Course / training:

Method for Logical Analysis


Combinatorische explosie in Logische systemen



Syntactische expansie.




4.

 

Syntactische variatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.



(4.1)

Structuurvariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


We bekijken eerst de verzameling met het maximale aantal unieke geneste structuren die alleen minstens -tweeplaatsige clusters hebben, in hun 'minimale' grondvorm (anders genoemd Schrder trees). Zoals gezegd komen hierin geen enkelvoudige nesten c.q. negaties voor en is onderscheid of volgorde van basiselementen en connectieven irrelevant.

tm*

(n1): de verzameling van alle unieke 'minimale ' varianten van meerplaatsig geneste structuren met elk n1 basiselementen.

Voorbeeld.


Bijv. Stel n1

=

3;

tm*

(n1)

=

{ '(xxx)', '(x(xx))', '((xx)x)' }.
Maximaal aantal is 3.
Bijv. Stel n1

=

4;

tm*

(n1)

=

{ '(xxxx)' '(x(xxx))', '((xxx)x)', '(xx(xx))', '(x(xx)x)', '((xx)xx)', '((xx)(xx))', '(x(x(xx)))', '(x((xx)x))', '((x(xx))x)', '(((xx)x)x)', }.
Maximaal aantal is 11.

Omvang.


tm(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tm *

(n1).
De waarden tm(n1) komen goeddeels overeen - afgezien van de 0-waarde - met die van ' Schrder's second problem' (generalized parentheses); ook genoemd super-Catalan getallen or kleine Schrder getallen. Zie de reeks A001003 in de the on-line encyclopedia of integer sequences (OEIS).
De expliciete formule luidt (zie Sloane, N.J.A., 2003, p.2):
{ tm(0)

:=

0; tm(1)

:=

1; n1
((n1

>

1 ) (tm(n1)

:=

(1/n1)

*

(k1 =0,

..

( n1-2))
( ((2*n1 -k1 -2) boven (n1 -1) )

*

((n1 -2) boven k1 ) ) )k1 ) );
((n1

>

0 ) (t m(n1)

:=

A001003(n1 -1 )

|

(offset 0 ) ) ) )n1 }.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tm(n1)

=

{ 0, 1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049,
518859, 2646723, 13648869, 71039373, 372693519, 1968801519 }.

(4.2)

Valentievariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


Vervolgens kunnen we de 'kale' boomstructuren uit de vorige paragraaf verder invullen. Allereerst met variantie in valentie per element: oftewel, wel of niet voorplaatsing van negatie. Omdat we doublures zoals gezegd willen vermijden, gaat het dan om enkelvoudige negaties.
In de syntactische vorm van een logische relatie c.q. redenering levert elk atomair element, maar ook elk samengesteld element, een plaats waar al dan niet een negatie kan worden toegevoegd. Het aantal plaatsen bepaalt het aantal verdelingen - de mogelijke variatie - van negaties in de formule resp. redeneervorm.

Omvang.


wv,k : Het totale aantal mogelijke unieke valentievariaties (of negatievariaties) over k posities.
Het getal wv,k komt overeen met het aantal herhalingsvariaties, oftewel, volgorde variaties met teruglegging c.q. herhaling, met omvang (lengte, aantal posities) k uit een verzameling van v elementen (in dit geval valenties).
(Berekening analoog aan die van b, Het totale aantal mogelijke unieke domeintoestanden).
{ v, k

|

(wv,k

:=

(k1 := 1,

..

k )
v k1;

:=

(aantal waarden)**(aantal plaatsen);

:=

v **k ) k, v }.

Geen semantische toevoeging in

tm*

(n1) bij basisverzameling

U

·(v,d).


Bij deze extra variatie moet wel een belangrijke kanttekening worden geplaatst.
In hun meest basale vorm bestaan de eindelementen in een boomstructuur van een redeneervorm in de propositielogica uit enkelvoudige, c.q. atomaire formules die verwijzen naar objecten d uit een domein

D

·d. In dat geval vormt het toevoegen van valentievariatie aan de syntactische varianten in de verzamelingen

tm*

(n1) (d.i. het uitbreiden met negatieve literalen) uiteraard een aanmerkelijke semantische verrijking.
We bekijken de verzamelingen

tm*

(n1) hier echter in de context van de gehele verzameling

U

·(v,d). Ter herinnering: elke verzameling

tm*

(n1) bevat syntactische varianten van n subset

U

·(v,d)[k1] met lengte l[ k1], waarbij de n1

:=

l[k1] eindelementen logische relaties weergeven uit

T

·(v,d). Daarbij zijn er twee eigenschappen om rekening mee te houden:
(a)

Elke logische relatie heeft binnen

T

·(v,d) al haar complement .


In de verzameling

T

·(v,d) bestaat voor elk element, d.i. een logische relatie

T

·(v,d)[t1], precies n logisch- semantisch complementair element.
Het toevoegen van negaties leidt dus voor elk voorkomen van n van de d (positieve) atomaire elementen uit T ·(v,d)[i1] in een deelverzameling

U

·(v ,d)[k1] tot een (syntactische) doublure n een dubbele negatie van zijn complement , d.i. negatieve versie. Voor elk voorkomen van n van de (t·(v,d) -v - v

*

d ) samengestelde elementen uit

T

·(v,d) in zo'n deelverzameling leidt het toevoegen van negaties tot een parafrase, d.i. synonieme versie van zijn complement.
(b)

Elke deelverzameling heeft binnen

U

·(v,d) al haar complement.


Op dezelfde manier bestaat in de verzameling

U

·(v,d) voor elke subset

U

·(v,d)[k1] ook n logisch-semantisch complementaire subset.
Omdat met de subsets van

U

·(v,d) al alle mogelijke combinaties van elementen uit

T

·(v,d) zijn ondervangen, leidt het toevoegen van negaties slechts tot een explosie van doublures.
Deze eigenschappen wijzen erop dat het toevoegen van negaties c.q. enkelvoudige nesten aan de bovengenoemde verzamelingen semantisch hoe dan ook niets verandert aan deze verzamelingen. Het is alleen een uitbreiding van de syntactische variatie - die weliswaar een flinke hoeveelheid semantische doublures (synoniemen, parafrases) toevoegt.
Omdat we hier ook de meest eenvoudige redeneervormen willen 'afdekken' worden de negatievarianten hier niettemin voor de volledigheid vermeld.

Valentievariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


In het algemeen kan valentievariatie in redeneervormen worden toegepast op basiselementen, op nesten, of op beide.

(4.2.1)

Valentievariatie bij basiselementen.


Deze varianten zijn op een heel eenvoudige manier afleidbaar uit de voorgaande verzamelingen.
We zagen dat elke subset

U

·(v,d)[k1] van

U

·(v,d) een lengte (omvang) van l[k1] elementen (of proposities) heeft. Deze komt overeen met het aantal eindelementen n1

:=

l[k1] in de boomstructuur van elke logische redeneervorm in

tm*

( n1). Dit aantal is gelijk aan het aantal plaatsen waar wel of niet een valentie (d.i. negatie als nplaatsig connectief) bij eindelementen kan worden ingevoegd. Het bepaalt dus het aantal verdelingen - de mogelijke variatie - van valenties.
(4.2.1a)

Totaal aantal (occurrences) van leaves:


We kijken eerst naar het totaal aantal eindelementen in

tm*

(n1 ).

Omvang.


Am(n1): het totale aantal eindelementen in alle mogelijke meerplaatsige geneste structuren met elk n1 eindelementen.
De waarden Am(n1) komen goeddeels overeen met reeks A176479 in de OEIS.
{ n1 ( Am(n1)

:=

n1

*

tm(n1) )n1;
( Am(0)

=

0; n1 ( (n1

>

0 ) ( Am(n1)

:=

A176479(n1 -1 )

|

(offset 0 ) ) )n1 ) }.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
Am(n1)

=

{ 0, 1, 2, 9, 44, 225, 1182, 6321, 34232, 187137, 1030490,
5707449, 31760676, 177435297, 994551222, 5590402785, 31500824304 }.
(4.2.1b)

Valentievariatie over leaves:


Elke tekenreeks (string) van n1 voorkomens van unieke basiselementen heeft een eigen verzameling van unieke negatievarianten.

tmv*A

(n1): de verzameling

tm*

(n1) uitgebreid met alle unieke valentievariaties over eindelementen.

Voorbeeld.


Bijv. Stel n1

=

2;

tmv *A

(n1)

=

{ '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)' }.
Maximaal aantal is 4.
Bijv. Stel n1

=

3;

tmv *A

(n1)

=

{ '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(xxx)', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '(x(xx))', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)', '((xx)x)' }.
Maximaal aantal is 24.
Negatievarianten van redeneervormen omvatten uiteraard alle 'negatievrije' structuur- of nestingvarianten waarop ze van toepassing zijn.
{ v

|

n1 (

t m*A

(n1)

tmv*A

(n1) )n1, v }.

Omvang.


Dit betreft het aantal manieren waarop reeksen van n1 elementen kunnen worden gegroepeerd binnen geneste subgroepen met minimaal n element.
tmvA(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv*A

(n1).
De factor v**n1 is dus rechtstreeks en uitsluitend afhankelijk van de subset lengte n1

:=

l[k1]. Ze blijft dan ook hetzelfde voor alle boomstructuren in verzameling

tm

(n1). Hierdoor kan de valentievariatie van atomen direct over de gehele verzameling worden berekend.
De waarden tmvA(n1) zijn goeddeels gelijk - afgezien van de eerste twee waarden - aan de Generalized Catalan numbers. Dat is reeks A156017 in de OEIS.
{ v

|

n1 ( tmvA (n1)  

:=

tm(n1)

*

v** n1 )n1, v;
( tmA(0)

=

0; t mA(1)

=

2; n1 ( (n1

>

1 ) (tmA(n1)

:=

A156017(n1 -1 )

|

(offset 0 ) ) )n1 ) }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv* A(n1)

:=

((tmm(n1)

=

3 )

*

(v**n1

=

8 )

=

) 24.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tmvA(n1)

=

{ 0, 2, 4, 24, 176, 1440, 12608, 115584, 1095424, 10646016, 105522176,
1062623232, 10840977408, 111811534848, 1163909087232, 12212421230592, 129027376349184 }.

(4.2.2)

Valentievariatie bij nesten.


Hier ligt de zaak wat complexer. De varianten in een verzameling

tm*

(n1) verschillen onderling immers in het aantal inbeddingen die ze bevatten. Dit aantal varieert van n, dat is het nest voor het hoofdconnectief (de root) bij minimale nestingdiepte; tot (n1 -1 ) bij maximale nestingdiepte, althans in geneste structuren met alleen minstens-tweeplaatsige clusters.
Met het aantal nesten varieert het aantal plaatsen voor negaties van nesten per boom, en daarmee de exponent van de herhalingsvariatie respectievelijk de factor van valentievariatie over nesten tussen de boomstructuren. De totale valentievariatie over nesten in de verzameling boomstructuren is hierdoor niet direct lineair te berekenen.
(4.2.2a)

Totaal aantal (occurrences) van nesten:


Omvang.


Nm(n1): het totale aantal nesten in alle mogelijke meerplaatsige geneste structuren met elk n1 eindelementen.
Het aantal nesten kunnen we uiteraard in principe achterhalen door voor elke benodigde n1 alle mogelijke bomen te genereren. Dit wordt echter nagenoeg onuitvoerbaar voor grotere waarden van n1 (zeg n1

>

12).
De waarde van Nm(n1) kan echter voor (n1 ≤ 16) als volgt langs indirecte manier worden berekend met behulp van getallenreeksen uit The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
(1) We nemen eerst de formule voor de binomiale driehoek, of driehoek van Pascal (reeks OEIS A007318).
(2) Hiermee kunnen de cofficinten worden berekend van de driehoek OEIS A126216.
(3) De gespiegelde versie hiervan levert de driehoek OEIS A033282 . Hiervan bestaat elke rij (n1 -1 ) uit k1 elementen die de frequenties vormen van de aantallen nesten in een verzameling meerplaatsige geneste boomstructuren met n1 eindelementen.

fm*

(n1)N: De verzameling van frequenties van voorkomens in

tm*

(n1) van bomen met aantallen nesten j1

=

(1,

..

