Cursus / training:Methode voor Logische AnalysePrincipes van Formele logica .Combinatorische explosie in Logische systemenInhoudsopgave
Logisch systeem
1. Basisparameters
2. Combinatorische mogelijkheden.
2.1. Semantische expansie.
3. Interpretatie.
2.1.1. Elementaire objecttoestanden.
2.2. Syntactische expansie.2.1.2. Domeintoestanden. 2.1.3. Logische relaties. 2.1.4. Waarheidswaardetabel. 2.1.5. Redeneerelementen, argumenten (semantisch ). [ 2.1.6. Redeneringen, afleidingen (semantisch). [ 2.1.7. Minimale redeneringen, afleidingen ( semantisch). /Evaluatie.
3.1. Syntactische reductie.
3.1.1. Taaltekens naar redeneerschakels.
3.2. Semantische reductie.3.1.2. Redeneerschakels naar Afleidingsreeksen. 3.1.3. Afleidingsreeksen naar Redeneervormen.
3.2.1. Consistente
redeneervormen.
3.2.1.1. Consistente
Redeneervormen: zonder directe contradicties.
3.2.2. Ware redeneervorm(en).
3.2.1.2. Consistente redeneervormen van (1), zonder semantische redundantie binnen redeneervormen. 3.2.1.3. Consistente redeneervormen van (2), zonder semantische redundantie tussen redeneervormen. 3.2.1.4. Consistente redeneervormen van (3), met alle afleidbare consistente redeneerstappen. Combinatorische explosie in Logische systemenInleiding:Grondslag van een Logisch systeem.Oordeelsvorming maakt gebruik van informatieOnze oordelen en inschattingen lijken in veel opzichten op onze overige reacties en beslissingen. We baseren ze op informatie die we beschikbaar hebben, op bewust maar ook op onbewust niveau. Informatie en verschil.Over het begrip 'informatie' zijn veel verschillende opvattingen. Om misverstanden te vermijden, en de wezenlijke betekenis van het begrip te begrijpen, is het handig om eerst te kijken naar haar meest kenmerkende eigenschap. Die wordt duidelijk wanneer we ons de situatie voorstellen waarin ze er totaal níet is. Zonder enige informatie is er alleen zinloze chaos, nietszeggende ruis (noise), totale vaagheid, een volstrekt niet-weten. Informatie begint pas bij onderscheiding van enig verschil. Zodra een onderscheid valt te maken - bijv. een verschil tussen wel/niet, aan/uit, ja/nee, waar/onwaar, enz. - ontstaat enige ordening. Alleen dan wordt redeneren mogelijk, en is de logica van toepassing. Elke hoeveelheid informatie impliceert dus minstens één verschil. Informatie en ordening.Elk verschil impliceert op zijn beurt minstens twee 'dingen', verschijnselen of toestanden in een gebied in de werkelijkheid. Op basis van onderscheidingen kunnen dus combinaties van dingen worden beschouwd. Tussen die dingen bestaat tegelijk minstens één ordeningsrelatie, namelijk die welke noodzakelijk volgt uit datzelfde bespeurde verschil. Bovendien, om enige betekenis voor ons te hebben, kan informatie sowieso niet bestaan uit louter losse gegevens. We bekijken informatie altijd in een bepaalde samenhang. Dit impliceert dat ze de mogelijkheid biedt ordening te onderscheiden. Omgekeerd bezien vertegenwoordigt elke ordeningstoestand, of structuur, op zichzelf genomen een bepaald gehalte aan informatie. Logische relaties.Gegeven een willekeurige verzameling elementen kunnen we kijken welke logische relaties tussen die elementen mogelijk zijn. De logische relaties hebben betrekking op de verschillende toestanden of waarden die de elementen afzonderlijk kunnen aannemen, alsook door hun onderlinge afleidingsrelaties. Informatie en redenering.Door het combineren van gegevens kunnen we meer complexe vormen van informatie verkrijgen. Dit doen we uiteraard door middel van onze gedachten. Elke gedachtegang, en in feite elk proces van informatieverwerking, heeft de algemene vorm van een redenering, dat wil zeggen:
Redeneren:
De manieren waarop die combinaties kunnen worden gemaakt, en de waarden die deze combinaties kunnen aannemen,
worden bepaald door de wetten van de logica.Een aantal uitgangsgegevens worden gecombineerd, en uit de combinatie worden volgende gegevens afgeleid. Uiteraard gelden deze eigenschappen ook en bij uitstek voor elke oordeelsvorming. Die kan beschouwd worden als redeneervorm, omdat ze aangrijpt op informatie, en vervolgens resulteert in bepaalde informatie. Logische wetten.De logische wetten hebben louter betrekking op de relaties tussen gegevens, dat wil zeggen de combinaties en afleidingen; en niet op de afzonderlijke gegevens (zoals directe waarnemingen en gevoelens). Ze gelden ook onafhankelijk van de inhoud en de aard van de gegevens, m.n. mogelijke variaties in onderwerp, domein, probleem, doel, toepassing, toepassingsgebied, enz.. Trappen van logische complexiteit.Elke redeneervorm bestaat uit een combinatie van één of meer onderscheiden logische relaties. Redeneringen zijn - letterlijk - in elke denkbare vorm mogelijk, maar ook in elke ondenkbare vorm: ze zijn vrijwel onbeperkt in mogelijke variatie, complexiteit en omvang. Zoals we hieronder zullen zien, reikt dit al in een klein aantal stappen onafzienbaar ver buiten het voorstellings- en bevattingsvermogen van mensen, en evengoed buiten de reken- en opslagcapaciteit van fysieke of zelfs theoretische computers van elke voorstelbare omvang. Gelukkig kunnen al die mogelijke vormen worden geordend en beoordeeld met behulp van de wetten van de logica. Inzicht in de wetten van de logica is daarom onontbeerlijk voor elke zinvolle en betrouwbare oordeelsvorming. Voor het optimaal benutten van de logica is een helder inzicht in de minimale niveau's van logische complexiteit en hun proporties onmisbaar. Logische mogelijkheden in informatie.In dit overzicht kijken we naar de mogelijke logische relaties gegeven een willekeurige verzameling eenheden (items ). Dit gaat onvermijdelijk gepaard met combinatorische explosie. Hieronder volgen enkele regels voor kwantificatie van combinatorische explosie in propositielogica en in predicatenlogica. Logisch systeem.S!: een logisch systeem ('apparaat', calculus).S!PPL :S!is een systeem in de propositielogica (PPL) (of hoger).S!PDL-I :S!is een systeem in de predicatenlogica (PDL-I), first-order logic (FOL) (of hoger).S!) : de semantiek, een verzameling ordeningsregels, vanS!.L!: een formeel systeem (taalsysteem).L!PPL :L!is een taal in de propositielogica (PPL) (of hoger).L!PDL-I :L!is een taal in de predicatenlogica (PDL-I), first-order logic (FOL) (of hoger).L!) : de syntax, of grammatica, een verzameling ordeningsregels, vanL!.WFF*( L!) : de verzameling welgevormde uitspraken (well-formed formulas) vanL!.1. Basisparameters.1.1. Objecten.Toepasbaar in PPLen hoger.D* : (referentieel) domein of populatie, verzameling elementen d[d1 ]; waarbij (d1=1, .. d).d : domein- of populatie-omvang; totaal aantal unieke objecten, domein-elementen ('dingen', fenomenen, items, variabelen) d[d1] in D*.D*={d[1], .. d[d1], .. d[d] }.d =|D*|.Voorbeeld.Bij twee items (d =2 ) kan de verzamelingD·d bestaan uit de volgende elementen (objecten), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde: { (d =2 )(D·d={' A' ,' B'} ) }.S![s1] dan wel uiterst minimaal, zo niet futiel.Enkele voorbeelden van beweringen in zo'n 'minimaal' systeem, in een formele taal: { (d =0 )(D·d={} ) : ({}=(v) {} ); (({})$=(v)$0 ); ({}=(r)$0 ); etc.