Cursus / training:

Methode voor Logische Analyse


Principes van Formele logica.



Combinatorische explosie in Logische systemen





Combinatorische explosie in Logische systemen



Inleiding:

Grondslag van een Logisch systeem.



Oordeelsvorming maakt gebruik van informatie


Onze oordelen en inschattingen lijken in veel opzichten op onze overige reacties en beslissingen. We baseren ze op informatie die we beschikbaar hebben, op bewust maar ook op onbewust niveau.

Informatie en verschil.


Over het begrip 'informatie' zijn veel verschillende opvattingen. Om misverstanden te vermijden, en de wezenlijke betekenis van het begrip te begrijpen, is het handig om eerst te kijken naar haar meest kenmerkende eigenschap. Die wordt duidelijk wanneer we ons de situatie voorstellen waarin ze er totaal níet is. Zonder enige informatie is er alleen zinloze chaos, niets-zeggende ruis (noise), totale vaagheid, een volstrekt niet-weten.
Informatie begint pas bij onderscheiding van enig verschil. Zodra een onderscheid valt te maken - bijv. een verschil tussen wel/niet, aan/uit, ja/nee, waar/onwaar, enz. - ontstaat enige ordening. Alleen dan wordt redeneren mogelijk, en is de logica van toepassing. Elke hoeveelheid informatie impliceert dus minstens één verschil.

Informatie en ordening.


Elk verschil impliceert op zijn beurt minstens twee 'dingen', verschijnselen of toestanden in een gebied in de werkelijkheid. Op basis van onderscheidingen kunnen dus combinaties van dingen worden beschouwd.
Tussen die dingen bestaat tegelijk minstens één ordeningsrelatie, namelijk die welke noodzakelijk volgt uit datzelfde bespeurde verschil.
Bovendien, om enige betekenis voor ons te hebben, kan informatie sowieso niet bestaan uit louter losse gegevens. We bekijken informatie altijd in een bepaalde samenhang. Dit impliceert dat ze de mogelijkheid biedt ordening te onderscheiden.
Omgekeerd bezien vertegenwoordigt elke ordeningstoestand, of structuur, op zichzelf genomen een bepaald gehalte aan informatie.

Logische relaties.


Gegeven een willekeurige verzameling elementen kunnen we kijken welke logische relaties tussen die elementen mogelijk zijn.
De logische relaties hebben betrekking op de verschillende toestanden of waarden die de elementen afzonderlijk kunnen aannemen, alsook door hun onderlinge afleidingsrelaties.

Informatie en redenering.


Door het combineren van gegevens kunnen we meer complexe vormen van informatie verkrijgen.
Dit doen we uiteraard door middel van onze gedachten.
Elke gedachtegang, en in feite elk proces van informatieverwerking, heeft de algemene vorm van een redenering, dat wil zeggen:
Redeneren:
Een aantal uitgangsgegevens worden gecombineerd, en uit de combinatie worden volgende gegevens afgeleid.
De manieren waarop die combinaties kunnen worden gemaakt, en de waarden die deze combinaties kunnen aannemen, worden bepaald door de wetten van de logica.
Uiteraard gelden deze eigenschappen ook en bij uitstek voor elke oordeelsvorming. Die kan beschouwd worden als redeneervorm, omdat ze aangrijpt op informatie, en vervolgens resulteert in bepaalde informatie.

Logische wetten.


De logische wetten hebben louter betrekking op de relaties tussen gegevens, dat wil zeggen de combinaties en afleidingen; en niet op de afzonderlijke gegevens (zoals directe waarnemingen en gevoelens). Ze gelden ook onafhankelijk van de inhoud en de aard van de gegevens, m.n. mogelijke variaties in onderwerp, domein, probleem, doel, toepassing, toepassingsgebied, enz..

Trappen van logische complexiteit.


Elke redeneervorm bestaat uit een combinatie van één of meer onderscheiden logische relaties.
Redeneringen zijn - letterlijk - in elke denkbare vorm mogelijk, maar ook in elke ondenkbare vorm: ze zijn vrijwel onbeperkt in mogelijke variatie, complexiteit en omvang. Zoals we hieronder zullen zien, reikt dit al in een klein aantal stappen onafzienbaar ver buiten het voorstellings- en bevattingsvermogen van mensen, en evengoed buiten de reken- en opslagcapaciteit van fysieke of zelfs theoretische computers van elke voorstelbare omvang.
Gelukkig kunnen al die mogelijke vormen worden geordend en beoordeeld met behulp van de wetten van de logica. Inzicht in de wetten van de logica is daarom onontbeerlijk voor elke zinvolle en betrouwbare oordeelsvorming. Voor het optimaal benutten van de logica is een helder inzicht in de minimale niveau's van logische complexiteit en hun proporties onmisbaar.

