Alento

Training & Advies

 

-

 

Arc of Essentials ©

 

-

  drs. C.P. van der Velde  

-

  12-11-2015

Dimensie/ vakgebied:

Logica



Cursus / training:

Methode Formele Logica

©

Introductie Propositielogica (PPL)



Uitgangspunten en richtlijnen

.

I.

 

Opbouw van de propositielogica.



De propositielogica (PPL) is het meest simpele systeem van formele logica. Het bevat de basisregels van de logica, die ten grondslag liggen aan vrijwel alle logische systemen van 'hogere' orde.
Deze regels kunnen in principe heel bondig worden beschreven, pakweg op een half A4tje. Het vraagt vervolgens echter heel wat studie en oefening - dus tijd en moeite - om alle mogelijke combinaties en toepassingsvormen snel te kunnen herkennen, en te kunnen toetsen op hun geldigheid.
In dit overzicht zijn zowel alle basisregels als alle elementaire toepassingsvormen expliciet vermeld. Bovendien wordt waar nodig het formele bewijs van hun geldigheid gegeven. Die geldt met name voor de regels die nodig zijn voor de belangrijkste bewijsmethoden in de propositielogica: met name de methode van waarheidswaardentabellen ( Schröder-Peirce), van reductie naar waarheidswaarde (Convergente reductie), van axiomatische bewijsvoering, van natuurlijke deductie (Natural deduction, Gentzen-Fitch), van resolutie (Davis & Putnam, Robinson).
{N.b. Zie ook: Principes van Logische bewijsvoering.}

De vermelde kenmerken en regelmatigheden zijn in principe toepasbaar op alle alledaagse taaluitingen en uitspraken, teksten, berichten, verhalen, of voorstellingen van zaken. Dit betekent dat je, nadat je het hele overzicht hebt doorgelezen, in principe elke redenering c.q. formule in de propositielogica - dat is elke uitspraak of gedachtestap met in de syntactische dieptestructuur minstens één elementaire bewering - kunt herkennen en kunt beoordelen op essentiële logische criteria zoals relevantie, consistentie en geldigheid.

1.

 

Het kader van de propositielogica



Elementaire beweringen.


De regels van de propositielogica zijn allereerst van toepassing op het redeneren over elementaire beweringen.
Een elementaire bewering is elk onderdeel van een hoeveelheid informatie dat nog afzonderlijk een zelfstandige bewering over iets (wat dan ook) kan vormen. Dat wil zeggen dat het zelfstandig een toedracht in een gebied van de werkelijkheid kan weerspiegelen. Het zijn dus betekeniselementen die niet louter een verwijzende functie hebben, maar die iets zeggen over een bepaald thema, direct of indirect, impliciet of expliciet.

Redeneren met elementaire beweringen


De meest eenvoudige manier van redeneren is om alleen de waarheidsrelaties te bekijken tussen elementaire beweringen, dus voorbijgaand aan de betekenisstructuur binnen die elementaire beweringen.
In de logica worden elementaire beweringen aangeduid als proposities. Het logische systeem voor het redeneren over proposities heet dan ook de propositielogica (

PPL

).

De grondslag voor dit systeem werd gelegd door de beroemde Griekse filosoof Aristotelis.
{Nb. Aristotelis (384-322 A.D.) was geboren in Stagira als zoon van Nicomachus, een bekende geneesheer. Hij werd leerling van Plato aan de Academie van Athene, werd leraar van Alexander de Grote aan het Macedonische hof en begon een eigen Lyceum. Onder zijn belangrijkste werken zijn het Organum, bestaande uit zes verhandelingen over logica, Physica, Metaphysica, De Anima , De Ethica, De Poetica, Rhetorica, en een aantal werken over biologie en fysica. Hij stierf in Chalcis. }

1.1.

 

Notaties.


PPL

: propositielogica. Als formeel logisch systeem.

PPL

* : De verzameling toegelaten uitdrukkingen (zinnen/ formules) van

PPL

.

1.2.

 

Proposities en connectieven.


(1)

Elementaire beweringen in taal.


Elementaire beweringen zijn de 'bouwstenen' van alle beweringen in een taal, ongeacht of dat een natuurlijke of kunstmatige taal is.
In een taal weergegeven zijn elementaire beweringen de betekenisrepresentaties van zinnen en bijzinnen, oftewel alle taaleenheden die precies één zgn. gezegde bevatten.
Elk gezegde bevat met name een hoofdwerkwoord. Dit laatste kan geformuleerd zijn in dynamische vorm, als proceswoord (lopen, praten, ..) of statische vorm, als nominalisatie (de loop, het gesprek, ..). Bij elk proceswoord hoort tenminste één ding dat het proces 'doet': de uitvoerder of agens (grammaticaal is dit het onderwerp van het gezegde in bedrijvende vorm).

(2)

Opbouw van redeneringen


In de

PPL

kan worden geredeneerd door elementaire beweringen - or atomaire proposities - te combineren, zodat we constellaties of ketens van redenering kunnen vormen, d.w.z. proposities van hogere complexiteit. Die combinaties zijn gebaseerd op logische relaties waaraan die beweringen kunnen worden verbonden.

Neem bijvoorbeeld de zin:
S: 'Jan slaat Piet met een hamer op zijn kop in de tuin als het regent bij de buren'.
We benaderen deze zin hier vanuit het perspectief van de propositielogica (

PPL

).

(3)

Componenten van proposities.


We brengen daarbij een onderscheid aan in elementaire beweringen (atomen) en voegwoorden (connectieven).
(a)

Atomen:


We bekijken eerst de elementaire beweringen zoals die in elke taal voorkomen.
De elementaire beweringen vormen in de formele logica de atomaire formules (oftewel de enkelvoudige propositie s) afgekort 'ATM'.
Bijvoorbeeld, in de bovengenoemde zin S hebben we er twee:
· A1: 'Jan slaat Piet met een hamer op zijn kop in de tuin';
· A2: 'het regent bij de buren'.
Dus hier hebben we de verzameling: ATM*

=

{A1,A2}.

(b)

Connectieven:


De logische verbindingen tussen proposities worden in het gewone spraakgebruik vaak gelegd door voegwoorden (als, dan, want, enz.). Die voegwoorden kunnen we in formele logica vertalen naar de connectieven.
De connectieven vormen de logische structuur van de formule of redenering. Ze verwijzen naar de logische relaties die tussen beweringen worden aangegeven.
Op het niveau van de logisch-semantische structuur worden ze ook wel operatoren of waarheidswaardefuncties genoemd, omdat ze bepalend zijn voor de waarheidswaarde van de betreffende stelling.
In zin S hebben we de semantische structuur: S: '(P1 ALS P2)'.
Het voegwoord 'als' kunnen we hier redelijk vertalen in het logische connectief de implicatie, aangeduid met het symbool ''.
Daarmee kijgen we als logisch-syntactische structuur: S: '(P2 P1)'.

1.3.

 

Logische connectieven in PPL.



De logische relaties kunnen worden herleid tot een klein aantal basisvormen, de logische connectieven. Hieronder volgt allereerst een overzicht van de belangrijkste connectieven die in de

PPL

gebruikt worden, met hun omschrijvingen en gangbare benamingen, hun tegenhangers in de natuurlijke taal (met name voegwoorden), en de symbolen die ervoor gebruikt worden bij vertalingen in formules volgens systemen voor

PPL

en hoger.

Tabel 1.

Symbolen in Propositielogica (PPL): connectieven
Logische relatie
   Voegwoord in tekst
 Logisch symbool
 Symbool in tekst

Negatie


(falsificatie, Boolean complementering, 'niet-poort'):
ontkenning, onwaar
   '..

NOT

..';
'NIET ..'

¬

-

Conjunctie


(Boolean multiplicatie, seriële schakeling, 'en-poort'):
samenvoeging
   '..

AND

..';
'.. EN ..'

&
(Inclusieve) Disjunctie
(alternatie, subcontraire relatie, Boolean additie, parallelschakeling, 'of-poort'):
onderscheiding
   '..