}.S![s1 ] ook buitengewoon simpel.Enkele voorbeelden van beweringen in zo'n 'primitief' systeem, in een formele taal: { (d =1 )(D*={d[1]} ) : ((d[1] )$=(v)$1 ); ((d[1] )$=(v)$0 ); etc.}.Bereik.Wanneer het aantal objecten minder dan één is, wordt elke redenering zinloos. Wanneer het echter oneindig is, worden onnoemelijk veel redeneringen over het domein in de praktijk onbeslisbaar. Voor een domein dat zinvol is en hanteerbaar (manageable), geldt:
{ (d
=|D*(mgb)|);(1 ≤d< 0 ) }.1.2. Waarden.Algemeen toepasbaar op objecten. V* : waarderingsstelsel of 'waardenpalet', verzameling waarden v[v1]; waarbij (v1=1, ..v).v : totaal aantal unieke waarden, toestandswaarden, objectwaarden of signaalwaarden ( valenties, schaal); bijv. waarheidswaarden, v[v1] in V*.V*={v[1], .. v[v1], .. v[v] }.v =|V*|.Voorbeeld.Bij twee waarden (v =2 ) kan de verzamelingV·v bestaan uit de volgende elementen (waarden), hier weergegeven met waarde constanten en in arbitraire volgorde:{ (v =2 )(V·v={0 ,1 } ) }.Bereik.Wanneer het aantal waarden minder dan twee is, wordt elke toekenning van waarde betekenisloos, en daardoor wordt elk begin van een zinnige redenering onmogelijk. Wanneer dit aantal echter oneindig is, wordt vrijwel elke redenering over het domein in de praktijk onbeslisbaar. Voor een waardenpalet dat zinnig is en hanteerbaar (manageable), geldt:
{ (v
In de =|V*(mgb)|);(2 ≤v<0 ) }.PDLkomen daarbij nog aanvullende parameters.
(2a) p : totaal aantal unieke predikaat-variabelen (attributen, predicaatnamen);
waaronder evt. identiteit, '='.
Het (maximaal) aantal unieke items a is in (2b) r : (maximaal) totaal aantal unieke argument-plaatsen, of ariteit, per predicaatnaam. (neem hiervoor omwille van eenvoud en zekerheid eventueel het maximum over alle predicaatnamen). (2c) n : totaal aantal unieke elementen (individuen, objecten) in het referentieel domein (de populatie). PDLvan deze laatste drie een afgeleide.{p ≤a≤(p *MAX(1,(r *n)) }.PDLsysteem voldoende informatie over de parameters p, r en n, dan kunnen we a berekenen en verder redeneren conform de regels voor eenPPLsysteem.2. Combinatorische mogelijkheden.2.1. Semantische expansie.2.1.1. Elementaire objecttoestanden.Objecttoestanden worden gevormd door paren, of tupels (het Cartesisch product) uit de v waarden en d elementen. Ze geven het domein weer op een observationeel niveau. Op semantisch niveau zijn dit waarheidsbeweringen met betrekking tot de toestand van afzonderlijke objecten. In logische talen zijn dit bijv. literalen, grondinstanties, of 'witnesses'. Deze zijn te vergelijken met steekproeven (samples) uit een populatie. H·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke objecttoestanden .Voorbeeld.In het simpelste, universeel toepasbare logisch systeem, met twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2), bestaat de verzamelingH·(v,d) uit de volgende elementen (objecttoestanden), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:(H·(v=2,d=2)={ ' A' ,'¬A' ,' B' ,'¬B' } ).Omvang.h : Het totale aantal mogelijke unieke objecttoestanden.  { v, d |( h ((
h =|H·(v,d)|);(h = (|V·v|,|D·d|);=v *d ) )h ) d, v }.In een binair systeem.Onder (v =2 ) geldt:H·(v,d) is even groot als de verdubbeling van verzamelingD·d.
Bijv., onder (v
=2 );bij (d ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt (h ={ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,..} ).Bereik.Het getal h blijft lineair (polynomiaal) in d. (2 ≤h<0 ).Complexiteitsklasse.De verzameling H·(v,d) blijft binnen de klasse van aftelbaar oneindige verzamelingen (countable infinite sets, denumerable sets).Is dus algoritmisch doorzoekbaar (tracktable) - met een singletape Turing machine - binnen lineair polynomiale rekentijd ( P-TIME).(H·(v,d) POLY(d**1 );
TIME(d );P-TIME).2.1.2. Domeintoestanden.Domein toestanden bestaan uit conjuncte combinaties van alle objecten met hun specifieke waarden, dus verschillende objecttoestanden. Ze geven het domein weer op een louter beschrijvend niveau. Op semantisch niveau zijn dit waarheidsbeweringen met betrekking tot de toestand van het gehele domein dat we in ogenschouw nemen. Ze zijn te vergelijken met de cellen (categorieën van variantie) van een zgn. contingentie tabel ( cross tabulation, of 'crosstab'), die de grondslag vormt voor talrijke statistische maten voor de vergelijking van varianties, met name Chi-kwadraat (Χ2), en varianten of afgeleiden daarvan, zoals correlatie coëfficiënt, regressie coëfficiënt, Student's t , F, Fisher z, enz.. B·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke domeintoestanden .Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2) bestaat de verzamelingB·(v,d) uit de volgende elementen ( domeintoestanden), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:(B·(v=2,d=2)={'( A B)' ,'( A
¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A
¬B)' } ).Omvang.b : Het totale aantal mogelijke unieke domeintoestanden. Het getal b komt overeen met het aantal herhalingsvariaties, oftewel, volgordevariaties met teruglegging c.q. herhaling, met omvang (lengte) d uit v elementen. { v, d |(b (
b =|B·(v,d)|;(b =(d1
:= 1, ..d ) v;=v **d )b )d, v }.Het is gelijk aan het aantal rijen in de waarheidswaardetabel. In een binair systeem.Onder (v =2 ) geldt:B·(v,d) is even groot als de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen - de machtsverzameling of power set - vanD·d.
(v
=2)(b =|B·(2,d)|;=|P**d|).
Bijv., onder (v
In een binair systeem vertegenwoordigt het aantal domein toestanden de hoeveelheid signaal, signaalinhoud, of
signaalcapaciteit, die wordt gemeten als het aantal domeinelementen d in bits (binary digits):=2 );bij (d ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt (b ={ 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,..} ).
b = lg2 d bits.