(n1 -1 ) ).
Het aantal frequentiewaarden komt uiteraard overeen met het aantal nesten per boom.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);

fm*

(n1)N

=

{ (0), (1), (1), (1,2), (1,5,5), (1,9,21,14), (1,14,56,84,42), (1,20,120,300,330,132), (1,27,225,825,1485,1287,429), (1,35,385,1925,5005,7007,5005,1430), (1,44,616,4004,14014,28028,32032,19448,4862), (1,54,936,7644,34398,91728,148512,143208,75582,16796), (1,65,1365,13650,76440,259896,556920,755820,629850,293930, 58786), (1,77,1925,23100,157080,659736,1790712,3197700,3730650,2735810, 1144066,208012), (1,90,2640,37400,302940,1534896,5116320,11511720,17587350,17978180, 11767536,4457400,742900), (1,104,3536,58344,554268,3325608,13302432,36581688,70114902,93486536, 84987760,50220040,17383860,2674440), (1,119,4641,88179,969969,6789783,32008977,105172353,245402157,409003595, 483367885,395482815,212952285,67863915,9694845) }.
(4) De som van de producken van de frequenties en bijbehorende aantallen nesten is gelijk aan Nm (n1).

tm*(n1): aantal elementen (varianten) in een verzameling

t m*

(n1).

tm

(n1)[i1]: Een individuele boom tm(n1 )[i1] binnen een verzameling bomen

tm*

(n1 ).

|

tm

(n1)[i1]

|

N : Aantal nesten in een individuele boom

tm

(n1)[i1].
Nm(n1)t[i1]: idem, verkorte notatie.

fm*

(n1)N: De verzameling van frequenties van voorkomens in

tm*

(n1) van bomen met aantallen nesten j1

=

(1,

..

(n1 -1 ) ).
fm(n1)N[j1]: De frequentie van voorkomens van bomen in

tm*

(n1) met aantal nesten j1.
Nm(n1)f[j1]: Totaal aantal nesten in een groep bomen met elk j1 nesten, als partitie binnen een verzameling bomen

tm *

(n1).

De berekening van Nm(n1) kan als volgt in bovengenoemde termen beschreven worden: De verzameling

fm*

(n1)N bestaat uit j1

=

(1,

..

(n1 -1 ) ) frequentiewaarden fm(n1) N[j1]. Elk hiervan geeft het aantal bomen weer die elk j1 nesten hebben. Dus het produkt (fm(n1)N[j1]

*

j1 ) levert het aantal nesten in

tm*

(n1) per waarde j1 , d.i. Nm(n1)f[j1]. De som van de waarden N m(n1)f[j1] levert vervolgens Nm (n1).
NB. De waarden Nm(n1) zijn goeddeels gelijk aan de reeks A035029 in de OEIS.
{ n1 ( (tm (n1)

:=

|

tm*

(n1 )

|

);
( m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
(i1 ( (

tm

( n1)[i1]

tm*

(n1) )
((Nm(n1)t[i1]

:=

|

tm(n1)[i1]

|

N );
(Nm(n1)t[i1] { 1,

..

(n1 -1 } ) ) )i1 );
(j1 ( (j1 { 1,

..

(n1 -1 } );
((fm(n1)N[j1]

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
((N m(n1)t[i1]

=

j1 )

|

1 )i1 );
(Nm(n1)f[j1]

:=

fm(n1)N[j1]

*

j1 ) ) )j1 );
(Nm(n1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
N m(n1)t[i1] i1;

:=

(j1 := 1,

..

(n1 -1) )
( fm(n1)N[j1]

*

j1 )j1 ;

:=

(j1 := 1,

..

(n1 -1) )
Nm(n1)f[j1] j1 ) )m1 ) )n1;
( tmA(0)

=

0; t mA(1)

=

1; n1 ( (n1

>

1 ) ( tmA(n1)

:=

A035029(n1 -2 )

|

(offset 0 ) ) )n1 ) }.
Bijv. Stel n1

=

3; Nm(n1)

:=

((1 boom *1 nest

=

1 )

+

(2 bomen *2 nesten

=

4 )

=

) 5.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
Nm(n1)

=

{ 0, 1, 1, 5, 26, 138, 743, 4043, 22180, 122468, 679757,
3789297, 21199998, 118973550, 669447123, 3775577367, 21336790152 }.
(4.2.2b)

Valentievariatie over nesten:


tmv*N

(n1): de verzameling

tm*

(n1) uitgebreid met alle unieke valentievariaties over nesten .

Voorbeeld.


Bijv. Stel n1

=

1;

tmv *N

(n1)

=

{ '(x)', '(x)' }.
Maximaal aantal is 2.
Bijv. Stel n1

=

2;

tmv *N

(n1)

=

{ '(x,x)', '(x,x)' }.
Maximaal aantal is 2.
Bijv. Stel n1

=

3;

tmv *N

(n1)

=

{ '(xxx)', '(x(xx))', '((xx)x)' '(xxx)', '(x(xx))', '((xx)x)' '(x(xx))', '((xx)x)' '(x(xx))', '((xx)x)' }.
Maximaal aantal is 10.
{ v

|

n1 (

t m*N

(n1)

tmv*N

(n1) )n1, v }.

Omvang.


tmvN(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv*N

(n1).
Niet rechtstreeks afleidbaar uit het totale aantal nesten Nm(n1) in verzameling

tm*

(n1).
Echter te berekenen met gebruikmaking van het aantal nesten per boom, Nm(n1)t [i1], dan wel de bovengenoemde frequenties fm(n1)N [j1].
De waarden tmvN(n1) zijn goeddeels gelijk aan de reeks A107841 in de OEIS.
{ v

|

n1 ( (t m(n1)

:=

|

tm*

(n1)

|

);
( m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
(tmvN(n1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
( h1 ((h1

:=

Nm(n1) t[i1] )

|

v **h1 )h1 ) i1;

:=

(j1 := 1,

..

(n1 -1 ) )
( fm(n1)N[j1]

*

v**j1 )j1 ) )m1 ) )n1, v;
( tmvN(0)

=

0; t mvN(1)

=

2; n1 ( (n1

>

1 ) (tmvN (n1)

:=

A107841(n1 -1)

|

(offset 0 ) ) )n1 ) }.
Bijv. Stel n1

=

3; Nm(n1)

:=

((1 boom *((2 waarden **1 nest)

=

2 )

=

2 )

+

(2 bomen *((2 waarden **2 nesten )

=

4 )

=

8 )

=

) 10.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tmvN(n1)

=

{ 0, 2, 2, 10, 62, 430, 3194, 24850, 199910, 1649350, 13879538,
118669210, 1027945934, 9002083870, 79568077034, 708911026210, 6359857112438 }.