OR

..';
'.. EN/OF ..'

v

Parallelle negatie


(Peirce junctie):
gelijktijdige uitsluiting
   '..

NOR

..'; '.. NOCH ..'

\

\

Incompatibiliteit


(Sheffer junctie, exclusie, contraire relatie):
uitgesloten combinatie
   '..

NAND

..'; 'NIET ZOWEL .. ALS ..'

|

|
(Materiële)

Implicatie


(subalterne relatie):
voldoende voorwaarde, logische insluiting (asymmetrisch)
 		  'ALS .. DAN ..'

>

Inverse implicatie:
noodzakelijke voorwaarde (asymmetrisch)

   '.. ALS ..'

<

Logische equivalentie


(parafrase): gelijkwaardigheid, (symmetrisch)
   '..

XNOR

..';
'.. M.A.W. ..'

==

Exclusief disjunctie


(antivalentie):
scheiding (symmetrisch)
   '..

XOR

..'; 'OF .. OF ..'

||

,

#

Symbolen in metalogica: operatoren
Concept
   Uitdrukking in tekst
 Meta-logisch symbool
 Symbool in tekst
Consequentie /
Algemene afleiding:
'Als .. dan ..'
   '.. DAN ..'

=>
Vergelijking /
Wederzijdse afleidbaarheid:
'.. dan en slechts dan als ..'
   '.. DESDA ..' /
'.. IFF ..'

<=>
Validiteit /
Logische consequentie /
Semantische afleiding (afhankelijk van domein).
'.. is geldig' / '.. heeft als logisch gevolg ..'		   'VALID(..)'

|=
Derivatie /
Syntactische afleiding (onafhankelijk van domein).
'.. is afleidbaar' / '.. waaruit afleidbaar is ..'.
Ongeacht aannamen / interpretatie .

   'DRV(..)'

|-
Demonstratie:
'.. bewijst' / '.. vormt bewijs voor ..'
   'PRV(..)'

|~
Contradictie /
strijdigheid, semantisch,
'.. levert contradictie'.
   'CONTRAD(..)'

>-<
Incompatibiliteit /
Complementariteit /
strijdigheid, syntactisch,
'.. is/zijn incompatibel'.
   'INCOMPAT(..)'

[ ]

Symbolen in Modale logica (MDL): operatoren
Logische operator
   Voegwoord in tekst
 Logisch symbool
 Symbool in tekst
Noodzakelijk:
(zeker) waar
   'NOODZ ..'

@

,

!
Mogelijk:
niet onwaar
   'MOG ..'
 ±

%

Symbolen in Predikatenlogica (PDL): kwantoren
Kwantor
   Uitdrukking in tekst
 Logisch symbool
 Symbool in tekst
Universele kwantor:
categorische bewering
   'Voor ALLE ..'

@
Existentiële kwantor:
particuliere bewering
   'Voor SOMMIGE ..'

%
Symbool in Modeltheorie    
  
  
Structuur,
datastructuur voor het domein.
   'STRUCTURE'

A!
Assignment,
'bedeling', toekenning van variabelenamen aan domeinelementen.
   'ASSIGNMENT'

B!

Symbolen in Verzamelingenleer (Set theory):
Relatie
  Uitdrukking in tekst
 Wiskundig symbool
 Symbool in tekst
Element:
'.. is element van ..'
   '.. ELEMENT ..'
IN
'Echte' deelverzameling:
'.. is onderdeel van ..'
   '.. PROPER SUBSET ..'
SUBSET
Deelverzameling:
'.. is deelverzameling van ..'
   '.. SUBSET-OR-IS ..'
SUBSET/IS
'Echte' insluiting:
'.. omvat ..'
   '.. CONTAINS ..'
OMVAT
Insluiting:
'.. is of omvat ..'
   '.. CONTAINS-OR-IS ..'
OMVAT/IS
Vereniging:
'.. verenigd met ..'
   '.. UNION ..'

U
Doorsnede: '.. gemeenschappelijk met ..'
   '.. INTERSEC ..'

*
Oneindig:
omvang van een verzameling,
aftelbaar oneindig.
   'INFINITE ..'
 ∞
 oneindig
Kardinaliteit:
omvang van een verzameling,
niveau van oneindigheid.
   'ALEPH ..'
Aleph



2.

 

Syntax voor propositielogica.



2.1.

 

Het alfabet van PPL

.

De verzameling symbolen van

PPL

.

(1) De logische symbolen van

PPL

.


(logical symbols).
Deze hebben binnen de formele taal een vaste rol, functie of betekenis.

(2) De niet-logische symbolen van

PPL

.


(extra-logical symbols).
Deze hebben binnen de formele taal een variabele rol en betekenis.

(1)

De logische symbolen van

PPL

.



(1a)

Waarde-aanduiding.


Weergave van de waarde van een term of (sub)formule.
Is louter descriptief, c.q. indicatief, dat wil zeggen 'passief': voert zelf geen bewerking uit.
(1a1)

Aanduiding van waarheidswaarde.


Weergave van de waarheidswaarde van een (sub)formule.
'

$

v' : waarheidswaarde v.
'(F)

$

' : waarheidswaarde van F.
Bijv. '(A)

$

=

$

0'.

(1a2)

Aanduiding van waarheidswaardepatroon.


Weergave van het waarheidswaardepatroon van een (sub)formule.
'(

bin

)', '

bin

' : equivalentie in termen van waarheidswaardepatroon.
Bijv. (d

PPL

=

4):
{(A1 A3) (A2 A4)}

$

(1110.1100.1010.0000);
(

bin

) (1110.1100.1010.0000);

(1b)

Aanduiding van (logische/ niet-logische) inhoud

.
(1b1)

Aanduiding van inhoud (extensioneel).


Varianten:
'A', of "A" : Citaat, aanduiding van een tekenreeks (syntactische constructie), extensioneel , in dit geval met inhoud A.
(1b2)

Aanduiding van inhoud (intensioneel).


Varianten:
'A' : Naam of beschrijving, aanduiding voor een begrip (semantisch concept), intensioneel , in dit geval A.
Bijv. een formule (aanduiding van een bewering of redenering), enz..
A(x ) : de eigenschap met naam 'A' komt toe aan een willekeurig ding x  ('x' is variabele).
'A*' : Verzameling dingen met eigenschap A.
(ongeordende hoeveelheid elementen, intensioneel).
'A' : Willekeurig element in

A

*a, variabele, intensioneel.
'A!' : Structuur A (geordend stelsel, bijv. een taalsysteem, bewijsreeks, algoritme, procedure, enz.; intensioneel ).

(1c)

Logische connectieven of operatoren.


Zijn vergelijkbaar met voegwoorden in de natuurlijke taal.
Volgens gangbare conventies worden hiervoor de volgende symbolen gebruikt:
{ '¬' ,'' ,'' ,' ' ,'' ,'' ,' ' }.
(Voor hun betekenissen en definities, zie elders/eerder).
In gewone tekst kunnen we hiervoor gebruiken:
{ '-' ,'&' ,'v' ,'>' ,'<' ,'==', ,'

#

' }.

(1d)

Aanduiding van identiteit.


Deze wordt met name gebruikt in meta-logische formules óver formules in

PPL

.
{ '

=

' } : Identiteit, in algemene zin.
Bijv. '

len

(F)

=

5'.
Meer specifieke vormen:
(1d1)

Semantische identiteit.


Gelijkwaardigheid van semantische inhoud/waarde van linkersymbool (bijv. variabele) met referentiële inhoud/waarde van rechtersymbool (bijv. waarde, betekenis).
De semantische inhoud van de (syntactische) linkerterm is gelijk aan de (semantische) inhoud als weergegeven met de linkerterm.
Is louter descriptief, c.q. indicatief, dat wil zeggen 'passief': voert zelf geen bewerking uit.
Weergave van de waarde van de linkerterm (valuatie, o.a. valideren, certificatie).
{ '

=

(v)' ,'

=

(

val

)' }.
Bijv. 'A

=

(v) 0': ((A

=

(v) 0) (A

$

0)).
(1d2)

Referentiële identiteit.