Bereik.Het getal b blijft exponentieel in d. (2 ≤b<0 **0 );
Complexiteitsklasse.De verzameling B·(v,d) blijft binnen de klasse van de niet-aftelbaar oneindige verzamelingen (uncountable infinite sets), die de omvang hebben van het continuum ( cardinality of the continuum).Is dus alleen algoritmisch doorzoekbaar binnen exponentiële rekentijd ( EXP-TIME).(B·(v,d)EXP-TIME(d ) ).2.1.3. Logische relaties.Logische relaties geven het domein weer op een analytisch niveau. Op semantisch niveau zijn dit de voorwaardelijke waarheidsbeweringen die mogelijk zijn met betrekking tot de toestand van het gehele domein of delen ervan. In logische talen zijn dit bijv. waarheidswaardepatronen, formules, proposities, theorema's, e.d.. Deze komen overeen met de kolommen in de waarheidswaardetabel. T·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke logische relaties.Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2), bestaat de verzameling logische relaties (T·(v,d)) uit de volgende elementen (logische relaties), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:(T·(v=2,d=2)=
{' T' ,' F' ,' A' ,' B' ,'¬A' ,'¬B'
,'( A B)' ,'( A ¬B)'
,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)'
,'( A  B)' ,'( A ¬B)'
,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)'
,'( A  B)' ,'( A #B)' } ).Omvang.t : Het totale aantal mogelijke unieke logische relaties. Het getal t is het aantal volgordevariaties met teruglegging/ herhaling (herhalingsvariaties) met omvang (lengte) b uit v elementen. { v, d, b |(
t ((t =|T·(v,d)|);(t =(b1
:= 1, ..b ) v;=|B·(v,b)|;=v **|B·(v,d)|;=v **(v **d) ) )t )b, d, v }.In een binair systeem.Onder (v =2 ) geldt:T·(v,d) is even groot als de power set van de power set vanD·d.
(v
=2)(t =|T·(2,d)|;=|P**b|;=|P**|P**d||).
Bijv., onder (v
=2 );bij (d ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt (t ={ 4, 16, 256, 65 536, 4 294 967 296, 1.844674407371 ·(10**19), 3.402823669209 ·(10**38), 1.157920892373 ·(10**77), 1.340780792994 ·(10 **154), 1.797693134862 ·(10**308),..} ).Bereik.Het getal t blijft hyperexponentieel in d. (2 ≤t<0 **(0 **
0 ) );Complexiteitsklasse.De verzameling T·(v,d) is algoritmisch doorzoekbaar binnen hyper-exponentiële rekentijd (2-EXP-TIME).(T·(v,d)2-EXP-TIME(d ) ).2.1.4. De waarheidswaardetabel.Gegeven een gekozen domein D·d en waardepalletV· v worden de mogelijke directe logische relaties-tussen-relaties volledig gedefinieerd door middel van de zgn. waarheidswaardetabel.Deze wordt opgebouwd volgens een systematische waardetoekenning (validatie) van de objecten op basis van een simpel gestandaardiseerd rekenkundig schema (algoritme). De objecten doorlopen achtereenvolgens elk het gehele scala waarden via zgn. 'geneste' cycli (loops), waardoor ze hun unieke, geordende waarheidswaardepatronen verkrijgen. Vervolgens worden alle overige geordende waardencombinaties ingevuld. Op deze manier ontstaat de tabel als een sluitend, samenhangend geheel van alle mogelijke volgordes van (waarheids)waarden, oftewel (waarheids)waardepatronen t, bij parameters (d,v). De waardepatronen zijn te vergelijken met uitspraken met minstens één gezegde c.q. hoofdzin of bijzin, oftewel 'zinnen'. Ze hebben in een binair systeem de vorm van binaire getallen. Elk hiervan heeft een lengte van b waardeconstanten . De laatste zijn te vergelijken met lettertekens of symbolen in geschreven taal. De lengte b komt overeen met de hoeveelheid informatie in standaard eenheden: bits. Bovendien geeft de tabel volkomen gegarandeerd alle mogelijke elementaire logische relaties weer in hun vaste , directe onderlinge logische relaties. T·(v,d)w : De geordende verzameling van alle cellen in de waarheidswaardetabel.Voorbeeld.De waarheidswaardetabel voor een logisch systeem met (v =2) waarden en (d=2) variabelen, geïnterpreteerd voor propositielogica ( PPL), predikatenlogica (PDL), resp. verkorte, Skolem vorm (Sk).
Omvang.tw : Het totale aantal cellen in de bijbehorende waarheidswaardetabel. Het getal tw wordt uiteraard nog groter dan t, nl. het product van het aantal domeintoestanden ( rijen) b, en het aantal toestandsrelaties (kolommen) t. { v, d, b, t |(tw ((tw =|T·(v,d)w|);(tw
=|(T*(v,d ),B*(v,d) )|;=(|T*(v,d)|*|B*(v,d)|);=(|B*( v,b)|*|B*(v,d)|);=v **(v **d ) *v **d;=v **((v **d) +d ) ) )tw )t , b, d, v }.In een binair systeem.Onder (v =2 ) geldt:{ (v =2 )( tw
=|T·(2,d)w|;=2 **((2 **d) +d ) ) }.
Bijv., onder (v
=2 );bij (d ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt (tw ={8, 64, 2018, 104 8576, 137 438 953 472, 1.18059162071744 ·(10**21 ), 4.35561429658752 ·(10**40), 2.96427748447488 ·(10**79), 6.86479766012928 ·(10**156), 1.840837770098688 ·(10**311),..};resp. in bytes (64-bits): {0.125, 1, 32, 16 384, 2 147 483 648, 1.844674407371 ·(10**19), 6.805647338418 ·(10**38), 4.631683569492 ·(10**77), 1.072624634395 ·(10 **155), 2.876309015779 ·(10**309), ..} );2.1.5. Redeneerelementen, argumenten (semantisch).Wanneer we een redenering opzetten maken we gebruik van bepaalde mogelijke logische relaties over het onderwerp in kwestie. Een redenering bestaat dus uit een combinatie van logische relaties. Dat wil zeggen, een bepaalde selectie, of deelverzameling, uit T·(v,d).Zo'n combinatie kunnen we beschouwen als een 'pakket' van bouwstenen waarmee we een specifieke redenering kunnen maken. Elke bouwsteen kan fungeren als bewering, argument/premisse of conclusie. Op semantisch niveau zijn deze in elk geval gezuiverd van doublures. Voor een solide oordeelsvorming moeten we rekening houden met alle mogelijke selecties. U·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke combinaties van redeneerelementen.Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en één item (d=1) bestaat de verzamelingU·(v,d) uit de volgende deelverzamelingen ( redeneervormen) hier weergegeven als combinaties van logische relaties gesteld in termen van propositiesymbolen, en in arbitraire volgorde:U·(v=2,d=1)=
{ {}
,{' T'} ,{' T' ,' F'} {' T' ,' A'} {' T' ,'¬A'} ,{' T' ,' F' ,' A'} ,{' T' ,'F' ,'¬A'} ,{' T' ,' A' ,'¬A'} ,{' T' ,' F' ,' A' ,'¬A'} ,{' F'} ,{' F' ,' A'} ,{' F' ,'¬A'} ,{' F' ,' A' ,'¬A'} ,{' A'} ,{' A' ,'¬A'} ,{¬A'} }. Omvang.u : Het totale aantal mogelijke unieke combinaties van redeneerelementen. Het getal u is gelijk aan de som van alle mogelijke unieke ongeordende selecties (zonder interne herhaling ) uit T·(v,d) - dus van de binomiaal coëfficiënten per deelverzameling vanT·v,d van het aantal logische relaties t boven de mogelijke lengte t1 van die deelverzameling.{ v, d, t |(
u ((u =|U·(v,d)|);( u1 ((U*[u1]
 U·(v,d) );((u[u1] =|U* [u1]|)(1 ≤u [u1]≤t )(t1 ((u[u1] =t1 )((U*[u1]
U·t1 ) (U·
t1 U·(v,d) ) ) ) t1 ) ) )u1 );(u
= (u1 := 1, ..u ) u[u1];=(t1 := 1, ..t ) (|U·t1|);=(t1 := 1, ..t )binomial(t, t1 );=|T·(v,t)|;=2 **|T·(v,d)|;=2 **(v **(v **d)) ) )u )t, d, v }.In een binair systeem.Onder (v =2 ) geldt:U·(v,d) is even groot als de power set van de power set van de power set vanD·d.