(4.2.3)

Valentievariatie over basiselementen n nesten.


(4.2.3a)

Totaal aantal (occurrences) van nodes (leaves n nesten):


Omvang.


Km(n1): het totale aantal nodes (leaves n nesten) in alle mogelijke meerplaatsige geneste structuren met elk n1 eindelementen.
Dit aantal is de som van het aantal leaves en nesten per boom, en dus gelijk aan de som van de totalen van leaves en nesten in

tm*

(n1).
De waarden Km(n1) komen goeddeels overeen met reeks A261207 in de OEIS.
{ v

|

n1 ( K m(n1)

:=

Am(n1) +Nm( n1) )n1, v;
( Km(n1)

=

0; Km (n1)

=

1; n1 ( (n1

>

1 ) Km(n1) Cc(n1,2)

:=

A261207(n1)

|

(offset 0 ) ) )n1 ) }.
Bijv. Stel n1

=

3; Km(n1)

:=

(9 +5

=

) 14.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
Km(n1)

=

{ 0, 2, 3, 14, 70, 363, 1925, 10364, 56412, 309605, 1710247,
9496746, 52960674, 296408847, 1663998345, 9365980152, 52837614456 }.
(4.2.3b)

Valentievariatie over nodes (leaves n nesten):


tmv*K

(n1): de verzameling

tm*

(n1) uitgebreid met alle unieke valentievariaties over eindelementen en nesten.

Voorbeeld.


Bijv. Stel n1

=

1;

tmv *K

(n1)

=

{ '(x)', '(x)', '(x)', '(x)' }.
Maximaal aantal is 4.
Bijv. Stel n1

=

2;

tmv *K

(n1)

=

{ '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)', '(x,x)' }.
Maximaal aantal is (2**2 atomaire valenties) *(2**1 nestvalenties) =8.
{ v

|

n1 (

t mv*K

(n1)

=

t mv*A

(n1)

tmv*N

(n1) )n1, v }.

Omvang.


tmvK(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv*K

(n1).
Berekening kan analoog aan die van tmvN(n1) gebeuren.
Maar met de verzameling valentievarianten over nesten,

tmv*N

(n1), hebben we een 'nieuwe' verzameling unieke redeneervormen waarop we ook direct de valentievariatie over eindelementen kunnen toepassen om de totale valentievariatie te verkrijgen.
De waarden van tmvK(n1) zijn deels gelijk aan die van reeks A234596, en meer algemeen aan een produkt van de reeksen A107841 en A045055 in de OEIS.
{ v

|

n1 ( (t m(n1)

:=

|

tm*

(n1)

|

);
( m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
( tmvK(n1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
(t mvA(n1)[i1]

*

tm vN(n1)[i1] )i1;

:=

tmvN(n1)

*

v** n1 )m1 ) )n1, v;
( tmvK(0)

=

0; t mvK(1)

=

4; n1 ( (n1

>

1 ) ( tmvK (n1)

:=

A234596(n1 -1 )

|

(offset 1 );

:=

A107841(n1 -1 )

*

A045055(n1) ) )n1 ) }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv* K(n1)

:=

((tmvN(n1 )

=

10 )

*

(v**n1

=

8 )

=

) 80.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tmvK(n1)

=

{ 0, 4, 8, 80, 992, 13760, 204416, 3180800, 51176960, 844467200, 14212646912,
243034542080, 4210466545664, 73745071063040, 1303643374125056, 23229596506849280, 416799595720736768 }.

(4.3)

Volgordevariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


In de boomstructuur van een bepaalde redeneervorm bestaan in het algemeen uiteraard op allerlei manieren volgordevariaties (of permutaties).

Vormen van volgordevariatie en hun relevantie.


Volgordevariaties blijken in verschillende vormen en dimensies te kunnen voorkomen, zoals uit onderstaande voorbeelden blijkt:
(a)

Volgordevariaties van eindelementen:


(a1)

Directe volgordevariaties op de basislijn, zonder subgroepen.


Bijv. '(abcde)' wordt: '(baedc)'.
(a2)

Directe volgordevariaties binnen subgroepen.


Volgorde van de eindelementen binnen dezelfde subgroep(en), d.i. vanuit dezelfde parent(s).
Bijv. '((ab)(cde))' wordt: '((ba)(edc))'.
(a3)

Indirecte volgordevariaties over subgroepen, binnen hetzelfde omvattend nest.


Bijv. '((ab)c(de))' wordt: '((ad)c(be))'.
Bijv. '((ab)(cde))' wordt: '((cd)(abe))'.
(a4)

Indirecte volgordevariaties over subgroepen, met wisseling van omvattend nest.


Bijv. '((ab)c(de))' wordt: '((ac)b(de))'.
Bijv. '(a(b(cd)e))' wordt: '(e(d(ab)c)).
(b)

Volgordevariaties van (gehele) subgroepen.


(b1)

Indirecte volgordevariaties van subgroepen van dezelfde omvang binnen hetzelfde omvattend nest.


Verwisseling van complete subgroepen van dezelfde omvang binnen hetzelfde omvattende nest.
Bijv. '((ab)c(cd))' wordt: '((cd)c(ab))';
(b2)

Indirecte volgordevariaties van subgroepen van dezelfde omvang met wisseling van omvattend nest.


Verwisseling van complete subgroepen van dezelfde omvang met wisseling van omvattend nest.
Bijv. '((ab)(c(de)))' wordt: '((de)(c(ab)))'.
(c)

Indirecte volgordevariaties Met structuurverandering.


(c1)

Verwisseling van complete subgroepen van verschillende omvang binnen hetzelfde omvattend nest.


Bijv: '((ab)(cde))' wordt: '((cde)(ab))'.
(c2)

Verwisseling van complete subgroepen van verschillende omvang met wisseling van omvattend nest.


Bijv. '((ab)(c(de)))' wordt: '((de)((ab)c)))'.
Of '(a(b(cd)e))' wordt: '((d(c)(ac))b)'.