Synonymie van syntactische constructies.
De semantische inhoud van de linkerterm verwijst naar dezelfde semantische inhoud als van de linkerterm.
D.w.z., de termen hebben gelijke selectiviteit.
{ '

=

(r)' ,'

=

(

ref

)' }.
Bijv. 'A

=

(r) B': ((A

=

(r) B) (A B)).
(1d3)

Syntactische identiteit.


Formele identiteit, congruentie, isomorphie van syntactische constructies (die elk ook weer kunnen zijn aangeduid met syntactische constructies).
De syntactische inhoud van de linkerterm is gelijk aan de syntactische inhoud als weergegeven met de linkerterm.
{ '

=

(c)' ,'

=

(

code

)' }.
Bijv. 'A

=

(c) "B"'.
((A

=

(c) "B") (A "B")).

Code

(E) : de syntactische vorm van een expressie E.
(1d4)

Operationele identiteit.


Toekenning van referentiële inhoud/waarde van rechterterm aan linkerterm.
Deze toekenning volgt als uitkomst (conclusie) van een bepaalde bewerking.
Varianten:
(1) Uitkomst van een bepaalde interpretatie (validatie, denotatie, assignment).
(2) Uitkomst van een geldige redenering waarvan de premisse(n) waar zijn, bereikt via een eindige afleiding (een bewijs) (evaluatie).
{ '

:=

' }.
Bijv. 'A

:=

$

0':
(1) ((A ) (A

:=

$

0); (A

$

0) ).
(2) ((A ) (A

:=

$

0); (A

$

0) ).

(1e)

Syntactische hulpsymbolen.


Scheidingstekens (delimiters) voor begrenzing (interpunctie) en inbedding (nesting).
{ ,',' ,';' ,'(' ,')' }.
We kunnen meer specifiek onderscheiden:
(1e1)

Scheidingsteken.


',' : Scheidingsteken (delimeter) van elementen in een ongeordende reeks (verzameling).
';' : Scheidingsteken (delimeter) van elementen in een geordende reeks.
(1e2)

Opsomming (extensioneel).


'( .. )' : Subformule, ingebedde formule; of: opsomming van minstens één element in een reeks (geordend, extensioneel).
In

PDL

en hoger ook: argument-lijst in predikatie of in functie-aanroep.
'{ .. }' : Opsomming van nul of meer elementen in een verzameling (ongeordend, extensioneel).
'< .. >' : (o.a.) element of reeks met nog nader te specificeren inhoud (intensioneel).
'[ .. ]' : Commentaar, of: optioneel element, eventualiteit (extensioneel).
In

PDL

en hoger ook: index-lijst bij naam of term.

(2)

De niet-logische symbolen van

PPL

.


(2a)

Het alfabet.


De zgn. 'alphanumerieke' symbolen, bijvoorbeeld:
{ ' a' ,' b' ,

..

,' z' ,' A' ,' B' ,

..

,' Z' ,' 0' ,' 1' ,

..

,' 9' ,' _' }.
Hieronder bevinden zich propositionele variabelen:
Onder meer voor enkelvoudige formules (atomen).
(sentence letters).
{ ' A' ,' B' ,

..

,' Z' }.
Vaak worden propositienamen simpel met letters aangeduid.
Maar uit het alfabet kunnen desgewenst ook meerletterige termen, 'woorden' of 'namen' worden gevormd.
Ook kunnen propositienamen worden gerangschikt in verzamelingen, en voorzien wordne van indices in subscript notatie.
Bijv.: { 'A[1]', 'A[2]',

..

'A[n]' }.
Of bijv.: { P[i], Q[i], R[i],

..

}.

(2b)

Waarheidswaardeconstanten.


Het bereik (range) van waarheidswaarden.
  { 1, 0 }.

2.2.

 

Formatieregels voor formules in

PPL

.


Vereisten voor syntactische welgevormdheid van formules in

PPL

.

'wff' : een welgevormde formule (well-formed formula).

Inductieve definitie van wff's in

PPL

.


(1) Als { 1, 0 } waarheidswaardeconstanten zijn, dan zijn '

$

1' en '

$

0' wff's.
Zo ook '

$

(11)', '

$

(10)', '

$

(01)',

..

'

$

(111)', '

$

(110)',

..

'

$

(1111)',

..

enz..
(2) Als P een propositionele variabele is, dan is 'P' een wff.
(3) Als W een wff is, dan is ook '(W)' een wff.
Zo ook '((W))', '(((W)))',

..

enz.. (recursief toepasbaar).
(4) Als W en V wff's zijn, (terwijl V is W of een andere wff) dan zijn ook '¬ W', 'W V', 'W V', 'W V', en 'W V' wff 's.
(Ook recursief toepasbaar).

Bijvoorbeeld. Bij twee waarheidswaarden (v=2, binair systeem) en twee items (a =2) bestaat de verzameling logische relaties (

T

 v,a) uit de volgende elementen (waarheidswaardepatronen), in arbitraire volgorde:
{

$

(1111) ,

$

(0000) ,

$

(1100) ,

$

(1010) ,

$

(0011) ,

$

(0101) ,

$

(1000) ,

$

(0100) ,

$

(0010) ,

$

(0001) ,

$

(1110) ,

$

(1101) ,

$

(1011) ,

$

(0111) ,

$

(1001) ,

$

(0110)}.
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende logische relaties zijn daarbij achtereenvolgens:
{'T' ,'F' ,'A' ,'B' ,'¬A' ,'¬B' ,'(A B)' ,'(A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)' ,'(A B)' ,'(A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)' ,'(A B)' ,'(A

#

B)'}.


II. Basiswetten in de propositielogica.



3.

 

Semantiek voor Propositielogica.



Definities van waarheids- en geldigheidswaarden.
Axioma's, tautologieën, altijd geldige theorema's.

3.1.

 

Interpretatie.



(3.1.1) Interpretatiedomein


Elke syntactisch welgevormde atomaire formule in de Propositielogica heeft als interpretatiedomein een bepaalde waardenschaal.
Deze bestaat uit een reeks mogelijke waarheidswaarden.

(3.1.2)

Waarheidswaarden, logische identiteit en valuatie.


Een syntactisch welgevormde formule in de Propositielogica kan een waarheidswaarde worden toegekend. Deze kan waar zijn of onwaar.

(a)

Schrijfwijzen voor waarheidswaarden.


We definiëren, in wezen volkomen arbitrair:
De waarde 0 betekent onwaar, en 1 betekent waar.
'0' : voor het begrip "onwaar".
'1' : voor het begrip "waar".
Anders gezegd, elke syntactisch welgevormde atomaire formule in de Propositielogica heeft als interpretatiedomein: {1, 0}.

(b)

Waarheidswaarde-aanduiding (indicatie).


'

$

' : "waarheidswaarde".
Is in een binair systeem element van de verzameling {0,1}.
'

$

1' : "<..> is waar/ is het geval".
'

$

0' : "<..> is onwaar/ is niet het geval".

Stel (x {0,1}):
'

$

x' : "de (constante) waarheidswaarde x".
Stel (p {proposities}):
'p

$

' : "de (variabele) waarheidswaarde van p".

(3.1.3)

Waarheidswaardetoekenning.


Voor elke willekeurige uitspraak over een toestand van een element in een domein - een atomaire propositie - geldt een bepaald interpretatiebereik.

Tabel 2.

1 2
1 0
T F
A ¬A


3.2.

 

Axioma's voor de propositielogica.



Waarheidswaarden-tabel voor logisch systeem.


Een waarheidswaardentabel bevat simpel gezegd alle mogelijke volgordes van waarheidswaarden bij de combinatie van n variabelen die elk v waarden kunnen aannemen.

3.2.1.

 

Axioma's voor één variabele.


Betreft enkelvoudige proposities oftewel elementaire beweringen.