(v
=2 )(u =|U·(2,d)|;=|P**t|;=|P**|P**b||;=|P**|P**|P**d|||).
Bijv., onder (v
=2 );bij (d ={1, 2, 3,..} );volgt (u ={16, 65 536, 1.157 920 892 373 ·(10**77),..} ).Bereik.Het getal u blijft ultra-exponentieel in d. (2 ≤u<2 **(0 **(0 **
0 ) ) ).Complexiteitsklasse.De verzameling U·(v,d) blijft algoritmisch doorzoekbaar binnen ultra-exponentiële rekentijd (3-EXP-TIME).(U·(v,d)3-EXP-TIME(d ) ).2.2. Syntactische expansie.2.2.1.Redeneervormen (syntactisch).Wanneer we semantische structuren willen vastleggen buiten onze eigen denkwereld, of overdragen aan anderen, zullen we ze eerst in een empirische vorm moeten weergeven: een vorm die direct zintuiglijk waarneembaar is of althans in zintuiglijke aspecten voorstelbaar. Dit betekent dat we allereerst een keuze maken uit de deelverzamelingen van U·(v,d ). Aan de gekozen deelverzameling voegen we vervolgens samenhang toe, het 'cement' tussen de redeneerelementen. De elementen (in dit geval: logische relaties) in zo'n deelverzameling zijn eenvoudig te 'ver-talen' door codering in een tijdruimtelijke structuur, bijvoorbeeld in de lineaire structuur van taaluitingen of de tweedimensionale structuur van boomdiagrammen.We doen dit met behulp van symbolen zoals objectnamen en logische voegwoorden (connectieven), en kiezen een ordening volgens grammaticale regels van een gekozen taalsysteem (bijvoorbeeld propositielogica). De elementen van U·(v,d) zijn op semantisch niveau verzamelingen van voorwaardelijke waarheidsbeweringen.Op syntactisch niveau, in logische talen, zijn het verzamelingen van waarheidswaardepatronen, formules, proposities, theorema's, e.d.: zgn. 'theorieën'. Deze geven het domein weer op een discursief niveau. De structuur van redeneringen komt tot stand door de relaties tussen hun elementen, en die worden bepaald door verschillende factoren, de syntactische parameters volgens de PPL:
(a) Logische relaties.
(b) Volgorde. (c) Inbedding of 'nesting'. Wat zijn de gevolgen van deze parameters { Logische relaties, volgorde, inbedding } voor het aantal mogelijke redeneerschema's?
(a)
Logische relaties.De elementen van U·(v,d) zijn deelverzamelingen van logische relaties uitT·(v,d). Wanneer we ze als redenering opvatten zijn deze logische relaties op hun beurt onderling verbonden door bepaalde, meer basaal fungerende, logische relaties.Stel een deelverzameling U·(v,d)[k1] heeft een lengte (omvang) l[k1] elementen. Dan zijn tussen de redeneerelementen op l [k1] -1 plaatsen logische relaties mogelijk.Die logische relaties variëren over t. Dus het aantal mogelijke logisch gerelateerde versies van U·(v,d)[ k1] is tenminste (l[k1] -1 ) *t, oftewel (l[k1] * t ) -t.(b) Volgorde.Kiezen we symmetrische connectieven, zoals conjunctie, disjunctie, equivalentie, exclusief disjunctie, dan maakt de volgorde niet uit. Kiezen we asymmetrische connectieven, zoals (unidirectionele) implicaties, dan moeten we rekening houden met volgordevariaties (permutaties of sequenties). Het aantal permutaties wisselt voor elke deelverzameling U·(v,d) [m1] met een lengte van l[m1] elementen.dus (d1 =l[m1]),
Bijv. P(10,10)
(c) :=10!;:=3628800.Inbedding of 'nesting'.De connectiefkeuze bepaalt ook of we rekening moeten houden met hiërarchie tussen de elementen. In een lineaire structuur geven we die aan tekens (haakjes) voor inbedding. In een boomstructuur wordt ze weergegeven door groepering en onderschikking van de proposities als 'eindelementen' ten opzichte van hogere groepen. Wanneer de volgorde niet uitmaakt, afhankelijk van connectiefkeuze, is ook de hiërarchie tussen de elementen niet relevant. Er kan ook per deelverzameling variatie in de connectieven bestaan. Volgens de regels van de PPL hebben de connectieven zelf een onderlinge hiërarchie en daar volgt voor de redenering dus een (impliciete) nestingstructuur uit - die we uiteraard met inbeddingstekens expliciet kunnen maken. Deze ordening is echter arbitrair en (dus) selectief. We willen bij connectiefvariatie echter rekening houden met alle mogelijk voorkomende connectiefplaatsingen, en dus kunnen we beter voorbijgaan aan deze regels en gewoon de hiërarchie direct expliciet maken. 3. [Interpretatie.Een cruciale vraag in het dagelijks leven is: hoe kunnen we de waarde van een willekeurige hoeveelheid informatie bepalen? Dat kan gaan om bijv. bruikbaarheid, geloofwaardigheid, aannemelijkheid, betrouwbaarheid, .. en uiteindelijk waarheidsgehalte. In feite betekent dit dat we informatie willen kunnen herleiden (decoderen) naar reële eigenschappen van het domein waarop ze betrekking heeft. Anders gezegd, we zoeken naar een zinvolle, liefst een optimale interpretatie.] 3.2.1.1. Consistente Redeneervormen : zonder directe contradicties.Dit zijn deelverzamelingen van U·(v,d) zonder bewezen onwaarheid ( falsum) of beweringen die complementair zijn.De verzameling van alle mogelijke unieke consistente redeneervormen, zeg U·(v, d)(C), bestaat dus uit een (semantisch zwakkere) selectie van de deelverzamelingen vanU·(v,d).Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2) bestaat de verzamelingU·(v,d) (C) uit de volgende deelverzamelingen (consistente redeneervormen), elk met elementen (logische relaties), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:U·(v=2,d=2) (C)={ { $(1111)},{ $(1100)} ,{$(1010)} ,{$(0011)} ,{$(0101)},{ $(1000)} ,{$(0100)} ,{$(0010)} ,{$(0001)},{ $(1110)} ,{$(1101)} ,{$(1011)} ,{$(0111)},{ $(1001)} ,{$(0110)} }.U·(v=2,d=1) (consis)={ {' T'} ,{' A'} ,{' B'} ,{'¬A'} ,{'¬B'} ,{'( A B)'} ,{'( A ¬B
)'} ,{'(¬A B)'} ,{'(¬A ¬B
)'},{'( A B)'} ,{'( A ¬B
)'} ,{'(¬A B)'} ,{'(¬A ¬B
)'},{'( A B)'} ,{'( A #B)'} }.Omvang.De omvang van U·(v,d)(C), is, zeker bij iets grotere basisparameters, lastig te berekenen. Hieronder volgt een benaderingsformule.{ v, d, t, u |(u(C) ((u(C)=|U·(v,d)(C)|);(u1 ((U*[u1]
U·(v,d) );(¬(U*[u1] 
 ) (CONSIS(U*[u1]
);((U*[u1](C):=U*[u1] )(U*[u1]
(C)U·(v,d) (C) )(u[u1](C)=|U*[u1](C)|)(1 ≤u[u1](C)≤(t /2 ) ) ) ) )u1 );(U·(v,d)(C):=( U*[u1](C) ) );(u(C)=(u1 := 1, ..u ) (U *[u1](C)U·(v,d)(C) )|u[u1] ) );(u(C)<(t1 :=1, ..(t /2 ) ) (binomial((t /2 ), t1 )*b ) ) )u )t, d , v }.In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3,..} );volgt (u( C)={5, 941, ca. 7,6 ·10**39,..} ).
