[ CNF standaardisatie:]
((A1 A2) (¬
A1 C) (¬A2 C) );
[ {A1,¬A1} zijn unificeerbaar complementair, {A2,¬A2} zijn unificeerbaar complementair, {C} is niet unificeerbaar
]
Optie 1:
Fase 2: Parafrase reductie:
Route 2a: Parafrase:
Beperkte basale Comprimatie; via buitenplaatsing van gemeenschappelijke Disjuncte literaal C; naar Conjunctie
:
(u) ((A1 A2)
((¬A1 ¬A2) C) ) );
Nesting vereenvoudiging:
((A1 A2) (¬(
A1 A2) C) ) );
Globale basale (Complexe) Transferente contradictie; Eliminatie van lokale complexe complementaire Disjunctie:
(A1 A2):
(2u) ((A1 A2)
(C) );
Route 2b: Parafrase:
Globale basale Distributie, spreiding via splitsing van een Conjuncte Disjunctie (A1
A2); naar Disjunctie:
((A1 (¬A1 C)
(¬A2 C) ) (A2
(¬A1 C) (¬A2
C) ) );
(Lokale) Transferente contradictie binnen Disjunctie, twee keer; Eliminatie van literalen {¬A1,¬A2}:
(2u) ((A1 C
(¬A2 C) ) (A2
(¬A1 C) C) ) );
(Lokale) Transferente equivalentie binnen Disjunctie, van literaal C, twee keer; Eliminatie van lokale Conjunctie
s {(¬A2 C), (¬A1 C)} :
(2u) ((A1 C )
(A2 C ) );
Globale basale Comprimatie, via buitenplaatsing van gemeenschappelijke Disjuncte literaal C; naar Conjunctie
:
(u) ((A1 A2 )
C );
Fase 3: Degressief reductie.
Via Conjunctieve reductie ( Conjunct afleiding van literaal C:)
[ (degres) C ].
Optie 2:
Contractie.
(Zie ook 17A.1 (Partiële) 'Symmetrische contradictie': II; met daarnaast uitsluitend
niet-unificeerbare elementen.)
(degres)(u) ((A2
C) (¬A2 C) );
Comprimatie.
(u) ((A2 ¬A2 )
C );
Lokale tautologie.
(u) ( $1 C );
(u) C.
(17B.2) Speciale vorm: 'kruiselings verdeeld'.
' Gemengd' Symmetrische equivalentie èn contradictie;
' kruiselings verdeeld': met daarnaast óók niet-unificeerbare elementen.
Via Disjunctieve expansie.
Bijv.: {( A ¬ B C)
(¬ A B) };
(degres)(u) (( A
¬ B C)
(¬ A B
C) );
(u) ((( A ¬ B
) (¬ A B))
C );
(u)
(( A B) C ).
Bijv.: {(A B ¬C
D) (A ¬ B
C E)};
CHK: (u) (A (( B
¬ C D)
(¬ B C
E)) );
(degres)(u) (A
(¬ C C
D E) );
(u) (A ( $1
D E) );
(u) (A $1 );
(u)
$1.
Bijv.: {(A B C
¬D E)
(A B ¬ C
D F)};
CHK: (2u) ((A B)
(( C ¬ D
E) (¬ C
D F)) );
(degres)(u) ((A
B) (¬ D
D E
F) );
(u) ((A B)
( $1 E
F) );
(u) ((A B)
$1 );
(u)
(A B).
18. Overige degressief afleiding,
ten behoeve van 'ketenredenering'.
Verder:
18A.
'Ketenredenering': met eliminatie of reductie van Implicatie.
(18A.1) Implicatie als premisse.
Bijv.: { A B C};
((A B) C);
(¬(A B) C);
((A ¬B) C);
(u) ((A C)
(¬B C));
Optie 1:
Parafrase:
((¬A C) (B
C));
((¬A B) C);
[Nb. Na substitutie van { ¬C}:
(3) (¬C)} (A
¬B ¬C).]
Optie 2:
Degressie:
Optie 2a:
(1) (degres)(u) (A
C); ( ¬A
C);
en/of
(2) (degres)(u) (¬B
C); ( B
C);
(degres)(u) (¬A
¬B C);
((¬A B) C);
(18A.2);
Optie 2b:
(degres)(u) ((A
C) (¬B C));
(A ¬B C );
(¬A (B C)
);
((¬A B) C)
);
(B (¬A C)
).
(B (A C)).
(18A.2) Implicatie als conclusie.
Bijv.: { A (B C)};
Parafrase:
(¬A (¬B C));
((A B) C);
(¬A ¬B C).
(1) ( A (B
C));
en/of
(2) ( B (A
C));
[Nb. Na substitutie van { ¬C}:
(¬C)} ((¬A
¬B) ¬C).]
((A C) (B
C) ).
IX. Wetten voor reductie tot
onvervulbaarheid.
19.
Wetten voor logische strijdigheid (contradictie).
'Fatale' contradictie, door inconsistentie.
Varianten.
19A.
Directe 'fatale' strijdigheid.
Onmiddellijke, eenduidige weerlegbaarheid.
Formeel.