(a)

Waarheidswaarden-tabel

PPL

- voor één variabele.


Deze waarheidswaardentabel bevat alle mogelijke volgordes van waarheidswaarden van ééne variabele (propositie) in de

PPL

, die twee waarden kunnen aannemen.
De grondslag bestaat uit 1 variabele x 2 waarden = 2 basiscombinaties. Daarmee zijn 2 volgordes mogelijk, of reeksen van waarheidswaarden: waarvan elk een unieke logische relatie weergeeft. Hierdoor ontstaat de onderstaande meest eenvoudige tabel van 2 rijen bij 2 kolommen is 4 cellen.

Tabel 3.

Waarheidswaarden.


1

±

0

Waar

,
verum: Verificatie.

Onbepaald

,
ongeïnterpreteerd: Indefiniet.

Onwaar

,
falsum: Falsificatie.

Waarheidswaarde

(value, valor):

(G) =1.
 (0 <

$

(G) < 1).

(G) =0.

Waarheidswaardetoekenning

(valuatie):
V!(G) :=1.
 ¬V!(G) {0,1}.
 V!(G) :=0.

Waarheidswaardebepaling

(evaluatie), via eindig bewijs:
i E![i] G.
 (¬i E![i] G) (¬j E![j] ¬G).
 i E![i] ¬G.

Interpretatie

(validatie, denotatie, assignment):
m

M

![m] G.
 (¬m

M

![m] G) (¬ n

M

![n] ¬G).
 m

M

![m] ¬G.


(b)

Basiswetten van de Aristotelische Logica.


(1) Wet van de Identiteit.
{'A'}  

=

'A'.
(2) Wet van de Equivalentie.
{A}   A.
(3) Wet van het Uitgesloten Midden (Tertium non datur).
{A}  

#

¬A.
(4) Wet van Uitgesloten Tegenstrijdigheid (Non contradictio).
{¬(A ¬A)}.

3.2.2.

 

Axioma's voor twee variabelen.



(a)

Waarheidswaarden-tabel

PPL

- voor twee variabelen.


Deze waarheidswaardentabel bevat alle mogelijke volgordes van waarheidswaarden bij de combinatie van twee variabelen die elk twee waarden kunnen aannemen.
Deze uitgangsgegevens leveren allereerst 2 waarden keer 2 variabelen = 4 combinaties, oftewel mogelijke (individuele) objecttoestanden.
De grondslag voor de tabel bestaat uit 2 waarden tot de macht 2 variabelen = 4 toestandcombinaties, oftewel mogelijke domeintoestanden.
Daarmee zijn 2 tot de macht 4 = 16 volgordes mogelijk, of reeksen van waarheidswaarden, oftewel mogelijke (domein )toestandsrelaties, waarvan elk een unieke logische relatie weergeeft.
Hierdoor ontstaat de onderstaande tabel van 4 kolommen bij 16 rijen is 64 cellen.

Tabel 4.

Tabel   tweewaardige waardencombinaties
- met twee variabelen, geïnterpreteerd voor PPL
Nr. Waarde- patroon Logische relatie in

PPL

 Logische kracht
1 1 1 1 1

T

 ¬

F

X

¬

X

 0
2 0 0 0 0

F

 ¬

T

X

¬

X

 1
3 1 1 0 0

A

 ¬¬

A

   0.5
4 1 0 1 0

B

 ¬¬

B

   0.5
5 0 0 1 1 ¬

A

 ¬

A

   0.5
6 0 1 0 1 ¬

B

 ¬

B

   0.5
7 1 0 0 0

A

B

 ¬(¬

A

¬

B

)		   0.75
8 0 1 0 0

A

¬

B

 ¬(¬

A

B

)		   0.75
9 0 0 1 0 ¬

A

B

 ¬(

A

¬

B

)		   0.75
10 0 0 0 1 ¬

A

¬

B

 ¬(

A

B

)

A

\

B

 0.75
11 1 1 1 0

A

B

 ¬(¬

A

¬

B

)		   0.25
12 1 1 0 1

A

¬

B

 ¬(¬

A

B

)

A

B

 0.25
13 1 0 1 1 ¬

A

B

 ¬(

A

¬

B

)

A

B

 0.25
14 0 1 1 1 ¬

A

¬

B

 ¬(

A

B

)

A

|

B

 0.25
15 1 0 0 1

A

B

 ¬(

A

#

B

)		   0.5
16 0 1 1 0

A

#

B

 ¬(

A

B

)		   0.5
{Naar: Benjamin Peirce (1809-1880), Friedrich Wilheml Karl Ernst Schröder (1841-1902), e.a..}
{Zie: Bewijsmethode voor Propositielogica: de Waarheidswaarden- tabelmethode.}

Deze tabel - hoe hij ook wordt weergegeven - dekt hoe dan ook alle basiscombinaties die in het het meest elementaire begin van elke vorm van redenering een rol spelen. Ze vormt daardoor echt de allereerste, noodzakelijke grondslag voor correct combinatorisch denken.
De logische relaties die op deze wijze gedefinieerd zijn behoren tot het domein van abstracte patronen, oftewel van informatie: het informatiedomein.. Ze zijn hieraan gebonden, en vormen tegelijk de basisstructuur van dit domein.

{Nb.
Vaak wordt gedacht dat voegwoorden uit de gewone taal 'vertaald' zijn in de formele logica en dat de waarheidswaardentabel hiervan een uitdrukking is. Het omgekeerde is echter het geval.
In de logica is eerst gekeken naar alle mogelijke combinaties van een minimale schaal van (binaire) waarden (bijvoorbeeld waar en onwaar, ja en nee, aan en uit, enz.), en een aantal variabelen voor propositie s (bijv. genaamd A en B). Deze combinaties kunnen worden weergegeven in de waarheidswaardentabel.
De 16 kolommen (reeksen) in de tabel vormen elk de definitie van één elementaire logische relatie in de

PPL

. Van die 16 reeksen zijn er 4 die de definitie vormen van een algemeen gangbaar connectief-symbool in de

PPL

: '

$

(1000)' voor conjunctie, '

$

(1110)' voor disjunctie, '

$

(1011)' voor implicatie en '

$

(1001)' voor equivalentie. De overige 12 reeksen kunnen in deze vier connectieven vertaald worden - of omgekeerd, dat ligt maar aan je invalshoek.
Uit deze formele, of beter 'combinatorische' definities van de logische voegwoorden, waaronder de materiële implicatie, volgen vervolgens noodzakelijk de elementaire semantische basiswetten in de logica.

De betekenis van de formele logische connectieven, waaronder de implicatie, wordt in de waarheidswaardentabel dus bepaald door de bijbehorende kolommen: met andere woorden, ze worden gedefinieerd door hun waarheidswaardenpatronen - en niet omgekeerd. Pas na deze formele definitie is bij elk patroon van waarheidswaarden een passende benaming gezocht, die zo dicht mogelijk ligt bij onderscheidingen die in de gewone taal gangbaar zijn.}

3.2.3.

 

Axioma's voor elk aantal variabelen.



(3.2.3.1)

Waarheidswaarden-tabel

PPL

- voor n variabelen.


Deze waarheidswaardentabel bevat alle mogelijke volgordes van waarheidswaarden bij de combinatie van elk aantal c.q. n variabelen die elk twee waarden kunnen aannemen. De grondslag bestaat uit 2 waarden tot de macht n variabelen = 2 **n basiscombinaties. Daarmee zijn 2 tot de macht 2 **n = 2 **(2 **n ) volgordes mogelijk, of reeksen van waarheidswaarden: waarvan elk een unieke logische relatie weergeeft.

(3.2.3.2)

Interpretatiebereik


Voor elke willekeurige uitspraak over een logische relatie - een propositie - geldt een bepaald interpretatiebereik .
Dit bestaat uit een specifieke domeintoestand, een unieke waardencombinatie oftewel een waarheidswaardenpatroon.