{N.b. Hoe is u(
C) te berekenen bij een willekeurig tupel (v,d)? Hiervoor zijn verschillende berekeningswijzen.Als uitgangsput dient steeds de verzameling T·(v,d) (met omvang t ).
(1) De meest extentionele methode:
(1a) Codeer de logische relaties in
Dit is een volkomen betrouwbare methode, maar al bij een (d > 2) wordt ze praktisch onuitvoerbaar
wegens de reusachtige omvang van T·(v,d) als digitale waarheidswaardepatronen.(1b) Construeer hiervan de power set, de verzameling van alle redeneervormen U·(v ,d).(1c) Loop alle subsets van deze verzameling langs, en toets ze op consistentie. Allereerst valt hierbij elke subset af met lengte (l > B·(v,d ))/2) omdat die altijd minstens één complementair paar elementen zal bevatten.(1d) Benader elke resterende subset als conjunctie en pas hierop uitputtend semantische reductie toe. Wanneer de uitkomst op onwaar (falsum) uitkomt, valt die subset af. Zo niet, dan tellen we haar bij het aantal consistente subsets. U·(v,d) en snel toenemende lengte van de subsets.(2) Een zuiniger methode verloopt als volgt:
(2a) Verwijder uit
Op deze manier hoeven we dus veel minder verschillende, en minder lange, subsets tegelijk te 'onthouden'.T·(v,d) het element falsum. Het resultaat is de consistente basisverzameling.(2b) Bouw vervolgens een matrix op voor de consistente subsets, oplopend gesorteerd naar hun lengte, uiteraard tot maximaal (l ≤ T·(v,d))/2). De eerste groep van deze subsets, vormt uiteraard de consistente basisverzameling, en de elementen hierin hebben uiteraard lengte 1.(2c) Voeg nu voor elke volgende lengte aan elke reeds bestaande subset steeds één volgend element toe uit de consistente basisverzameling, waarvoor geldt:
• Het element komt nog niet voor in die subset.
• De hiermee uitgebreide subset komt nog niet voor in de groep van dezelfde lengte. • De aldus ontstane subset, als conjunctie benaderd, waarop uitputtend semantische reductie wordt toegepast, komt niet uit op onwaar (falsum). Bij een beperkte (d ≤ 2) blijkt dit dan ook een exacte en efficiënte methode. Helaas blijkt ook deze methode bij een grotere d al snel onuitvoerbaar bij toenemende subset lengte . Bijv. voor (d =3) zijn de aantallen bij subset lengtes 1 tot en met 5 al snel kolossaal: {255, 29360, 1806000, 69443724, 1914019296, .. }.(3) Een derde methode werkt geheel intentioneel, maar met erg ruwe schattingen.
We zagen boven dat de omvang van
Bijv. voor (d T·(v,d) onder meer kan worden verkregen uit de som van de binomiaalcoëfficiënten per deelverzameling vanT·v,d van het aantal logische relaties t boven de mogelijke lengte t1 van die deelverzameling.De consistente versie van U·v,d zal hier op twee punten van afwijken:
• De lengtes van de deelverzamelingen bedragen maximaal (l ≤
T·(v,d ))/2);• Het aantal consistente deelverzamelingen per lengte zal altijd minder zijn dan de bijbehorende binomiaalcoëfficiënt. Dit gedeelte kan worden geschat op ruwweg gemiddeld 0,9 procent. =3) is een trend af te leiden die uitkomt op ca. 7,6 *10**39.3.2.1.2. Consistente redeneervormen van (1), zonder semantische redundantie binnen redeneervormen.Deze verzameling is gelijk aan de vorige versie, maar nu na (uitputtende) parafrase reductie, binnen elke deelverzameling. Hierdoor vallen alle logisch 'zwakkere' elementen binnen de deelverzamelingen weg, zonder informatieverlies. Het gevolg is dat veel 'dubbele' deelverzamelingen, ontstaan die uiteraard eveneens kunnen worden weggelaten, zonder informatieverlies. De verzameling van alle mogelijke unieke minimale consistente redeneervormen, zeg U·( v,d)(Cm), bestaat dus uit een (semantisch gelijkwaardige) comprimatie vanU·(v,d)(C) - verkregen via parafrase resp. doublure reductie - van haar deelverzamelingen.Omvang.Interessant is dat de omvang van U·(v,d)(Cm) gelijk is aan die van de verzamelingT·(v,d) waarbij elke logische relatie één afzonderlijke deelverzameling in beslag neemt, uitgezonderd het éne element falsum.{ v, d, t, u(C)|(u(Cm) ((u(Cm)=|U·(v,d)(Cm)|);(u(Cr) ((u (Cr)=|U·(v,d) (Cr)|);(u1(C) ((U* [u1](C)U·(v,d)(C) );(u1(Cr) ((U* [u1](Cr):=parf-rdc.(U* [u1](C) )(U*[u1]
(Cr)U·(v,d )(Cr) ) )u1(Cr) ) )u1(C) ) )u(Cr) );(U·(v,d)(Cr):=((u1(C) := 1,..u(C) ) (u1(
Cr) (u1(Cr)=u1(C) )u1(Cr)|U*[u1](Cr) ) ) );((U·(v,d)(Cm):=doub-rdc.(U·(v,d)(Cr) );(u1(Cm) ((U* [u1](Cm)U·(v,d)(Cm) );((u[u1](Cm)=|U*[u1](Cm)|)(u[u1](Cm)=1 ) ) )u1 (Cm) ) );(u(Cm)=(U*[u1](Cm)U·(v,d)(Cm) )|u[u1](Cm);=(t -1 ) ) )u(Cm) )u(C), t, d, v }.In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3,..} );volgt (u( Cm)={3, 15, 255,..} ).3.2.1.3. Consistente redeneervormen van (2), zonder semantische redundantie tussen redeneervormen.Vervolgens bekijken we de redeneervormen van U·(v,d)(Cm), die elk direct, als domeintoestand uitB(v,d), een afbeelding kunnen vormen van het bijbehorende domein. Elk hiervan bestaat zoals we eerder zagen uit d objecttoestandenH(v,d): voor elk object precies één.De parafrase-gereduceerde verzameling van alle mogelijke unieke minimale consistente redeneervormen, zeg U·(v,d)(Cmr), bestaat dus uit een selectie van deelverzamelingen vanU·(v,d)(Cm).Omvang.De omvang van U·(v,d)(Cmr) is uiteraard gelijk aan b.{ v, d, b, u(Cm)|(u(Cmr) ((u(Cmr)=|U·(v,d)(Cmr)|);((U·(v,d)(Cmr):=parf-rdc.(U·(v,d)(Cm) ) );(u1(Cmr) ((U *[u1](Cmr)U·(v,d)(Cmr) )((u[u1](Cmr)=|U*[u1](Cmr)|)(u[u1](Cmr)=d ) ) ) u1(Cmr) );(U·(v,d)(Cmr):=(U*[u1](Cmr) ) );(u(Cmr)=(U*[u1](Cmr)U·(v,d)(Cmr) )|u[u1];=b ) ) )u(Cmr) )u(Cm), b, d, v }.Voorbeeld.De vorige versie van de 'primitieve' verzameling, U·(v=2,d=1) (mC), na deze bewerking:U·(v=2,d=1) (Cmr)={ {$(10)} ,{$(01)} };U·(v=2,d=1) (Cmr)={ {' A'} ,{'¬A'} }.Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2) kan de verzamelingU·(v,d) (Cmr) bestaan uit de volgende deelverzamelingen met elementen (waarheidswaardepatronen), in arbitraire volgorde:U·(v,d)(Cmr)={ {$(1000) } ,{$(0100) } ,{$(0010) } ,{$(0001) } }.U·(v,d)(Cmr)={ {'( A B)' } ,{'( A ¬B)' }
,{'(¬A B)' } ,{'(¬A ¬B
)' } }.In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3,..} );volgt (u( Cmr)={2, 4, 8,..} ).3.2.1.4. Consistente redeneervormen van (3), met alle afleidbare consistente redeneerstappen.Dat zijn de zgn. 'maximaal consistente' deelverzamelingen (Niet te verwarren met de verzameling onder (1)). Voor dit type (deel)verzameling zijn exacte voorwaarden gedefinieerd.