We zien nu dat we deze grote variatie aanzienlijk kunnen vereenvoudigen.
(1)

volgordevariaties met structuurverandering zijn uitgesloten.


De verzameling

tm*

(n1) bevat, evenals al haar uitbreidingen, al alle mogelijke structuurvariaties. Hierdoor zullen volgordevariaties met structuurverandering (ad c) tot nutteloze syntactische doublures leiden, reden om ze hier uit te sluiten.
(2)

Volgordevariaties zonder structuurverandering zijn te herleiden tot n vorm.


Alle overige volgordevariaties zijn, zolang ze niet tot structuurvariaties leiden, te herleiden tot de eerste vorm (ad a1): die op de basislijn van een 'platte' boomstructuur zonder subgroepen.
(3)

Volgordevariaties zijn bij symmetrisch connectief alleen syntactisch relevant.


Kiezen we per deelverzameling van

U

·(v,d) voor de relaties tussen de redeneerelementen steeds een logische relatie waarbij een symmetrisch connectief hoort dan maakt de volgorde tussen de redeneerelementen binnen subgroepen of over subgroepen op hetzelfde niveau alleen een syntactisch verschil en geen semantisch verschil.
Wanneer bij de relatie echter een asymmetrisch connectief hoort - zoals implicatie of inverse implicatie - dan maakt de volgorde tussen de redeneerelementen niet alleen een syntactisch maar ook een semantisch verschil.

Differentiatie van elementen.


We gaan in een concrete redenering uit van een verzameling objecten, atomaire formules, of eindelementen, die onderling onderscheiden zijn, alfabetisch of numeriek. Zodra de volgorde een rol speelt, worden onderscheid en dus ook benaming van de eindelementen relevant.

Voorbeeld.


Voor elk element i1 uit een verzameling valentievarianten

tmv* A

(n1) bestaat een reeks volgordevariaties over de n1 eindelementen.
Bijv. Stel n1

=

3;

tmv*A

(n1)[i1]

=

'(x(xx))';

tmv,o*A

( n1)[i1]

=

{ '(a(b,c))', '(a(c,b))', '(b(a,c))', '(b(c,a))', '(c(a,b))','(c(b,a)) }.
Maximaal aantal is 6.
Omdat de geneste structuur bij deze volgordevariatie behouden blijft, blijven de volgordevarianten uniek voor dat element.

Volgordevariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.



(4.3.1)

Volgordevariatie bij basiselementen.


(4.3.1a)

Geldige permutaties (faculteiten) voor volgordes van leaves:


Omvang.


Hier gaat het om het aantal volgordevariaties zonder selectie c.q. trekking, zodat de omvang van de selectie k1 gelijk is aan n1, zgn. permutaties of sequenties zonder herhaling c.q. doublures (zoals chronologie ).
P(n1): de permutaties van n1.
Deze is gelijk aan de faculteit van n1, F(n1).
n1 ( P(n1)

:=

F(n1) )n1.
De waarden F(n1) komen overeen met reeks A000142 (voorheen M1675, N0659)in de OEIS.
De algemene formule hiervoor is:
{ n1 ( (F(n1)

:=

n1

!

;

:=

n1

*

(n1 -1)

*

( n1 -2)

..

*

2

*

1 );
(F(0)

=

1; (n1

>

0 ) F(n1)

:=

(k1 := 1,

..

n1 )
k1 k1 );
( (n1

0 ) F( n1)

:=

A000142(n1 )

|

(offset 0 ) ) )n1 }.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
F(n1)

=

{ 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,
39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000 }.
(4.3.1b)

Volgordevariatie over leaves:


tmv,o*A

(n1): de verzameling

tmv*A

(n1) uitgebreid met alle unieke volgordevariaties over eindelementen.
{ v

|

n1 (

t mv*A

(n1)

tmv,o*A

(n1) )n1, v }.

Omvang.


tmv,o*A(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv,o*A

(n1).
Omdat de faculteit n1

!

enkel afhankelijk is van het aantal eindelementen, geldt dezelfde waarde voor elk element in de verzameling valentievarianten over eindelementen,

tm v*A

(n1). Hierdoor kan de volgordevariatie van literalen direct over deze gehele verzameling worden berekend.
NB. De waarden tmv,oA(n1) komen niet voor als reeks in de OEIS.
{ v

|

n1 ( t mv,oA(n1)

:=

tmv A(n1)

*

P(n1) )n1, v }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv,o* A(n1)

:=

((tmvA(n1 )

=

24 )

*

(P(n1)

=

6 )

=

) 144.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tmv,oA(n1)

=

{ 0, 2, 8, 144, 4224, 172800, 9077760, 582543360, 44167495680, 3863226286080, 382918872268800,
42416519027097600, 5192845523995853000, 696252753178420800000, 1.014676053370375e+23, 1.5969870214464176e+25, 2.699612685153877e+27 }.

(4.3.2)

Volgordevariatie bij nesten.


Zoals gezegd telt volgordevariatie niet voor nesten.

(4.3.3)

Volgordevariatie over nodes (leaves n nesten):


tmv,o*K

(n1): de verzameling

tmv*K

(n1) uitgebreid met alle unieke volgordevariaties over (alleen) eindelementen.
{ v

|

n1 (

t mv*K

(n1)

tmv,o*K

(n1) )n1, v }.

Omvang.


tmv,o*K(n1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv,o*K

(n1).
De volgordevariaties over eindelementen gelden voor de gehele gecombineerde i.e. produktverzameling tm vK(n1).
NB. De waarden tmv,oK(n1) komen niet voor als reeks in de OEIS.
{ v

|

n1 ( t mv,oK(n1)

:=

tmv K(n1)

*

P(n1) )n1, v }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv,o* K(n1)

:=

((tmvK(n1 )

=

80 )

*

(P(n1)

=

6 )

=

) 480.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16);
tmv,oK(n1)

=

{ 0, 4, 16, 480, 23808, 1651200, 147179520, 16031232000, 2063455027200, 306440257536000, 51574853114265600,
9701161209298944000, 2.016820212119529e+21, 4.592120914070282e+23, 1.1364940169042467e+26, 3.037674793098914e+28, 8.72061036666832e+30 }.