Voorbeelden waarheidswaardentoekenning aan proposities.
'(..)': betekent in voorkomend geval "geordende reeks".
Bijvoorbeeld: "interpretatie", "interpretatiebereik", of "waarheidswaardepatroon".

'A' heeft als interpretatiebereik:

$

(1,0).
'A B' heeft als interpretatiebereik:

$

(1,0,1,1).
'A B C' heeft als interpretatiebereik:

$

(1,0,1,1,1,0,1,0).

Voorbeelden. De startkolommen voor n=1 atomen: {A} lopen als volgt, met (j:=1,n):
j=1: A =

$

(10).

De startkolommen voor n=2 atomen: {A,B} lopen als volgt, met (j:=1,n);
zoals je n=2 loops genest laat lopen met (j :=1,2) en met (i[j] :=1,0):
j=1: A =

$

(1100).
j=2: B =

$

(1010).

Veel gebruikte waarheidswaardepatronen van twee-plaatsige proposities in twee-plaatsige waarheidswaardetabellen.
(A B) =

$

(1000).
(A B) =

$

(1110).
(A B) =

$

(1011).

De startkolommen voor n=3 atomen: {A,B,C} lopen als volgt, met (j:=1,n);
zoals je n=3 loops genest laat lopen met (j :=1,3) en met (i[j] :=1,0):
j=1: A =

$

(1111.0000).
j=2: B =

$

(1100.1100).
j=3: C =

$

(1010.1010).

Veel gebruikte waarheidswaardepatronen van twee-plaatsige proposities in drie-plaatsige waarheidswaardetabellen.
(A B) =

$

(1100.0000).
(A C) =

$

(1010.0000).
(B C) =

$

(1000.1000).

(A B) =

$

(1111.1100).
(A C) =

$

(1111.1010).
(B C) =

$

(1110.1110).

(A B) =

$

(1100.1111).
(A C) =

$

(1010.1111).
(B C) =

$

(1011.1011).

De startkolommen voor n=4 atomen: {A,B,C,D} lopen als volgt, met (j:=1,n);
zoals je n=4 loops genest laat lopen met (j :=1,4) en met (i[j] :=1,0):
j=1: A =

$

(11111111.00000000).
j=2: B =

$

(11110000.11110000).
j=3: C =

$

(11001100.11001100).
j=4: D =

$

(10101010.10101010).

(3.2.3.3)

Logische identiteit en valuatie.


'=' : "is gelijk aan", of "bedraagt" (logische identiteit).
'x

$

= 1' : "x is waar".
Anders gesteld: 'x

$

1'.

'(p q)

$

= 0' : "(p q) is onwaar". Anders gesteld: '(p q)

$

0'.
'(m n)

$

= (x y)

$

' = '(m n) (x y)'; oftewel:
((m n)

$

= (x y)

$

) ((m n) (x y)).

Verschil rekenkundige en logische 'identiteit'.
'(x = 1)

$

= 0' : "het feit dat x identiek is met 1, is onwaar".
(Eerste '=' is logische, tweede is rekenkundige identiteit).
Anders gesteld:
'(x = 1)

$

0'.

Identiteit is soms symmetrisch: nl. met uitsluitend variabelen.
'a = b' 'b = a'.
'0 = a' : Alleen toegestaan als definitie ('0' geldt als 'a').
'a = 0' : geen wff: dubbelzinnig; kan betekenen:
'a

$

= 0' (of 'a

$

0'), of '0 = a'.

(3.2.3.4)

Logische tolerantie.


Logische tolerantie is de 'onzekerheid' die een bewering of redenering tot uitdrukking brengt.
Meer logische tolerantie betekent minder behoud van zekerheid, en meer verlies van informatieve waarde.
Staat tegenover logische kracht.

Tolerantiewaarden van connectieven per formule.
Bijvoorbeeld: in een tweewaardig (binair) systeem, met twee domeinelementen, geldt:
0.00 : falsum : {

$

0, (A ¬A),

..

}.
0.25 : conjunctie : {(A B), (A ¬B), (¬A B), (¬A ¬B),

..

}.
0.50 : balans : {A, B, ¬A, ¬B, (A B), (A

#

B),

..

}.
0.75 : disjunctie : {(A B), (A B), (¬A B), (¬A ¬B),

..

}.
1.00 : verum : {

$

1, (A ¬A), (A A), (B B),

..

}.

(3.2.3.5)

Logische kracht.


Het begrip logische kracht drukt de selectiviteit van beweringen of redeneringen uit.
Logische kracht is het selectief vermogen, de 'stelligheid' c.q. stringentie die een bewering of redenering tot uitdrukking brengt.
Meer logische kracht betekent meer behoud van zekerheid, en minder verlies van informatieve waarde.
Logische kracht - m.n. in de vorm van conjuncten - krijg je er moeilijk bij (hoogstens uit disjuncties), en raak je weer gemakkelijk kwijt.
Staat tegenover logische tolerantie.

3.3.

 

Basisprincipes voor formulebewerkingen in de Propositielogica (PPL).



Een logische operatie is een omzetting of bewerking van een logische formule - een bewering of redenering.
Ze is te beschouwen als de (verkorte, formele) weergave van een 'denkstap' in een redenering.

Redenering omvat afleiding.


Een redenering - of meer algemeen, een denkproces - kunnen we in het algemeen opvatten als een proces van informatieverwerking met twee fasen: (a) het combineren van bekende gegevens, en (b) het daaruit afleiden van andere gegevens.

3.3.1.

 

Formulebewerkingen (derivaties).



Een 'afleiding', c.q. formule-afleiding (derivatie): vormt een logische operatie die de éne verzameling van (één of meer) logische beweringen omzet in een andere verzameling van (één of meer) logische beweringen. Een afleiding vormt daarmee de kern van elke redenering.
Een geldige logische afleiding garandeert behoud van waarheid.

We kunnen in redeneringen gegevens afleiden via twee typen logische relaties: equivalentie (tweezijdig, symmetrisch) en implicatie (éénzijdig, asymmetrisch).
Daarbij is equivalentie simpelweg een combinatie van twee implicaties.

3.3.2.

 

Effecten op Logische kracht.



Een geldige logische afleiding levert behoud of vermindering van logische kracht.
Logische kracht verloopt bij degressief afleiding van hoog (strikt, streng, scherp) naar laag (tolerant, zwak, vaag).

Effect van logische afleiding op logische kracht kan zijn:
gelijk (parafrase), verlaagd (degressie), onbepaald (contingent-ongeldigheid), of verspeeld ( inconsistent-ongeldigheid, contradictie).
Hieruit volgen algemene vuistregels bij logische afleiding.
• Altijd toegestaan: mogelijkheden, dus onzekerheden toevoegen (tenzij het tegendeel blijkt).
• Nooit toegestaan: zekerheid toevoegen (tenzij het bewijs blijkt).

Praktische binaire rekenregel.


De waarheidswaardepatronen van de premisse(n) in een redenering 'tellen op' tot één samenvattend waarheidswaardepatroon, die de most general unifier, of MGU, van die premisse(n) vormt.
(In conjunctie is dit een minimum, in disjunctie is dit een maximum waarde).
• Onder parafrase (equivalentie) is de resultante voor elke bit exact 'gelijk aan' het waarheidswaardepatroon van de totale conclusie in de redenering.
Bijv.: {(A B (¬(¬A ¬B) } (

$

(1000)

$

(1000) ).
• Onder degressie (implicatie 'proper') is de resultante voor minstens één bit 'vermeerderd', en anders exact 'gelijk aan', het waarheidswaardepatroon van de totale conclusie in de redenering.
Bijv.: {(A B (

degres

) (A B) } (

$

(1000) (

degres

)

$

(1110) ).

(3.3.2.1)

Uitbreiding, divergentie:


(a)

Syntactisch [- serieel]: introductie, (syntactische) extensie.


Betreft aantal formele middelen, taalelementen.
Bijv.: 'A' 'A, X'.

(b)

Semantisch [- conjunctief]: (semantische) expansie, illogisme.