(1) Ze bevat uitsluitend redeneerschakels die met de andere elementen binnen de (deel)verzameling c.q.
redeneervorm (consistent) verenigbaar zijn.
De verzameling van alle mogelijke unieke 'maximaal consistente' redeneervormen, zeg (2) Elk semantisch afwijkend element dat nog aan de (deel)verzameling wordt toegevoegd leidt tot contradictie met één of meer aanwezige elementen, dus inconsistentie van de (deel)verzameling. U·(v,d)(mC), bestaat uit alle deelverzamelingen vanU·(v,d)(Cmr) die maximaal zijn uitgebreid terwijl ze nog steeds consistent blijven.Het resultaat wordt dus gevormd door een selectie uit U·(v,d)(C) van uitsluitend die (unieke, consistente) deelverzamelingen met maximale omvang die (uiteraard) nog intern consistent zijn èn die ook onderling consistent zijn.Elke deelverzameling van de verzameling U·(v,d) (mC) behoort tot de categorie, of het type, van zogeheten Hintikka verzamelingen.(Het omgekeerde geldt niet noodzakelijk). Omvang.De omvang van U·(v,d)(mC), is gelijk aan de helft van t.{ v, d, b, t, u(C)|(u(mC) ((u(mC)=|U·(v,d)(mC)|);(u1(C) ((U* [u1](C)U·(v,d)(C) );(((u[
u1](C)=|U*[u1](C)|)(1 ≤u[u1](C)≤(t /2 ) ) );((u[u1](C)=(t /2 ) )(u1(mC) ((U* [u1](mC):=U*[u1](C) )(U*[u1](mC)U·(v,d)(mC) ) )u1(mC) );(U·(v,d)(mC):=(U*[u1](C) ) );(u(mC)=|(u1(mC) := 1,..u(mC) ) (U*[u1] (mC)U·(v,d) (mC) ) u[u1];=b ) ) )u(mC) )u(C), t, d, v }.In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3,..} );volgt (u( mC)=2, 8, 128, 32 768,..} ).Voorbeeld.De vorige versie van de 'primitieve' verzameling, U·(v=2,d=1) (C) na deze bewerking:U·(v=2,d=1) (mC)={ {$(11), ,$(10)} ,{$(11), ,$(01)} };U·(v=2,d=1) (mC)={ {' T' ,' A'} ,{' T' ,'¬A'} }.Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2) bestaat de verzamelingU·(v,d) (mC) uit de volgende 4 deelverzamelingen met elk 8 elementen (waarheidswaardepatronen), in arbitraire volgorde:U·(v=2,d=2) (mC)={ { $(1000) ,$(1100) ,$(1010) ,$(1001) ,$(1110) ,$(1101) ,$(1011)$(1111) },{ $(0100) ,$(1100) ,$(0101) ,$(0110) ,$(1110) ,$(1101) ,$(0111)$(1111) },{ $(0010) ,$(0011) ,$(1010) ,$(0110) ,$(1110) ,$(1011) ,$(0111)$(1111) },{ $(0001) ,$(0011) ,$(0101) ,$(1001) ,$(1101) ,$(1011) ,$(0111)$(1111) } }.U·(v=2,d=2) (mC)={ {'( A B)' ,' A' ,' B' ,'( A
B)' ,'( A B)' ,'(¬A
B)' ,'( A ¬B)' ,' T' }
,{'( A ¬B)' ,' A' ,'¬B' ,'( A #B)' ,'( A B)' ,'( A ¬B
)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' },{'(¬A B)' ,'¬A' ,' B' ,'( A #B)' ,'( A B)' ,'(¬A B
)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' },{'(¬A ¬B)' ,'¬A' ,'¬B' ,'( A
B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A
B)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' }
}.3.2.2. Ware redeneervorm(en).Tenslotte bekijken we welke van de consistente redeneervormen op waar uitkomen. Er zijn voor zo'n zogeheten evaluatie twee mogelijkheden. 3.2.2.1. Geldigheid - onafhankelijk van domein.Logisch geldig is in ieder geval één of meer van de consistente redeneervormen uit de (maximale) verzameling van mogelijke minimale consistente redeneervorm(en), U·(v,d)(Cm).De verzameling van alle mogelijke unieke logisch geldige redeneervorm(en), zeg U·(v, d)(Cmd), bestaat dus in alle gevallen uit één samengesteld element: de disjunctie van alle redeneervormen uit die verzameling, zoals gezegd elk bestaande uit één logische relatie.Omvang.{ v, d, u(Cm)|(u(Cmd) ((u(Cmd)=|U·(v,d)(Cmd)|);(n ((n =u (Cm) )((n =(t -1 ) )(U·(v,d)(Cmd):={U*[1](Cm)U
*[2](Cm)..U*
[n](Cm) };:=( (u1(Cm) := 1,..u(Cm) ) (U*[u1](Cm)U·(v,d)(Cm) )u1(Cm)|U*[u1] (Cm) ) ) ) )n );(u(Cmd)=1 ) )u (Cmd) )u(Cm), d, v }.Voorbeeld.Bij twee waarheidswaarden (v =2, binair systeem) en twee items (d=2) bestaat de verzamelingU·(v,d) (Cmd) uit één deelverzameling met één element (waarheidswaardepatroon):U·(v=2,d=2) (Cmd)={ {$(1111) } }.U·(v=2,d=2) (Cmd)={ {'T' } }.3.2.2.2. Waarheid - afhankelijk van domein.Pas wanneer we redeneervormen op een een specifiek domein toepassen zal blijken of één of meer van de domeintoestanden uit B·(v,d) van toepassing is, of zogezegd 'het geval is'. Hierbij vindt parafrase reductie plaats op alle nog 'openstaande' mogelijkheden uit de disjunctie van consistente redeneervormen,U·(v,d)(Cmd) (via transferende equivalentie reductie).Omdat die disjunctie tegelijk alle mogelijkheden van vervulbare redeneervormen bevat, komt deze operatie neer op uitputtende degressief reductie. Het eindresultaat hiervan is de verzameling van alle mogelijke unieke ware redeneervormen, zeg U·(v,d)(rdu). Deze bestaat in alle mogelijke gevallen uit één element: 'waarheid' (verum, oftewel '$1').Daarmee verliezen we overigens elke mogelijkheid om verder informatie af te leiden, dus alle logische kracht. Deze laatste stap brengt ons dus op het eindpunt van de gehele cyclus van expansie en reductie van een logisch systeem binnen de reikwijdte van zijn waardeschaal. Omvang.{ v, d, u(Cmr)|(u(rdu) ((u(rdu)=|U·(v,d)(rdu)|);
(
u1(Cmr) ((U*[u1](Cmr)U·(v,d) (Cmr) )((U*[u1](Cmr) )$=1 )((U*[
u1](Cmr) $1 )((U·(v,d)(rdu)=U*[u1](Cmr) )(U·(v,d)(rdu) $1 ) ) ) ) )u1(Cmr) );(u(rdu)=1 ) )u (rdu) )u(Cmr), d, v }.2.1.6.Redeneringen , afleidingen (semantisch).
