Methode 'Praktische Logica':

   

Inleiding

Predikatenlogica



Het kader van de predikatenlogica



De predikatenlogica (PDL) is een vorm van formele logica, een uitbreiding van de propositielogica (PPL).
Grondlegger van de predikaten calculus was Gottlob Frege (1848-1925), zie diens Grundgesetze der Arithmetik I en II (1893, 1903). Terwijl de PPL beperkt is tot relaties tussen elementaire beweringen c.q. proposities, heeft het systeem van de PDL het voordeel dat geredeneerd kan worden binnen elementaire beweringen, en wel over eigenschappen en relaties van dingen in een bepaalde verzameling, een domein. Daarbij maakt de PDL verdere nuanceringen mogelijk door kwantifikatie van eigenschappen over dingen. Zo kunnen we uitdrukken in welke mate een eigenschap van toepassing is (op zijn minst) op objecten in een domein of sub-domein.

Door deze eigenschappen biedt de PDL veel meer mogelijkheden dan de PPL om logische verbanden uit te drukken - zowel die in natuurlijke taal, als in wiskunde en andere wetenschapsgebieden.
{Met de kanttekening dat in de 'eerste orde' versie (PDL-I) geen stellingen over meta-eigenschappen (eigenschappen van eigenschappen) zijn toegelaten.}


Inhoud



Hieronder volgt een zeer beknopte inhoudsopgave van de overige onderdelen van deze cursusmodule.
De volledige weergave wordt aangeboden in de bijbehorende syllabus.
Voor bestellingen of meer informatie: Contact.

Inhoud

(hoofdpunten):



De Predikatenlogica (PDL): Formeel logisch systeem.




1. Basisgedachten voor Predikatenlogica.



(•) Gebruikte notaties.
(•) Het begrip predikatie
(•) Codes voor predikatie
(•) Bouwstenen voor formules
1. Proposities en connectieven.
(a) Atomen.
(b) Connectieven.
2. Predikaten en termen.
(a) Predikaten.
(b) Termen.
3. Opbouw van predikaties.
4. De formule in PDL-I.
(•) Codes voor kwantificering
(1) Universele kwantor.
(2) Existentiële kwantor.
(•) (Tabel) Symbolen in predikatenlogica: kwantoren.


2. Syntax voor Predikatenlogica.



I.1. Het alfabet van PDL.


Alfabet, primitieven (vocabulaire, lexicon, idioom):
de verzameling symbolen; van PDL.

(1) Verzameling logische symbolen van PDL.


(1a) Waarheidswaardeconstanten.
  bereik (range) van waarheidswaarden.
(1b) Waarheidswaarde-aanduiding.
(1c) Logische connectieven of operatoren.
(1d) Referentiële identiteit, numerieke identiteit, synonymie van expressies.
(1e) Syntactische hulpsymbolen.
(1f) Logische kwantoren (kwantifiers).
(1g) Variabelenamen, voor willekeurige eenheden (objecten) uit het domein.

2. Verzameling niet-logische symbolen van PDL.


(2a) Objectnamen of constanten, voor unieke eenheden (objecten) uit het domein.
(2b) Functienamen, voor selecties of bewerkingen van eenheden (objecten) uit het domein.
(2c) Predikaatnamen, voor eigenschappen van eenheden (objecten) uit het domein.

I.2. Formatieregels voor PDL.


I.2a. Formatieregels voor termen (in PDL).
I.2b. Formatieregels voor formules (in PDL).
I.2c. Formatieregels voor expressies (in PDL).

I.3. Kwantoren als connectieven.



I.4. Syntactische associatieregels in PDL.



I.5. Het bereik (de scope) van kwantoren in formules.



I.6. Vuistregels voor efficiënte formuleringen in PDL.




3. Semantiek voor Predikatenlogica.


Logische wetten in de predikatenlogica (PPL):
axioma's, tautologieën, altijd geldige theorema's.
Aanvullingen op de PPL.
(•) Interpretatie
(·) Interpretatiedomein
(·) Schrijfwijzen voor waarheidswaarden.