Bettreft aantal formele elementen, c.q. aantal mogelijke referenten, reikwijdte):
vermeerdering van logische kracht; versterking:
(b1)

Pseudo-parafrase.


Bijv.: {A} B.
: is

ongeldig

.
(b2)

Pseudo-degressie.


Bijv.: {A} (A B).
: is

ongeldig

.

(c)

Semantisch [- disjunctief]: betekenisdivergentie: ambiguïteit.



(3.3.2.2)

Parafrase:  Behoud van Logische kracht.


Conservatief-validiteit.
(zekerheid, garantie).
D.i. Equivalentie in engere zin, Semantische equivalentie.

Hoofdvorm van geldige parafrase inferentie.


'x y' : Synonymie van syntactische constructies.
(zie 2.1 (1d2) Referentiële identiteit).
De selectiviteit van x is altijd gelijk aan die van y.
D.w.z.: bij een logische afleiding kan geen verlies van logische kracht plaatsvinden.
'(

parafrase

)' : afleiding geldig onder equivalentie , dus met parafrase, behoud van Logische kracht.
Voor extrapolatie naar Predikatenlogica (PDL):
'(u)' : equivalentie geldig onder argument en-unificatie.

(a)

Syntactisch: structuurovereenkomst; symmetrie, isomorfie.


Herhaling: reïteratie.
Bijv.: 'A, X' 'A, X, X'.

(b)

Semantisch: betekenisovereenkomst; equivalentie, parafrase, synonymie.


Logische equivalentie.
Bijv. (PPL): {¬(A B) ≡ (¬A ¬B)}.
Bijv. (PDL): {A(x) ≡ A(y)}.

(3.3.2.3)

Degressie:  Vermindering van Logische kracht.



Hoofdvormen van geldige degressie inferentie.



(a)

Syntactisch: syntactische reductie; deletie, eliminatie, comprimatie.


Bijv.: 'A, X' 'A'.

(b)

Semantisch: semantische reductie, degressie.


D.i. Reductie in engere zin, vermindering van logische kracht; verzwakking.
Logische kracht, selectiviteit: van hoog (strikt, streng, scherp) naar laag (tolerant, zwak, vaag).
(b1)

Logische implicatie.


Richten, selecteren. Vermindering van logische kracht (verzwakking).

(b1a)

Verminderen van reikwijdte, generaliteit.


Particularisering, Concretisering:
Via conjunctief reductie.
Bijv. (PPL): {A X}   A.

(b1b)

Verminderen van zekerheid.


Diffusie (vervagen).
Via disjunctief expansie.
Toevoeging van mogelijkheden (beschikbare opties). Vermindering van logische kracht (verzwakking).
Creatief denken, leiden (afstemmen, daarna sturen).
Via disjunct introductie.
Bijv. (PPL): {A} (A X ).
Bijv. (PPL): {A B)} (A B X).
Bijv. (PPL): {A B} ((A B) X).

(b1c) Combinatie.
M.n. conjunct-disjunct connectief reductie (kwantor down-grading).
Bijv. (PPL): {A B}   (

degres

) A;  (

degres

) (A B).
O.a. Factieve naar conditionele propositie.
Bijv. (PPL): (A B)   (

degres

) B;  (

degres

) (A  (

degres

) B).


III. Regels voor formulebewerkingen in de Propositielogica



Herschrijfregels: Regels voor transformatie onder parafrase/ equivalentie.



Behoud van logische kracht.


Parafrase: vindt plaats bij een logisch geldige afleiding met behoud van logische kracht.
Afleiding, met parafrase (semantische equivalentie): met behoud van logische kracht.

Transformatie:


Afleiding naar andere syntactische structuur, zonder verlies van logische kracht.
D.w.z. 'andere vorm, maar altijd dezelfde (onverminderde) inhoud'.

4.

 

Enkelvoudige transformaties van het hoofdconnectief, onder parafrase/ equivalentie.



4.1.

 

Enkelvoudige transformaties van het hoofdconnectief - Tabel.



(4.1a)

Omzettings-tabel voor conjunctie, disjunctie en implicatie.



Tabel 1.

x

&

v

>

<

A B

  

..

   ¬(¬A ¬B)   ¬(A ¬B)   ¬(B ¬A)

A B

   ¬(¬A ¬B)  

..

   (¬A B)   (¬B A)

A B

  ¬(A ¬B)  (¬A B)  (¬B ¬A)  (B A)

A B

  ¬(¬A B)  (A ¬B)  (B A)  (¬B ¬A)

4.2.

 

Enkelvoudige transformaties van het hoofdconnectief - per Type connectief.



Regels voor omzetting van het hoofdconnectief.

4.2.1.

 

Basiswaarden (valenties).



(a)

Waarheid, geldigheid.


Altijd ware bewering (tautologie; validiteit).
{

$

(1111)}  ((A ¬A) : Tertium non datur, Law of excluded middle.
   ((A ¬A) (B ¬B)).
(b)

Onwaarheid, contradictie.


Nimmer ware bewering (falsum, contradictio)
{

$

(0000)}  ((A ¬A) : Law of noncontradiction.
   ((A ¬A) (B ¬B)).

4.2.2.

 

Enkelvoudige formules (atomen ).



(a)

Enkelvoudige formule; A Onafhankelijk van B.


(a1)
{

$

(1100)}   A;   ¬(¬A ).
(a2)
{

$

(0011)}   ¬A;   ¬( A ).
(b)

Enkelvoudige formule; B Onafhankelijk van A.


(b1)
{

$

(1010)}   B;   ¬(¬B ).
(b2)
{

$

(0101)}   ¬B;   ¬( B ).

4.2.3.

 

Conjuncties.



(Zgn. 'Alpha' formules).
(a)

(Eenvoudige) Conjunctie.


{

$

(1000)}   ( A B);
  ¬(¬A ¬B);   ¬( A ¬B);   ¬( B ¬A);   ¬( A | B);   ¬(¬A \ ¬B).
(b)
{

$

(0100)}   ( A ¬B);
  ¬(¬A B);   ¬( A B);   ¬(¬B ¬A);   ¬( A | ¬B);   (¬A \ B).
(c)
{

$

(0010)}   (¬A B);
  ¬( A ¬B);   ¬(¬A ¬B);   ¬( B A);   ¬(¬A | B);   ( A \ ¬B).
(d)

Gelijktijdige afwezigheid (parallelle negatie), 'NOR'.


{

$

(0001)}   (¬A ¬B);
  ¬( A B);   ¬(¬A B);   ¬(¬B A);   ¬(¬A | ¬B);   ( A \ B);
  (A NOR B).

4.2.4.

 

(Inclusieve) Disjuncties , c.q. implicaties.



(Zgn. 'Bèta' formules).
(a)

(Eenvoudige) Disjunctie (alternatie).


{

$

(1110)}   ( A B);
  ¬(¬A ¬B);   (¬A B);   (¬B A);   (¬A | ¬B);   ¬( A \ B).
(b)
{

$

(1101)}   ( A ¬B);
  ¬(¬A B);   (¬A ¬B);   (B A);   (¬A | B);   ¬( A \ ¬B).
(c)

(Materiële) Implicatie.


Rule of inference. Productieregel.
{

$

(1011)}   (¬A B);
  ¬( A ¬B);   ( A B);   (¬B ¬A);   ( A | ¬B);   ¬(¬A \ B).
(d)

Uitgesloten samenvoeging (incompatibiliteit, Exclusie), NAND.


{

$

(0111)}   (¬A ¬B);
  ¬( A B);   ( A ¬B);   (B ¬A);   ( A | B);   ¬(¬A \ ¬B);
  (A NAND B).

4.2.5.

 

Equivalentie.