(1)
Beperkingen van redeneervormen in conjunctie.In het voorgaande hebben we verzamelingen van formules geïnterpreteerd als redeneringen met als hoofdconnectief de conjunctie. Dit is nuttig wanneer we de verkregen conjuncties opvatten als zelfstandige stellingen met als impliciete conclusie hun minimale parafrase reduct versie. Nadeel is echter dat het redeneerschema een statische toestand van een hoeveelheid informatie weergeeft. Dit is echter niet de enige, en misschien ook niet de belangrijkste vorm van redeneren die 'in de natuur' voorkomt, dat wil zeggen door mensen wordt geuit of gebezigd. Bovendien mist deze vorm van redeneren de mogelijkheid om logische relaties tussen deelverzamelingen van U·(v,d) te leggen.Hierdoor kan bijvoorbeeld geen tautologie tussen zulke deelverzamelingen worden weergegeven - ook al zijn deze identiek en is zo'n stelling dus triviaal.
Bijv.: (X
 X ).(2) Redeneringen als afleiding.Een zeer algemeen 'in de natuur' voorkomende redenering is die waarbij op zijn minst één denkstap wordt gezet. Dat wil zeggen dat uit een bepaalde verzameling gegevens (feiten, verbanden) een andere verzameling gegevens wordt afgeleid. Zo'n afleiding heeft als hoofdconnectief de implicatie. Kort gezegd, elke redenering heeft de vorm 'premisse impliceert conclusie'.
Bijv.: (X
Een redenering in een systeem met schaal v waarden over een domein met d objecten zal
en dus de vorm hebben van een afleiding met de vorm Y ).
Bijv.: (X·(v,d)
In het algemeen redeneren we vanuit een verzameling uitgangspunten (premissen) naar een verzameling conclusies.Y·(v,
d) ). Dit betekent dat zowel de premisse-groep als de conclusie-groep
bestaat uit een bepaalde deelverzameling van U·(v,d).
(a) De premisse wordt gevormd door een bepaalde deelverzameling uit
U·(v,d) , zegU·(v,d)[k1] met lengte (omvang) l [k1] elementen.(b) De conclusie wordt gevormd door een (andere of dezelfde) deelverzameling zeg U·(v ,d)[m1] met lengte (omvang) l[m1] elementen.R·(v,d)[k1,m1]: Een redenering van (een element van)U·(v,d) naar (een element van)U·(v,d).Deze krijgt globaal genomen de vorm: (v d |k1
m1 ( R·(v,d)[k1, m1](U·(v,d)[k1]U·(v,d)[m1] ) ) ).(3) De verzameling van afleidingen.R·(v,d)[U]: De verzameling van alle mogelijke unieke redeneringen c.q. gevolgtrekkingen op semantisch niveau.(v d |R·(v,d )[U]:= (k1 := 1, ..u ) (m1 := 1, ..u )R·(v,d)[U][k1,m1] ) );Dit betekent dat de verzameling van alle mogelijke unieke redeneervormen
onder de parameters {v,d} wordt gevormd door een matrix:(v d |R·(v,d )[U]:=(U·(v,d)XU·(v,d)) );Omvang.ru: Het totale aantal van alle mogelijke unieke redeneringen c.q. gevolgtrekkingen. De omvang van de verzameling wordt uiteraard gevormd door het
Cartesisch product (u·u).
r·(v,d)u
=|R·(v,d)[U]|;=u ·(v,d)·2.In een binair systeem.[? Hier nog maar even niet ?] (4) Redeneringen zijn op semantisch niveau onafhankelijk van syntactische variatie.In principe kunnen beide componenten van een afleiding een interne organisatie hebben overeenkomstig de syntactische parameters in de PPL: logische relaties (door connectieven), volgorde, inbedding of 'nesting' (door 'haakjes ' of boomdiagram). Het aantal mogelijke variaties van syntactische structuren dat dit oplevert is zoals we boven zagen vrijwel onafzienbaar (Letterlijk oneindig als je herhaling c.q. doublures toelaat). Premisse en conclusie kunnen elk dan ook in welhaast oneindig veel verschillende logisch-syntactische vormen worden gecodeerd. We bekijken de redeneervormen nu echter op semantisch niveau. We weten dat de syntactische vormen van redeneringen in principe zijn te reduceren tot hun semantische inhoud, volgens de regels en technieken van de PPL. (Dit staat los van de vraag of mensen in het algemeen in de praktijk beschikken over voldoende middelen en vaardigheden om die reducties uit te kunnen voeren - wat uiteraard valt te betwijfelen). Dit betekent dat we zonder problemen kunnen voorbijgaan aan
alle mogelijke syntactische variaties en rechtstreeks kunnen kijken naar de mogelijke redeneringen op semantisch niveau.
Hoewel de redeneringen als geheel (op hun baseline) in implicatie staan kunnen we de deelverzamelingen die de beide componenten vormen in conjunctie beschouwen. 2.1.7.Minimale redeneringen, afleidingen (semantisch).(1) De verzameling redeneringen in hun minimale parafrasevorm.Elk van de deelverzamelingen in de twee componenten van de afleiding kan altijd volgens logische wetten worden gereduceerd tot de kleinst mogelijke logisch-semantische inhoud: in dit geval logische relaties in een domein met d objecten. Daarbij beschouwen we de componenten zoals gezegd in conjunctie. We gaan voor het gemak uit van een binair systeem. Dit heeft altijd 2 waarden: valentie
(v
Dit systeem kent een aantal logische relaties zoals we eerder zagen:=2 ).