Logische mogelijkheden in informatie.


In dit overzicht kijken we naar de mogelijke logische relaties gegeven een willekeurige verzameling eenheden (items).
Dit gaat onvermijdelijk gepaard met combinatorische explosie.
Hieronder volgen enkele regels voor kwantificatie van combinatorische explosie in propositielogica en in predikatenlogica.

Logisch systeem.



S!

: een logisch systeem ('apparaat', calculus).

S!

PPL :

S!

is een systeem in de propositielogica (

PPL

) (of hoger).

S!

PDL-I :

S!

is een systeem in de predikatenlogica (

PDL-I

), first-order logic (

FOL

) (of hoger).
SEM!(

S!

) : de semantiek, een verzameling ordeningsregels, van

S!

.

L!

: een formeel systeem (taalsysteem).

L!

PPL :

L!

is een taal in de propositielogica (

PPL

) (of hoger).

L!

PDL-I :

L!

is een taal in de predikatenlogica (

PDL-I

), first-order logic (

FOL

) (of hoger).
SYN!(

L!

) : de syntax, of grammatica, een verzameling ordeningsregels, van

L!

.
WFF*(

L!

) : de verzameling welgevormde uitspraken (well-formed formulas) van

L!

.

1.  Basisparameters.



1.1.  Objecten.


Toepasbaar in

PPL

en hoger.

D

* : (referentieel) domein of populatie, verzameling elementen d[d1];   waarbij (d1

=

1, .. d).
d : domein- of populatie-omvang; totaal aantal unieke objecten, domein-elementen ('dingen', fenomenen, items, variabelen) d[d1] in

D

*.

D

*

=

{d[1], .. d[d1], .. d[d] }.
d

=

|

D

*

|

.

Voorbeeld.


Bij twee items (d

=

2 ) kan de verzameling

D

·d bestaan uit de volgende elementen (objecten), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:
{ (d

=

2 ) (

D

·d

=

  {' A' ,' B'} ) }.
In principe kan het domein ook leeg zijn. Dat maakt het oordeelssysteem

S!

[s1] dan wel uiterst minimaal, zo niet futiel.
Enkele voorbeelden van beweringen in zo'n 'minimaal' systeem, in een formele taal:
{ (d

=

0 ) (

D

·d

=

{} ) : ({}

=

(v) {} ); (({})

$

=

(v)

$

0 ); ({}

=

(r)

$

0 ); etc.}.
Ook kan het domein uit één element bestaan. Maar dan blijft het oordeelssysteem

S!

[s1] ook buitengewoon simpel.
Enkele voorbeelden van beweringen in zo'n 'primitief' systeem, in een formele taal:
{ (d

=

1 ) (

D

*

=

{d[1]} ) : ((d[1] )

$

=

(v)

$

1 ); ((d[1] )

$

=

(v)

$

0 ); etc.}.

Bereik.


Wanneer het aantal objecten minder dan één is, wordt elke redenering zinloos.
Wanneer het echter oneindig is, worden onnoemelijk veel redeneringen over het domein in de praktijk onbeslisbaar.
Voor een domein dat zinvol is en hanteerbaar (manageable), geldt:
{ (d  

=

|

D

*(

mgb

)

|

); (1

d

<

0 ) }.

1.2.  Waarden.


Algemeen toepasbaar op objecten.

V

* : waarderingsstelsel of 'waardenpalet', verzameling waarden v[v1];   waarbij (v1

=

1, ..v).
v : totaal aantal unieke waarden, toestandswaarden, of objectwaarden (valenties, schaal); bijv. waarheidswaarden, v[v1] in

V

*.

V

*

=

{v[1], .. v[v1], .. v[v] }.
v

=

|

V

*

|

.

Voorbeeld.


Bij twee waarden (v

=

2 ) kan de verzameling

V

·v bestaan uit de volgende elementen (waarden), hier weergegeven met waarde constanten en in arbitraire volgorde:
{ (v

=

2 ) (

V

·v

=

  {0 ,1 } ) }.