(Materiële) Equivalentie.
Parafrase, synonimie. 'Alle termen zijn tegelijk waar, of alle termen zijn tegelijk onwaar'.
(a)

Tweeplaatsig:


{

$

(1001)}
  ( A B);   (¬A ¬B);   ¬( A ¬B);   ¬(¬A B);
  ¬( A

#

B);   ¬(¬A

#

¬B);   ( A

#

¬B);   (¬A

#

B);
 ( ( A B) ( B A) );  ( (¬A ¬B) (¬B ¬A) );  ( ( A B) (¬A ¬B) );
 ( (¬A B) (¬B A) );  ( ( A ¬B) ( B ¬A) );  ( (¬A B) ( A ¬B) );
 (¬( A ¬B) ¬( B ¬A) );  (¬(¬A B) ¬(¬B A) );  (¬( A ¬B) ¬(¬A B) );
 ¬( ( A ¬B) ( B ¬A) );  ¬( (¬A B) (¬B A) );  ¬( ( A ¬B) (¬A B) );
 ( ( A B)   (¬A ¬B) );
 ¬(¬( A B)   ¬(¬A ¬B) );
 ¬( (¬A ¬B)   ( A B) );
 ¬( ( A B)   (¬A ¬B) );
(b)

Meerplaatsig:


{

$

(1000.0001)}
 ( A B C);
 ¬( A

#

B

#

C);
 (¬A ¬B ¬C);
 ¬(¬A

#

¬B

#

¬C);
 ( ( A B) ( B C) ( C A) );
 ( (¬A B) (¬B C) (¬C A) );
 ( ( A B C)  (¬A ¬B ¬C) );
 ¬(¬( A B C)  ¬(¬A ¬B ¬C) );
 ¬( (¬A ¬B ¬C)  ( A B C) );
 ¬( ( A B C)  (¬A ¬B ¬C) );

4.2.6.

 

Exclusief-disjunctie.


Antivalentie.
'Geen van de termen zijn tegelijk waar, en geen van de termen zijn tegelijk onwaar'.
(a)

Tweeplaatsig:


{

$

(0110)}
  ( A

#

B);   (¬A

#

¬B);   ¬( A

#

¬B);   ¬(¬A

#

B);
  ¬( A B);   ¬(¬A ¬B);   ( A ¬B);   (¬A B);
 ( ( A ¬B) (¬B A) );  ( (¬A B) ( B ¬A) );  ( ( A ¬B) (¬A B) );
 ( (¬A ¬B) ( B A) );  ( ( A B) (¬B ¬A) );  ( (¬A ¬B) ( A B) );
 (¬( A B) ¬(¬B ¬A) );  (¬(¬A ¬B) ¬( B A) );  (¬( A B) ¬(¬A ¬B) );
 ¬( ( A B) (¬B ¬A) );  ¬( (¬A ¬B) ( B A) );  ¬( ( A B) (¬A ¬B) );
 ¬( ( A B)   (¬A ¬B) );
 (¬( A B)   ¬(¬A ¬B) );
 ( (¬A ¬B)   ( A B) );
 ( ( A B)   (¬A ¬B) );
(b)

Meerplaatsig:


{

$

(0111.1110)}
 ( A

#

B

#

C);
 ¬( A B C);
 (¬A

#

¬B

#

¬C);
 ¬(¬A ¬B ¬C);
 ¬( ( A B) ( B C) ( C A) );
 ( ( A ¬B) ( B ¬C) ( C ¬A) );
 ¬( ( A B C)  (¬A ¬B ¬C) );
 (¬( A B C)  ¬(¬A ¬B ¬C) );
 ( (¬A ¬B ¬C)  ( A B C) );
 ( ( A B C)  (¬A ¬B ¬C) );

Echter:


{

$

(0000.0000)}
 ( ( A

#

B)   ( B

#

C)   ( C

#

A) );

4.3.

 

Semantische volledigheid van connectieven.


De gehele (semantische) verzameling van logische relaties in

PPL

kan intensioneel c.q. axiomatisch worden gedefinieerd met een beperkte selectie uit de (syntactische) verzameling van connectieven.

We kennen een aantal voorbeelden van minimale complete verzamelingen van axioma's gesteld in implicatie.

(4.3.1)

Semantische volledigheid van implicatie.


Met de onderstaande drie regels wordt de hele semantiek van de PPL gedefinieerd.
Deze worden hier vermeld ter kennisneming, en om mee te oefenen.
Deze axiomatisering wordt zelden gebruikt in de praktijk.
Per stelling wordt een toepassing gegeven van de bewijsmethode van Convergente parafrase reductie, die erg handig is in de praktijk om logische geldigheid te toetsen.
(1) {A (B A)}:
 ( ¬A (¬B A) );
 ( (

$

1) ¬B );
 (

$

1).
(2) {(A (B C)) ((A B) (A C))}:
 ( ¬(¬A (¬B C)) (¬(¬A B) (¬A C)) );
 ( ¬(¬A ¬B C) ((A ¬B) ¬A C) );
 ( (A B ¬C) (A ¬B) ¬A C );
 ( (B) (¬B) ¬A C );
 ( (

$

1) ¬A C );
 (

$

1).
(3) {(A B) ((¬B A) B)}:
 ( (¬A B) ((B A) B) );
 ( ¬(¬A B) (¬(B A) B) );
 ( (A ¬B) ((¬A ¬B) B) );
 ( (A (¬A ¬B) B) (¬B (¬A ¬B) B) );
 ( (A ¬B B) (¬B B) );
 ( (A

$

1) (

$

1) );
 ( (

$

1)

$

1 );
 (

$

1).

(4.3.2)

Semantische volledigheid van negatie, van conjunctie, van disjunctie.


Stel de welgevormde formules van

PPL

zijn WFF* = {F, G,

..

}.
(a)

Axiomatisering met drie connectieven


Voor elke F bestaat er een G zodat F semantisch equivalent is aan F,
terwijl G uitsluitend gebruikt maakt van connectieven {¬, , }.
(In dat geval staat G in disjunctief normaal vorm (

DNF

) en/of conjunctief normaal vorm (

CNF

); voor

DNF

,

DNF

conversies zie deel VI, H.9).
M.a.w.: de verzameling {¬, , } is semantisch volledig.

(b)

Axiomatisering met twee connectieven


Ook geldt: de verzameling {¬, } is semantisch volledig.

(c)

Axiomatisering met NAND.


Wanneer negatie en conjunctie worden gecombineerd tot de NAND operator '|' (Sheffer stroke) dan volgt:
De verzameling {|} is semantisch volledig.
{F}  ((F | F) | (F | F )).
{¬F}  (F | F).
{F G}   ¬(F | G)   ((F | G) | (F | G)).
{F G}   (¬F | ¬G)   ((F | F) | (G | G)).
{F G}   (F | ¬G)   (F | (F | G)).
{F G}  ((F | ¬G) (G | ¬F))  ( ((F | (F | G)) | (G | (G | F))) | ((F | (F | G)) | (G | (G | F))) ).


IV. Wetten voor logische Normaal Vorm conversies [I].



Syntactische standaardisatie.


Een logische 'normaal vorm', of 'canonische vorm', is een gestandaardiseerd schema voor de schrijfwijze (syntax) van logische formules.

5.

 

Parafrase via Syntactische verandering: binding (Associatief).


Bindingverandering c.q. Nestingverandering (Associatief).

Syntactische verandering zonder (syntactische) termreductie;
zonder (semantische) verandering van hoofdconnectief, en zonder (semantisch) verlies van logische kracht.
Bijv. t.b.v. standaardisatie, via (maximale) reductie van syntactische complexiteit door middel van Nesting vereenvoudiging.

5.1. Syntactische bindingskracht van connectieven.


De connectieven binden - althans volgens gebruik - van sterk naar zwak in de volgorde:
{ ¬, , , , ,  , }.

Als het hoofdconnectief-type van een formule geldt alléén het connectief met de minste bindingskracht.
Bijv.: '¬A B C D E

#

F' :
mag herschreven en/of geïnterpreteerd worden in geneste structuur als:
'(((((¬A) B) C ) D )   E )

#

F).'
Bijv.: 'A

#

B C D E ¬F' :
mag worden herschreven en/of geïnterpreteerd als:
'A

#

(B (C (D (E (¬F)))))'.