Axioma's voor kwantoren:


(•) (Tabel) Waarheidswaarden-tabel in PDL - voor kwantoren.

Predikatenlogica en de opbouw van kennis



Relatie tussen syntax en betekenis van formules in de predikatenlogica.


(·) Inhoudsvrije taal
(·) Minimaal domein
(·) Interpretatie
(·) Waarheidsvervulling
(·) Onafhankelijk van specifiek domein
(·) Consequenties van Löwenheim-Skolem theorema

Vertalingen van beweringen naar formules in de predikatenlogica (PDL-I).


(·) Zinnen met Universele kwantor.
(·) Zinnen met Existentiële kwantor

Logische kracht (in PDL).


(·) Behoud of reductie van Logische kracht.

Meerplaatsige predikaten.


(•) Combinaties van Existentiële en Universele kwantor
(·) Reflexiviteit van relaties.
(·) Symmetriciteit van relaties.
(·) Transitiviteit van relaties.
(·) Lineariteit van relaties.
(•) Voorbeelden van vertalingen
(•) Identiteit en Uniciteit
(·) Identiteit.
(·) Uniciteit.
(·) Bepaald lidwoord.
(•) Problemen in vertaling.

Afsluiting (closure) van wff formules.




4. Semantische regels voor bewerkingen van formules, in PDL.


Uitbreidingen van PPL.

Speciale notaties.


(·) Variabelen-hernoeming.
(·) Argumenten-unificatie:

Wetten/ regels voor redeneren in de Predikatenlogica (PDL)



I. Regels voor Negatief Normaal Conversie (in PDL-I).


Omzetting naar Negatief Normaal Vorm (NNF), door Negatie-binnenplaatsing.
(1.1) Negatie binnenplaatsing met kwantor-omslag.
Regels voor Negatie-binnenplaatsing.
Met kwantor-omslag en -vóórplaatsing (zonder connectief-transformatie):

II. Regels voor Prenex Normaal Conversie (in PDL-I).


Omzetting naar Prenex Normaal Vorm (PNF), via Kwantor-bereik extensie: door Kwantor-voorplaatsing.
(2.1) Kwantor-voorplaatsing, in Conjunctie (zonder kwantor-verandering).
(2.2) Kwantor-voorplaatsing, in Disjunctie (zonder kwantor-verandering).
(2.3) Kwantor-voorplaatsing, In Implicatie (zonder kwantor-verandering).
Vanaf conclusie(s).
(2.4) Kwantor-voorplaatsing, In Implicatie (mèt kwantor-omslag).
Vanaf premisse(n).

III. Regels voor Skolemisatie (in PDL-I).


Omzetting naar Skolem Normaal Vorm (SkNF), T.b.v. eliminatie van existentiële kwantor.
(3.1) Basisregel voor eliminatie van existentiële kwantor, ' elim.'.
(3.1a) Er is/zijn uitsluitend existentiële kwantor(en) per predikaat.
(3.1b) Er is een combinatie van verschillende kwantoren per predikaat.
(3.1b1) Kwantor-volgorde ' ': Afhankelijkheid.
(3.1b1a) Enkelvoudige afhankelijkheid.
(3.1b1b) Meervoudige afhankelijkheid.
(3.1b1c) Meerdere afhankelijken.
(3.1b2) Kwantor volgorde ' ': Onafhankelijkheid.

IV. Regels voor universele kwantor eliminatie (in PDL-I).


Eliminatie van universele kwantoren (' elim.');
via Universele Instantiatie (UI).

V. Regels voor comprimatie van conjuncties (in PDL-I).


(5.1) Via clause implication:
Clause implication (vorm van clause redundancy) (zie: A. Leitsch, 1997, pp.199-210).

VI. Regels voor comprimatie van disjuncties (in PDL-I).


Factoriseren (factoring) (in PDL-I).
Levert een factor.
Bij 'Lokale redundantie', binnen complexe disjunctie.
(6.1) Wegens 'Lokale equivalentie' (onder unificatie).
Via permutatie; factorisatie.
(6.2) Wegens 'Lokale implicatie'.
Condensatie van clauses.
'Condensing principle' (zie: A. Leitsch, 1997, 1997, pp.95-96).
Zie ook PPL wetten (7.1b2).
(6.2a) Met tweeplaatsige disjunctie.
(6.2b) Met drieplaatsige disjunctie.
Ad (6.2b):

General Factoring.