Bereik.


Wanneer het aantal waarden minder dan twee is, wordt elke toekenning van waarde betekenisloos, en daardoor wordt elk begin van een zinnige redenering onmogelijk.
Wanneer dit aantal echter oneindig is, wordt vrijwel elke redenering over het domein in de praktijk onbeslisbaar.
Voor een waardenpalet dat zinnig is en hanteerbaar (manageable), geldt:
{ (v  

=

|

V

*(

mgb

)

|

); (2

v

<

0 ) }.
In de

PDL

komen daarbij nog aanvullende parameters.
(2a) p : totaal aantal unieke predikaat-variabelen (attributen, predikaatnamen); waaronder evt. identiteit, '='.
(2b) r : (maximaal) totaal aantal unieke argument-plaatsen, of ariteit, per predikaatnaam.
(neem hiervoor omwille van eenvoud en zekerheid eventueel het maximum over alle predikaatnamen).
(2c) n : totaal aantal unieke elementen (individuen, objecten) in het referentieel domein (de populatie).
Het (maximaal) aantal unieke items a is in

PDL

van deze laatste drie een afgeleide.
{p

a

(p *MAX(1,(r *n)) }.
M.a.w., hebben we voor een

PDL

systeem voldoende informatie over de parameters p, r en n, dan kunnen we a berekenen en verder redeneren conform de regels voor een

PPL

systeem.

2.  Combinatorische mogelijkheden.



2.1.  Semantische expansie.



2.1.1.  Elementaire objecttoestanden.


Objecttoestanden worden gevormd door paren, of tupels (het Cartesisch product) uit de v waarden en d elementen.
Ze geven het domein weer op een observationeel niveau.
Op semantisch niveau zijn dit waarheidsbeweringen met betrekking tot de toestand van afzonderlijke objecten.
In logische talen zijn dit bijv. literalen, grondinstanties, of 'witnesses'.
Deze zijn te vergelijken met steekproeven (samples) uit een populatie.

H

·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke objecttoestanden.
h : Het totale aantal mogelijke unieke objecttoestanden.

Voorbeeld.


In het simpelste, universeel toepasbare logisch systeem, met twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2), bestaat de verzameling

H

·(v,d) uit de volgende elementen (objecttoestanden), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:
(

H

·(v

=

2,d

=

2)

=

  { ' A' ,'¬A' ,' B' ,'¬B' } ).

Omvang.


{ v, d

|

(h ((h

=

|

H

·(v,d)

|

);
(h  

=

(

|

V

·v

|

,

|

D

·d

|

);

=

v *d   ) )h )d, v }.

In een binair systeem.


Onder (v

=

2 ) geldt:

H

·(v,d) is even groot als de verdubbeling van verzameling

D

·d.
Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

..

} );
volgt (h

=

{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,

..

} ).

Bereik.


Het getal h blijft lineair (polynomiaal) in d.
(2

h

<

0 ).

Complexiteitsklasse.


De verzameling

H

·(v,d) blijft binnen de klasse van aftelbaar oneindige verzamelingen (countable infinite sets, denumerable sets).
Is dus algoritmisch doorzoekbaar - met een singletape Turing machine - binnen lineair polynomiale rekentijd (

P-TIME

).
(

H

·(v,d)

POLY

(d**1 );

TIME

(d );

P-TIME

).

2.1.2.  Domeintoestanden.


Domein toestanden bestaan uit conjuncte combinaties van alle objecten met hun specifieke waarden, dus verschillende objecttoestanden.
Ze geven het domein weer op een louter beschrijvend niveau.
Op semantisch niveau zijn dit waarheidsbeweringen met betrekking tot de toestand van het gehele domein dat we in ogenschouw nemen.
Ze zijn te vergelijken met de cellen (categorieën van variantie) van een zgn. contingentie tabel (cross tabulation, of 'crosstab'), die de grondslag vormt voor talrijke statistische maten voor de vergelijking van varianties, met name Chi-kwadraat2), en varianten of afgeleiden daarvan, zoals correlatie coëfficiënt, regressie coëfficiënt, Student's t, F, Fisher z, enz..

B

·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke domeintoestanden.
b : Het totale aantal mogelijke unieke domeintoestanden.