(4.4)

Connectiefvariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


Uiteraard kunnen connectieven in logische formules variren. Dit zijn ook de componenten die het meest beslissend zijn voor de opbouw, de samenhang en de geldigheidswaarde ( validiteit) van de gehele formule. Het type connectief is dus een variabele die semantisch zeer relevant is. Daarom is het ook interessant om de connectiefvariantie op syntactisch niveau te berekenen.
In de boomstructuur van een redeneervorm waarin elke inbedding expliciet is gemaakt, is er binnen n en hetzelfde nest precies n type connectief, ongeacht het aantal elementen dat het bevat. (Hetzelfde connectiefsymbool kan in een nest herhaald worden of eenmalig worden vermeld door middel van prefixnotatie). Dit betekent dat elke boomstructuur evenveel connectiefplaatsen heeft als nesten.
Stel we hebben voor een willekeurige boomstructuur de keuze uit c1 connectiefsymbolen. Voor het baseline niveau (het eerste nest) blijven alle c1 beschikbare opties voor het connectief open. Willen de inbeddingen in logische formules (c.q. geneste structuren) zinvol blijven, dan moeten de connectieven van het ene naar het andere nest verschillend zijn. Anders, bij gelijke connectieven, vallen immers de onderscheidingen tussen die nesten (c.q. de ronde haken) weg volgens de meest minimale regels van syntactische efficintie.
Wanneer we eenmaal voor een bepaalde boom het hoofdconnectief hebben gekozen, dan liggen dus alle eventuele andere connectieven (van de subnesten) van die boom gedeeltelijk vast. Elk nest op een niveau na de basislijn heeft daardoor c1 opties voor het connectief minus n van het daaraan voorgaande parent nest. Dan blijft over voor elk volgend nest de keuze uit c1 -1 connectieven. Dit geldt op dezelfde manier voor nesten die op hetzelfde niveau liggen.
De connectiefvariatie van onderling nevengeschikte nesten wordt daarom op dezelfde manier berekend als die van ingebedde c.q. ondergeschikte nesten.
De connectiefvariatie is bovendien onafhankelijk van de valentievariatie en de volgordevariatie.
Bijv. Voor n1

=

5;
Is er de volgende boomstructuur:
(i1 (

t

(n1)[i1]

=

{ '((xx)(x(xx)))' } ) i1;
Aantal nesten Nm(n1)t[i1 ]: (

t

(n1)[i1]   (N m(n1)t[i1]

=

4 ) );
De boomstructuur met nestennummering: { ((xx)N2(x(xx)N4 )N3)N1 }.
En gegeven een verzameling van c1 connectiefsymbolen;
Dan wordt de connectiefvariatie per boom:
Cm(n1,c1)[i1]

:=

c1N1

*

(c1N2 -1 )

..

*

(c1N4 -1 ).
De connectiefvariatie Cm(n1,c1)[i1] wordt in het algemeen bij een aantal connectiefsymbolen c1 en een aantal nesten c.q. connectiefplaatsen Nm( n1)t[i1]:
{ n1 i1 j1 ( (j1

:=

Nm(n1) t[i1] );
( c1 (Cm(n1 ,c1)[i1]  

:=

(c1

*

(h1 := 2,

..

j1 )
(c1 -1 )h1 ) )c1 ) )j1, i1, n1 }.
Wanneer het aantal connectiefsymbolen minder dan drie is, wordt de connectiefvariatie per structuurvariant gelijk aan dat aantal, bovendien constant, en onafhankelijk van het aantal nesten, waardoor de connectiefvariatie voor de hele verzameling bomen eenvoudig gelijk wordt aan het produkt van dit aantal en de omvang van de verzameling.

Connectiefvariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.


In een geneste boomstructuur met symmetrische (meerplaatsige) connectieven hebben we voor de connectiefplaatsen in principe de keuze uit alle denkbare symbolen of coderingen voor alle mogelijke logische relaties in de geldende verzameling

T

·(v,d). In dit specifieke geval zijn daartegen twee bezwaren:
(1) De eindelementen in de boomstructuren zijn hier elementen uit deelverzamelingen

U

·(v ,d)[k1], en bestaan dus al uit logische relaties in de geldende verzameling

T

·(v,d). Door het invoeren van coderingen van al hun mogelijke onderlinge logische relaties zou opnieuw een (tweevoudige) trap van combinatorische explosie ontstaan die nogal overvloedig zou zijn.
(2) We hebben hierboven al alle negatievarianten van de eindelementen in de boomstructuren gedefinieerd. Door introductie van coderingen van alle mogelijke onderlinge logische relaties zou een extra grote hoeveelheid dubbele negaties ontstaan wat overtollig zou zijn.
Uit pragmatisch oogpunt zullen we de keuze hier daarom beperken tot de verzameling symmetrische connectieven die het meest gangbaar zijn: conjunctie, disjunctie, equivalentie, en exclusief disjunctie.
{ (

Cm*

=

{ ' ', '', '', '

#

' } );
c1

:=

|

Cm *

|

;

:=

4 }.
NB. Wie wil kan deze set uiteraard variren.

(4.4.1)

Connectiefvariatie bij basiselementen.


De connectiefvariatie is niet afhankelijk van de basiselementen.

(4.4.2)

Connectiefvariatie bij nesten.


(4.4.2a)

Connectiefvariatie per nest opgeteld:


Cm(n1,c1)[i1]: de hoeveelheid connectiefvariatie van alle nesten in een boomstructuur

tm

(n1)[i1], binnen een verzameling

tm*

(n1).
Cm(n1,c1): de hoeveelheid connectiefvariatie van alle nesten in de elementen in een verzameling

tm*

(n1) opgeteld.

Omvang.