(6.2b1) General Positive Factoring.
(6.2b2) General Negative Factoring.

VII. Eliminatie van disjuncties, wegens 'Transferente implicatie' (in PDL-I).


(7.1) Via clause implication.
Zie ook PPL wetten (7.2c).
(7.2) Echter, ongeldig:
(7.3) Wel (via instantiatie).

VIII. Eliminatie van disjuncties, wegens (globale) 'redundantie' (in PDL-I)

.
Zie ook PPL wetten (7.2d).
(8.1) Wegens 'Complexe implicatie'.

IX. Contractie van disjuncties, wegens 'Parallelle implicatie' (in PDL-I)


Dus doublure(s), parallelle redundantie, 'redundancy'.
Zie ook PPL wetten (7.4b).
(9.1) Met (simpele) disjunct-instantiatie
(9.2) Instantiatie van complexe disjuncties.
Clause-instantiatie: Subsumptie; Niet-evenwichtige clause-instantiatie.

X. 'Basale contradictie' (unit conflict).



XI. Wetten/regels voor verandering van variabelen.


Via substitutie-operaties.
(11.1) Variabelen-herbenoeming (Renaming).
(11.1a) Renaming; met behoud van structuur:permutatie).
Behoud van argument-volgorde en differentiatie-patroon (isomorfie, bijectie.
Levert een variant.
(11.1b) Renaming; met plaatswisseling.
(11.1c) Renaming; met variabelen differentiatie.
Illegitiem: onevenwichtige argument differentiatie.
(c.q. inverse instantiatie).
(11.1d) Renaming; Met variabelen unificatie.
(11.2) Interpretatie van variabelen (Instantiatie).
Vormen van instantiatie:
(11.2a) Een (gedeeltelijke) grond instantiatie.
Sommige nieuwe argumenten bevatten geen variabele(n) meer.
Met insertie van constanten.
(d.i. grondinstantiatie).
Legitiem, maar voorwaardelijk.
Illegitiem: instantiatie met conflict in argument prefix.
Illegitiem: instantiatie met argument-upgrading.
Illegitiem: instantiatie met onevenwichtige argument differentiatie.
(11.2b) Een algemene (gedeeltelijke) instantiatie.
Sommige nieuwe argumenten bevatten nog variabele(n).
Met functie insertie.
Illegitiem: instantiatie met conflict in argument prefix.
Illegitiem: instantiatie met argument-upgrading.
Illegitiem: instantiatie met onevenwichtige argument differentiatie.
(11.2c) Instantiatie via Subsumptie.
Via Indirecte Instantiatie: Inverse Skolemisatie.
(11.2d) Instantiatie Met redundante-disjunct eliminatie.
Via condensatie.
Idem, via instantiatie.
Illegitieme condensatie.
(11.2e) Via Zelfresolutie.
(11.2f) Via Lifting en zelfresolutie.

XII. Wetten/regels voor unificatie van argumenten en predikaties.


Unificatie
Unificatie bestaat uit permutatie en/of instantiatie.
1. Via Variabelen-herbenoeming: permutatie (P).
2. Via Domeininterpretatie: instantiatie (I).
Most General Unifier (MGU).
MGU instantiatie.
(12.1) Unificatie van literalen c.q. unit-clauses.
(12.1a) Legitieme vormen.
(1) Direct.
(2) Met Subsumptie.
(12.1b) Illegitieme vormen.
(1) Prefix-conflict.
Een conflict of 'botsing' tussen argument-voorloop-tekens (prefixen) op dezelfde argument-plaats.
Niet-unificeerbaar.
(2) Illegitiem: Circulaire substitutie.
(12.2)

Unificatie van (non-unit) disjunctie(s).


(12.2a) Legitieme vormen.
(12.2b) Illegitieme vormen.
(1) Prefix-conflict.
(2) Illegitiem: Circulaire substitutie.