Directe (interne) ' fatale' logische strijdigheid van bewering of redenering.
Daardoor is de redenering als geheel onvervulbaar (dus onvervulbaar-) ongeldig.
Reductie op grond van ' Basale falsificatie'.
Wegens Implicatie door - directe of indirecte - basale onwaarheid.
Alle onder parafrase/ equivalentie.
19A.1.
Directe 'Basale onwaarheid' in CNF.
Directe, enkelvoudige ' fatale', interne strijdigheid.
Factieve onwaarheid ( falsum) op de conjuncte hoofdlijn van redenering van een bewering of conclusie(s).
Bijv.: {A $0} [
($0 A);]
$0.
Algemene vorm, in PPL.
Bijv.: { n i {A [1]
.. A [i] ..
A [n] $0 } [
x[i] | ($0
A[i]);] }
$0.
Idem, varianten in Conjunctie, met Disjunctie(s).
19A.2. Directe 'Basale falsificatie
', in CNF.
De bewering is al verklaard onwaar.
' Basale falsificatie (per implicatie)'.
Bijv.: {( $(A) = 0 ) A };
$0.
19A.3. Directe 'Basale contradictie
', in CNF.
Directe Basale conjunct-contradictie ( unit conflict):
Compleet Exclusief disjunctie van minstens twee beweringen of conclusies, d.w.z., complementaire
beweringen;
binnen dezelfde Conjunctie op de hoofdlijn van redenering: ' contradictio in termines'.
Hieruit volgt (19A.1) (per implicatie).
Algemene vorm, in PPL.
Bijv.: { n i {A [1]
.. A [i-1] A [
i] ¬A [i] A [i
+1] .. A [n] }
(u) (A [1] ..
A [i-1] ( $0)
A [i+1] .. A [
n] );
Falsificatie wegens basale contradictie.
$0.
Idem, varianten in Conjunctie, met Disjunctie(s).
19B. Indirecte 'fatale'
strijdigheid.
19B.1.
Indirecte Basale Conjunct- contradictie; in CNF.
Strijdigheid ( contradictie) tussen een bewering en een complement van haar afgeleide
op de hoofdlijn van redenering.
(19B.1a) Indirecte Basale Conjunct
- contradictie; in CNF, algemene vorm.
' Partiële contradictie'.
Hieruit volgen per implicatie (19A.1), resp. (19A.2).
Algemene vorm, in PPL.
Bijv.: { n i ( (A n
= {A [1] .. .. ,A [n] } )
( A n)
¬A [i] };
[ (A [i] A n
);] [ (A n (degres
) A [i] );]
(A [1] .. A [
i] .. A [n]
¬A [i] );
(u) (A [1] ..
A [i-1] ( $0)
A [i+1] .. A [
n] );
Falsificatie wegens basale contradictie.
$0.
(19B.1b) Indirecte Basale Conjunct- contradictie; via parallelle negatie.
Bijv.: { X \ ( X | A)}
(¬ X ¬( X | A));
(¬ X ¬(¬ X
¬A));
(¬ X ( X
A)); (¬ X
X A);
(u) ( $0 A);]
$0.
Bijv.: {(A | X) \ (A | ¬ X)}
(¬(A | X) ¬(A | ¬ X) );
(¬(¬A ¬ X)
¬(¬A ¬¬ X) );
((A X)
(A ¬ X) );
(A X A
¬ X );
(u) (A X
¬ X); (u) (A
$0 );
$0.
19B.2. Indirecte Basale
Conjunct- contradictie; door conflict in Implicatie.
19B.2a.
Indirecte 'fatale' strijdigheid, door conflict m.b.t. premisse(n)
.
Strijdigheid in premisse(n). In (Pseudo-) Modus Ponens.
19B.2b. Indirecte 'fatale'
strijdigheid, door conflict m.b.t. conclusie(s).
Een bewering, redenering (betoog) of conclusie leidt tot onwaarheid - en blijkt daardoor onvervulbaar.
Ze leidt dus tot ' Fatale reductie'.
Volgens wetten van ' reductio ad absurdum'.
(Zie ook: basiswetten t.b.v. bewijs door weerlegging van het tegendeel, ' elenctic refutation', Resolutie).
(19B.2b.1) Indirecte strijdigheid van
conclusie met (ware) bewering.
Strijdigheid in conclusie(s). In (Pseudo-) Modus Tollens.
(19B.2b.2) Strijdige conclusie
uit (ware) bewering.
' Fatale' contradictie, via Contradictie binnen conclusie.
(19B.2b.3) Factief uitgesloten conclusie.
'Fatale' contradictie, door inconsistentie, wegens contradictie met conclusie.
(19B.2b.3a) Factief uitgesloten conclusie;
met enkelvoudige (Disjuncte) premisse, en ware referent-premisse.
(19B.2b.3b) Factief uitgesloten conclusie;
met meervoudige (Disjuncte) premisse, en (deels) ware referent-premisse.
(19B.2b.3c) Factief uitgesloten conclusie;
met meervoudige (Conjuncte) premisse, en (deels) ware referent-premisse.
C.P. van der Velde © 2004, 2015, 2018.
|
|