In een verzameling

tm*

(n1) bepaalt het aantal nesten N m(n1)t[i1] in een boomstructuur

tm

(n1)[i1], gegeven met een aantal opties voor connectieven c1, de connectiefvariatie Cm(n1,c1)[i1] voor die boom, en opgeteld de connectiefvariatie Cm(n1,c1) voor de gehele verzameling.
De waarden Cm(n1,c1) komen goeddeels overeen met reeks A103211in de OEIS.
{ n1 ( (tm (n1)

:=

|

tm*

(n1 )

|

);
m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
c1 (
(i1 ( (

tm

(n1)[i1]

tm*

(n1) )
(Nm(n1)t[i1]

:=

|

tm

(n1)[i1]

|

N );
j1 ( (j1

:=

N m(n1)t[i1] );
(Cm(n1,c1)[i1]  

:=

(c1

*

(h1 := 2,

..

j1 )
(c1 -1 )h1 ) ) )j1 )i1 );
(Cm(n1,c1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
Cm (n1,c1)[i1] i1 ) )c1 )m1;
( Cm(0,4)

=

0; (n1

>

0 ) Cm(n1,4)

:=

A103211( n1 -1 )

|

(offset 0 ) ) )n1, v }.
Bijv. Stel n1

=

3; Cm(n1,c1 )

:=

(1 boom *(1 nest : (4 c *1 )

=

connectiefvariantie 4 )

=

4 )

+

(2 bomen *(2 nesten : (4 c *(1 *3 c

=

3 )

=

connectiefvariantie 12 )

=

24 )

=

28.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16); c1

=

4;
Cm(n1,c1)

=

{ 0, 1, 4, 28, 244, 2380, 24868, 272188, 3080596, 35758828, 423373636,
5092965724, 62071299892, 764811509644, 9511373563492, 119231457692284, 1505021128450516 }.
(4.4.2b)

Connectiefvariatie over nesten:


tmv[,o],c*N

(n1,c1): de verzameling

tmv*N

(n1) uitgebreid met alle unieke connectiefvariaties over nesten.
{ v

|

n1 (

t mv*N

(n1)

tmv[,o],c*N

(n1,c1) ) n1, v }.

Omvang.


tmv[,o],cN(n1,c1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv[,o],c*N

(n1,c1).
NB. De waarden tmv[,o],cN(n1,c1) komen niet voor als reeks in de OEIS.
{ v

|

n1 ( (t m(n1)

:=

|

tm*

(n1)

|

);
m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
c1 (
(i1 ( (

tm

(n1)[i1]

tm*

(n1) );
  (Nm(n1)t[i1]

:=

|

tm

(n1)[i1]

|

N );
j1 ( (j1

:=

N m(n1)t[i1] );
(Cm(n1,c1)[i1]  

:=

(c1

*

(h1 := 2,

..

j1 )
(c1 -1 ) ) ) )j1;
(tmv[,o],cN(n1,c1) [i1]

:=

((j1

=

Nm(n1)t[i1 ] )

|

(v **j1

*

Cm(n1, c1)[i1] ) );

:=

tmvN(n1)[i1]

*

Cm(n1,c1)[i1] ) )i1 );
(tmv[,o],cN(n1,c1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
( ( j1

:=

Nm(n1)t[i1] )

|

(v **j1

*

Cm(n1,c1)[i1 ] ) )j1 )i1;

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
(t mvN(n1)[i1]

*

Cm (n1,c1)[i1] ) )i1 )c1 )m1 )n1, v }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv[,o],c N(n1,c1)

=

:=

((1 boom *(1 nest : (4 c *1 )

=

connectiefvariantie 4 )

=

4 ) *(v **1

=

2 )

=

8 )

+

((2 bomen *(2 nesten : (4 c *(1 *3 c

=

3 )

=

connectiefvariantie 12 )

=

24 ) *(v **2

=

4 )

=

96 )

=

104.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16); c1

=

4;
tmv[,o],cN(n1,c1)

=

{ 0, 2, 8, 104, 1688, 30680, 597416, 12186824, 257073272, 5561796344, 122735747912,
2751930487592, 62514366781784, 1435713566375192, 33279946502666984, 777602177309307300, 18295211346317136000 }.

(4.4.3)

Connectiefvariatie over nodes (leaves n nesten):


(4.4.3a)

Connectiefvariatie per node opgeteld:


Deze is uiteraard gelijk aan die bij nesten.
(4.4.3b)

Connectiefvariatie over nodes (leaves n nesten):


tmv,o,c*K

(n1,c1): de verzameling

tmv,o*K

(n1) uitgebreid met alle unieke connectiefvariaties over (alleen) nesten bij c1 connectiefsymbolen.
{ v

|

n1 (

t mv,o*K

(n1)

tmv,o,c*K

(n1) )n1, v }.

Omvang.


tmv,o,cK(n1,c1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv[,o],c*K

(n1,c1).
NB. De waarden tmv,o,cK(n1,c1) komen niet voor als reeks in de OEIS.
{ v

|

n1 ( (t m(n1)

:=

|

tm*

(n1)

|

);
m1 ( (m1

:=

t m(n1) );
c1 (
(i1 ((

tm

(n1)[i1]

tm*

(n1) );
j1 ( (j1

=

N m(n1)t[i1] );
(tmv,o,cK(n1,c1) [i1]  

:=

(tmv,oK(n1)[ i1]

*

Cm(n1,c1)[i1] ) )i1 );
(tmv,o,cK(n1,c1)

:=

(i1 := 1,

..

m1 )
t mv,o,cK(n1,c1)[i1] i1;

:=

tmv[,o],cN(n1,c1)

*

( v**n1 )

*

P(n1) ) )c1 )m1 )n1 , v }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv,o,c K(n1,c1)

:=

((tmv[,o],cN(n1,c1)

=

104 )

*

(v**n1

=

8 )

*

(P(n1

=

6 )

=

) 4492.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16); c1

=

4;
tmv,o,cK(n1,c1)

=

{ 0, 4, 64, 4992, 648192, 117811200, 27528929280, 7861963898880, 2653489747722240, 1033351504543088600, 456072685591619200000,
2.2496923420080625e+23, 1.2265259709074875e+26, 7.323826782749083e+28, 4.7534716802333475e+31, 3.3320155079258024e+34, 2.508631985065473e+37 }.
NB. Deze waarden zijn nog steeds niet hyperexponentieel.

(4.5)

Deelverzamelingen per lengte bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.



Subsets van redeneervormen.


We hebben tot dusver bekeken hoeveel varianten van syntactische structuren (redeneervormen, boomstructuren) mogelijk zijn met n1 unieke basiselementen. We verkregen uiteindelijk, als voorbeeld, de verzamelingen van boomstructuren met minstens-tweeplaatsige nesten

tmv,o,c*

(n1,c1), die elk bestaan uit alle mogelijke unieke structuurvarianten, negatievarianten, volgordevarianten , en !i>connectiefvarianten bij een verzameling van n1 mogelijke unieke tekenreeksen (strings) en c1 connectiefsymbolen.