(t
=v **(v **d ) ).De verzameling mogelijke redeneringen kan dus gereduceerd worden tot
haar parafrase reduct versie op semantisch niveau.R·(v,d)[T] De verzameling van alle mogelijke unieke minimale redeneringen c.q. gevolgtrekkingen op semantisch niveau.(v d |(k1
m1 ( R·(v,d)[U][k1,m1](U·(v,d)[k1] in conjunctieU·(v,d)[m1] in conjunctie );(Cj(U·(v,d)[k1 ]Cj(U·(v,d) [m1] );(U·(v,d)[k1]synpar-rdcU·(v ,d)[m1]synpar-rdc);par-rdc (p1
q1 ( (T·(v,d)[p1]T·(v,d)[q1] );R·(v,d)[T] [p1,q1] ;R·(v,d)[T]:= (p1 := 1, ..u ) (q1 := 1, ..u )R·(v,d)[T][p1,q1] ) ) );De parafrase reduct versies van premisse en conclusie
zullen elk dus bestaan uit precies één element uit elk van de oorspronkelijke deelverzamelingen k1, m1,
uit U·(v,d).Dit betekent dat de verzameling van alle mogelijke unieke minimale
redeneervormen onder de parameters {v,d} wordt gevormd door een matrix (v d |R·(v,d )[T]:=(T·(v,d)XT·(v,d) );Omvang.r t: Het totale aantal van alle mogelijke unieke minimale redeneringen c.q. gevolgtrekkingen. De omvang van deze verzameling wordt uiteraard gevormd door het
Cartesisch product (t·t).
r·(v,d)t
=|R·(v,d)[T]|;=t ·(v,d)·2.In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt als aantallen afleidingsrelaties (u2 ={ 16, 256, 65536, 4294967296, 1.8446744 *10 **019), 3.4 ·(10 **038), 1.15792 *(10 **077), 1.34078 ·(10 **154 ), 1.79769 *(10 **308), 3.2317 *(10 **616), .. } );(2) Evaluatie van redeneringen.Uiteindelijk willen we weten of een redenering steekhoudend is, oftewel geldig. Welke van de afleidingsrelaties uit de matrix R·(v,d)[T] zijn nu geldig?Elk element van de matrix R·(v,d)[T] is als implicatie simpel op te lossen volgens de regels van de algemene waarheidswaardetabel.
Zie boven, 2.1.4. Waarheidswaardetabel.
Zie ook: Principes van Logische bewijsvoering; (4.1a) Methode van Waarheidswaardentabellen. En: Bewijsmethode voor Propositielogica: de Waarheidswaardentabel-methode.
(1)
Codering als binaire getallen.Elk van de logische relaties in de componenten van R·(v,d)[T] kan in het meest simpele logische systeem, propopositielogica (PPL), worden gecodeerd als binaire waarheidswaardepatroon.Anders gezegd, voor beide componenten bestaat een parafrase in de vorm van één uniek binair waardepatroon. Elk van deze waardepatronen is element van de verzameling (waardepatronen van) logische relaties T·(v,d)[k1].Dit betekent, zoals we zagen, dat elk van deze binaire patronen een lengte heeft van:
b·(v,d)
(2) =v·**d.Parafrase-reductie tot één binair getal.De uitkomsten bestaan weer uit binaire waarheidswaardepatronen. (3) Interpretatie van de binaire uitkomst.Interpretatie:
(a) Alle bits staan op 0 : contradictie.
Alleen het geval indien 'waar impliceert onwaar' (d.w.z. 1 > 0). (b) Niet alle bits staan op 0 : consistentie. (c) Alle bits staan op 1 : validiteit. (3) Geldige redeneringen.Het totale aantal van alle mogelijke unieke contradictoire redeneringen c.q. gevolgtrekkingen is simpelweg hetzelfde als dat van elke verzameling discuncties: precies 1. Het totale aantal van alle mogelijke unieke consistente redeneringen c.q. gevolgtrekkingen is dus simpelweg r ·(v,d)t -1. Omvang.xt: Het totale aantal van alle mogelijke unieke valide redeneringen c.q. gevolgtrekkingen. De formule voor het aantal valide afleidingsrelaties xt bij valentie v =2 en aantal objecten d is:
xt·(v,d)
=(v +1)·**b ;=(v +1)·**(v·**d);In een binair systeem.
Bijv., onder (v
=2 );uit (d ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..} );volgt als aantallen geldige implicaties: { 9, 81, 6561, 43046721, 1.853 ·(10 **015), 3.4337 ·(10 **030), 1.179 ·(10 **061), 1.39 ·(10 **122), 1.93 ·(10 **244), 3.7339 ·(10 **488), // .. } ); En als percentages geldige implicaties: { 56.25, 31.64, 10.01, 1.00229, 0.01, 0.00001, 1.01822 ·(10 **-012), 1.03677 ·(10 **-030), 1.074897 ·(10 **-062), 1.1554 ·(10 **-124), .. } ); Hieronder volgt een tabel met de belangrijkste afmetingen van de hierboven genoemde verzamelingen.
Bijvoorbeeld: Met 10000 items kun je een aantal 'minimale redeneringen' maken (op semantisch niveau) waarvan het getal bestaat uit een aantal cijfers waarbij je de lengte van het getal kunt weergeven met een exponent ( decimaal logaritme) met een lengte van 3011 cijfers. Dus niet het getal zelf is 3011 cijfers lang, maar de exponent waarmee je haar lengte weergeeft. Ter vergelijking.Om de bovenstaande getallen enigszins in perspectief te plaatsen volgen hieronder enkele voorbeelden van grote aantallen in de natuur (alle volgens tamelijk ruwe schattingen). In het menselijk lichaam.• Het aantal cellen in het menselijk lichaam: ca. 10 **14. • Het aantal verschillende eiwitten die zijn op te bouwen uit 100 aminozuren: ca. 10 **130. In het heelal.• Het aantal clusters van sterrenstelsels: ca. 4 ·10 **8. • Het aantal sterrenstelsels in het heelal: ca. 10 **11. • Het aantal sterren per sterrenstelsel: ca. 10**8 tot 10**14. • Het aantal sterren in 'ons' sterrenstelsel, de Melkweg: ca. 10**11. • Het aantal sterren in het waarneembare heelal: ca. 10 **22. • Het aantal moleculen in het waarneembare heelal: ca. 10 **80. Op aarde.• Het totale aantal vissen in de oceanen: ca. 3,5 ·10 **9. • Het aantal mieren op aarde: ca. 3,5 ·10 **12. • Het totale aantal zandkorrels op alle stranden op aarde: ca. 10 **21. Met 5 items kun je al bijna zoveel -unieke, minimale- redeneringen maken als het totale aantal zandkorrels op alle stranden op aarde. Met 7 items, de gemiddelde geheugencapaciteit van ons bewuste aandachtsvenster, kun je al bijna zoveel -unieke, minimale- redeneringen maken als er moleculen zijn in het waarneembare heelal. Deze -letterlijk- astronomische getallen geven het niveau van complexiteit weer en daarmee beslisproblemen. Daarbij helpt het niet om te denken aan een meer geavanceerd logisch systeem. Als algemene regel geldt: hoe geavanceerder het logische systeem, hoe meer expressief vermogen het heeft, maar hoe minder beslisvermogen. Met elke stap naar een meer geavanceerd logisch systeem, zoals modale logica, meerwaardige logica, predikatenlogica, enz., en ook zgn. 'fuzzy logica', nemen de aantallen, zoek-, complexiteits- en beslisbaarheidsproblemen enkel maar opnieuw explosief toe! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