De bindingsregels hebben dus geen inherente logische geldingskracht, maar louter een conventionele gebruikswaarde.
Ze hebben als nadeel dat cruciale syntactische structuurkenmerken impliciet blijven, waardoor steeds extra herleiding (aandacht, inspanning) nodig is om de eigenlijke syntactische structuur te achterhalen, wat weinig doelmatig is en ook de kans op fouten verhoogt.
Het is daarom functioneel om als regel alle nestingrelaties expliciet te maken.
Voor zo'n strikt eenduidige vorm van wff kunnen we een afzonderlijke notatie invoeren:
'wff+' : welgevormde formule, strikt eenduidig.
Dat wil zeggen, per (sub)formule is er één soort of type hoofdconnectief.
Bijv.: 'A Q' : wff+.
Bijv.: 'A Q x' : wff+.
Bijv.: 'A Q x' : wff, niet wff+; betekent impliciet 'A (Q x)'.
Bijv.: 'A (Q x)' : wff, èn wff+.

5.2. Symmetrie en associatie.


{ , ,   , } : zijn symmetrisch en daardoor Associatief.

5.3. Nestingverandering per hoofdconnectief.


(5.3.1) 

In Conjunctie.


Bijv.: {A B C}   ((A B) C).
Bijv.: {A B C}   (A (B C)).
Bijv.: {(A B) C}   (A (B C)).
Bijv.: {A (B C)}   ((A B) C).
(5.3.2) 

In Disjunctie.


Bijv.: {A B C}   ((A B) C).
Bijv.: {A B C}   (A (B C)).
Bijv.: {(A B) C}   (A (B C)).
Bijv.: {A (B C)}   ((A B) C).
(5.3.3) 

In Implicatie.


Symmetrie geldt niet voor implicatie { } en zijn inverse variant { }.
Bijv.: 'A Q' : wff.
Bijv.: 'A Q x' : wff, niet wff+.
Bijv.: '(A Q) x' : wff+.
Bijv.: 'A (Q x)' : wff+.

Keten/ ketting-redenering, met geldige parafrase.


Bijv.: {A B C}   ((A B) C).
D.w.z.: 'A B C'
mag herschreven en/of geïnterpreteerd worden als: '(A B) C';
maar niet als: 'A (B C)'.

Keten/ ketting-redenering, met alleen geldige degressie.


Bijv.: {(A B) C} (

degres

) (A (B C)). (Géén equivalentie!).
(5.3.4) 

In Equivalentie.


Bijv.: {A B C}   ((A B)   C) : is

ongeldig

.
Bijv.: {A B C}   (A (B C)) : is

ongeldig

.
(5.3.5) 

In Exclusief Disjunctie.


Bijv.: 'A

#

B

#

C'

..

: is niet toegestaan ( syntactisch onwelgevormd; want semantisch onmogelijk in bivalent systeem).
Bijv.: '{A

#

B

#

C}  ((A

#

B)

#

C)' : is dus niet van toepassing.
Bijv.: '{A

#

B

#

C}  (A

#

(B

#

C))' : is dus evenmin van toepassing.
(5.3.6) 

In Exclusie.


Bijv.: {A | B | C}   ((A | B) | C).
Bijv.: {A | B | C}   (A | (B | C)).
Bijv.: {(A | B) | C}   (A | (B | C)).
Bijv.: {A | (B | C)}   ((A | B) | C).
(5.3.7) 

In Parallelle Negatie.


Bijv.: {A \ B \ C}   ((A \ B) \ C).
Bijv.: {A \ B \ C}   (A \ (B \ C)).
Bijv.: {(A \ B) \ C}   (A \ (B \ C)).
Bijv.: {A \ (B \ C)}   ((A \ B) \ C).

6.

 

Parafrase via Syntactische verandering: volgorde (Commutatief).


Volgorde-verandering, Commutatie.
Bijv. t.b.v. standaardisatie, via herordening volgens informele (conventioneel gangbare) alfanumerieke volgrode.
(Alfanumeriek is een verzamelnaam voor de letters van het alfabet en de cijfers 0 tot en met 9. Er zijn dus 36 alfanumerieke tekens, of 62 wanneer onderscheid wordt gemaakt tussen hoofd- en kleine letters).
(6.1) 

In Conjunctie.


Bijv.: {A B}   (B A).
(6.2) 

In Disjunctie.


Bijv.: {A B}  (B A).
(6.3) 

In Implicatie.


Bijv.: {A B}  (B A) : is

ongeldig

.
Wel geldig zijn:
(6.3a) 

Transformatie naar Inverse implicatie.


Connectief verandering.
Bijv.: {A B}  (B A).
(6.3b) 

Wet van de Contrapositie.


C.q. Transpositie regel.
Bijv.: {A X}  [ (¬A X);   (X ¬A);]   (¬X ¬A).
(6.3c) 

Keten/ ketting-redenering, met geldige parafrase.


Het aaneenschakelen van redeneringen.
O.a. t.b.v. Bewijs via 'kettingredenering' of 'ketenredenering' (sorites), c.q. 'sluitredenering' (syllogisme ).
(6.3c.1) 

Wet van Import.


Van geneste premisse naar geneste conjunctie.
Oftewel Deductiestelling (Deduction theorem).
Bijv.: {(A (B C ) };
 [(¬A (¬B C ) );  (¬A ¬B C );  ((¬A ¬B) C );  (¬(A B) C );]
 ((A B) C ).
Dus ook: {A (B C)}   ((B A) C).

Idem, algemener:
Bijv.: {A[i] (A[2] ( .. (A [n] C) .. )) }
 (A[1] (A[2] ((A[3], .. A[n]) C)) );
 (A[1] ((A[2], .. A [n]) C) );
 ((A[1], .. A[n]) C ).
Idem, compacter:
Bijv.: {(i (1..n))} {A[i] ((A[1], .. A[i-1], A[i+1], .. A[n]) C ) ) }  ((A[1], .. A[n] ) C).
Idem, voor verzamelingen:
Bijv.: {K* = {A[1], .. A[n]}   (K* (B C));  ({K* B} C).
(6.3c.2) 

Wet van Export.


Van conjuncte premisse naar geneste enkevoudige premisse.
Inverse van Deductiestelling.
Idem, algemener:
Bijv.: {(A[1],

..

A[n]) C}
   (A[1] ((A[2],

..

A[n]) C)   );
   (A[1] (A[2] ((A[3],

..

A[n]) C))   );
   

..


   (A[i] (A[2] (

..

(A[n] C)

..

))   ).
Idem, compacter:
Bijv.: {((A[1],

..

A[n]) C) (i IN (1..n))}  (A[i] ((A[1],

..

A[i-1], A[i+1],

..

A[n]) C))).
Idem, voor verzamelingen:
Bijv.: {K* = {A[1], .. A[n]}   {(K* B) C}  (K* (B C)).

Currying in Lambda-calculus.


Een - 'Lambda-anonieme' - functie met meerdere argumenten c.q. premissen wordt omgezet in een keten van functies met enkelvoudige input die elkaar geconditioneerd c.q. genest aanroepen:
Bijv. {(a,b) (x *y)} wordt: {a (b (x *y))}.

Idem, algemener:
Bijv.: {(a[1],

..

a[n]) C}
   (a[1] (a[2] (

..

(a[n] C)

..

))   ).
Daarvan afgeleid:

Wet van de Commutativiteit.


Bijv.: {A (B C)}
 [(¬A (¬B C));  (¬A ¬B C);  (¬B ¬A C);  (¬B (¬A C));]
 (B (A C)).
(6.4) 

In Equivalentie.


Bijv.: {A B}  (B A).
(6.5) 

In Exclusief Disjunctie.


Bijv.: {A

#

B}  (B

#

A).
(6.6) 

In Exclusie.


Bijv.: {A | B}   (B | A).
(6.7) 

In Parallelle Negatie.


Bijv.: {A \ B}   (B \ A).

C.P. van der Velde © 2004, 2015, 2018.