Concordantie met semantiek.


Elk element binnen een verzameling

tmv,o,c*

(n1,c1 ) met n1 voorkomens van basiselementen vormt een unieke variant van de mogelijke syntactische representaties van een deelverzameling

U

·(v,d)[k1] met omvang c.q. lengte (n1

:=

l[k1] ) uit

U

·(v,d) die de power set is van de verzameling logische relaties

T

·(v,d) die een omvang heeft van t·(v,d ).

Partitionering naar omvang.


De deelverzamelingen van

U

·(v,d) kunnen we groeperen in partities met gelijke lengte (1 ≤ l[k1]t·(v,d ) ). Voor elk van de deelverzamelingen in zo'n partitie is er dus een verzameling

tmv,o,c *

(n1,c1) van boomstructuren met minstens-tweeplaatsige nesten met gelijk aantal basiselementen n1 bij c1 connectiefsymbolen. (Die boomstructuren stammen - uiteraard - van steeds een unieke opgeordende selectie uit de verzameling

T

·(v,d )).

(4.5.1)

Binomiaal cofficinten:


Omvang.


B(t·(v,d), n1): Het aantal mogelijke unieke combinaties van redeneerelementen uit

T

·(v,d) in deelverzamelingen

U

·(v,d)[k1] uit

U

·(v,d) , met dezelfde omvang n1.
Dit is - zoals we eerder zagen, zie 2.1.5. - gelijk aan het aantal mogelijke unieke ongeordende selecties (zonder interne herhaling) uit

T

·(v,d) - dus van de binomiaal cofficinten per deelverzameling van

U

·v,d, te berekenen als het maximale aantal logische relaties t·(v,d ) boven het feitelijke aantal logische relaties n1 in die deelverzameling.
De waarden B(t·(v,d ), n1 ) komen overeen met reeks A010932, Binomial coefficient C(16,n), in de OEIS.
{ v, d

|

k1 ( (

U

·(v,d)[k1]

U

·(v,d) );
( (l[k1]

:=

|

U

·(v,d)[k1]

|

);
( t1 ( ((

T

·( v,d)[t1]

U

·(v ,d)[k1] ) (

T

·(v ,d)[t1]

T

·(v, d) ) );
( (t·(v,d )

:=

|

T

·(v,d)

|

);
( (1 ≤ l[k1]t·(v,d ) );
( n1 ( (n1

:=

l [k1] );
( B(t·(v,d ), n1)

:=

binomial

(t·(v,d ), n1 ) ) )n1 ) ) ) )t1 ) ) )k1, d, v }.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

t·(v,d );
B(t·(v,d ), n1)

=

{ 1, 16, 120, 560, 1820, 4368, 8008, 11440, 12870, 11440, 8008,
4368, 1820, 560, 120, 16, 1 }.

(4.5.2)

Subsets (per lengte) over nodes (leaves n nesten):


tmv,o,c,s*K

(n1,c1): de verzameling met alle unieke verzamelingen

tmv,o,c*K

(n1,c1) van 'minimale' syntactische varianten over eindelementen en nesten binnen meerplaatsige geneste structuren met elk n1 unieke basiselementen, inclusief valentievarianten, volgordevarianten en connectiefvarianten bij c1 connectiefsymbolen.
{ v

|

n1 c1 (

tmv,o,c*K

(n1,c1)

tmv,o,c,s *K

(n1,c1) )c1, n1, v }.

Omvang.


tmv,o,c,sK(n1,c1): het totale aantal elementen in verzameling

tmv,o,c,s*K

(n1,c1).
NB. De waarden tmv,o,c,sK(n1,c1) komen niet voor als reeks in de OEIS.
{ v, d

|

k1 ( (

U

·(v,d)[k1]

U

·(v,d) );
( l[k1]

:=

|

U

·(v,d)[k1]

|

);
n1 ( (n1

:=

l [k1] );
( (B(t·(v,d ), n1)

:=

binomial

(t·(v,d ), n1 ) );
c1 ( tmv,o,c,s K(n1,c1)

:=

tmv,o,cK (n1,c1)

*

B(t·(v,d ), n1 ) ) c1 ) )n1 ) )k1 ,d ,v }.
Bijv. Stel n1

=

3; tmv,o,c,s K(n1,c1)

:=

((tmv,o,cK(n1,c1)

=

4992 )

*

(B(t·(v,d ), n1)

=

560 )

=

) 2795520.
Bijv. Voor n1

=

0,1,2,3,

..

(t·(v,d)

=

16); c1

=

4;
tmv,o,c,sK(n1,c1)

=

{ 0, 64, 7680, 2795520, 1179709440, 514599321600, 220451665674240, 89940867003187200, 34150413053185230000, 1.1821541211972934e+22, 3.652230066217686e+24,
9.826656149891217e+26, 2.2322772670516273e+29, 4.101342998339486e+31, 5.704166016280017e+33, 5.331224812681284e+35, 2.508631985065473e+37 }.

(4.5.3)

Totaal aantal varianten in alle subsets (per lengte) over nodes (leaves n nesten):


Ten slotte kunnen de verzamelingen over de aantallen basislementen worden samengevoegd in een omvattende verzameling.

tmv,o,c,s*U

(v,d,c1): de verzameling van alle t·(v,d) verzamelingen

tm v,o,c,s*K

(n1,c1) bij c1 connectiefsymbolen.
{ v, d

|

n1 c1 (

tmv,o,c,s*K

(n1,c1)

tmv,o,c,s *U

(v,d,c1) )c1, n1 , d ,v }.

Omvang.


tcv,o,c,sU(v,d,c1): het totale aantal elementen in alle deelverzamelingen

tcv,o,c,s* K

(n1,c1) van

tcv,o,c,s*U

(v,d,c1).
{ v, d

|

t1 ( ( t1

:=

t·(v,d) );
c1 ( tmv,o,c,s U(v,d,c1)  

:=

(n1 := 1,

..

t1 )
tmv,o,c,sK(n1 ,c1) i1 n1 )c1 )t1 }.
Bijv. Voor v

=

2; d

=

2; c1

=

4;
tmv,o,c,sU(v,d,c1 )

=

2.562518773558318e+37.

C.P. van der Velde © 2014, 2018.