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2) bestaat de verzameling

B

·(v,d) uit de volgende elementen (domeintoestanden), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:
(

B

·(v

=

2,d

=

2)

=

  {'( A B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)' } ).

Omvang.


Het getal b komt overeen met het aantal herhalingsvariaties, oftewel, volgordevariaties met teruglegging c.q. herhaling, met omvang (lengte) d uit v elementen.
{ v, d

|

(b (b

=

|

B

·(v,d)

|

;
(b  

=

(d1 := 1,

..

d )
v;  

=

v **d )b )d, v }.
Dit aantal bepaalt de lengte van digitale waarheidswaardepatronen van de logische relaties.
Het is gelijk aan het aantal rijen in de waarheidswaardentabel.

In een binair systeem.


Onder (v

=

2 ) geldt:

B

·(v,d) is even groot als de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen - de machtsverzameling of power set - van

D

·d.
(v

=

2) (b

=

|

B

·(2,d)

|

;

=

|

P

**d

|

).
Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

..

} );
volgt (b

=

{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,

..

} ).

Bereik.


Het getal b blijft exponentieel in d.
(2

b

<

0 **0 );

Complexiteitsklasse.


De verzameling

B

·(v,d) blijft binnen de klasse van de niet-aftelbaar oneindige verzamelingen (uncountable infinite sets).
Is dus algoritmisch doorzoekbaar binnen exponentiële rekentijd (

EXP-TIME

).
(

B

·(v,d)

EXP-TIME

(d ) ).

2.1.3.  Logische relaties.


Logische relaties geven het domein weer op een analytisch niveau.
Op semantisch niveau zijn dit voorwaardelijke waarheidsbeweringen met betrekking tot de toestand van het gehele domein of delen ervan.
In logische talen zijn dit bijv. waarheidswaardepatronen, formules, proposities, theorema's, e.d..
Deze komen overeen met de kolommen in de waarheidswaardentabel.

T

·(v,d) : De verzameling van alle mogelijhke unieke logische relaties.
t : Het totale aantal mogelijke unieke logische relaties.

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2), bestaat de verzameling logische relaties (

T

·(v,d)) uit de volgende elementen ( logische relaties), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:
(

T

·(v

=

2,d

=

2)

=


{' T' ,' F' ,' A' ,' B' ,'¬A' ,'¬B'
,'( A B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)'
,'( A B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)'
,'( A B)' ,'( A

#

B)' } ).

Omvang.


Het getal t is het aantal volgordevariaties met teruglegging/ herhaling (herhalingsvariaties) met omvang (lengte) b uit v elementen.
{ v, d, b

|

(t ((t

=

|

T

·(v,d)

|

);
(t  

=

(b1 := 1,

..

b )
v;  

=

|

B

·(v,b)

|

;

=

v **

|

B

·(v,d)

|

;

=

v **(v **d) ) )t )b, d, v }.

In een binair systeem.


Onder (v

=

2 ) geldt:

T

·(v,d) is even groot als de power set van de power set van

D

·d.
(v

=

2) (t

=

|

T

·(2,d)

|

;

=

|

P

**b

|

;

=

|

P

**|

P

**d

|

|

).
Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

..

} );
volgt (t

=

{ 4, 16, 256, 65 536, 4 294 967 296, 1.844674407371 ·(10**19), 3.402823669209 ·(10**38), 1.157920892373 ·(10**77), 1.340780792994 ·(10**154), 1.797693134862 ·(10**308),

..

} ).

Bereik.


Het getal t blijft hyperexponentieel in d.
(2

t

<

0 **(0 **0 ) );

Complexiteitsklasse.


De verzameling

T

·(v,d) is algoritmisch doorzoekbaar binnen hyper-exponentiële rekentijd (

2-EXP-TIME

).
(

T

·(v,d)

2-EXP-TIME

(d ) ).

2.1.4.  De waarheidswaardentabel.


Gegeven een gekozen domein

D

·d en waardepallet

V

·v worden de mogelijke directe logische relaties-tussen-relaties volledig gedefinieerd door middel van de zgn. waarheidswaardentabel.
Deze wordt opgebouwd volgens een systematische waardetoekenning (validatie) van de objecten op basis van een simpel gestandaardiseerd rekenkundig schema (algoritme). De objecten doorlopen achtereenvolgens elk het gehele scala waarden via zgn. 'geneste' cycli (loops), waardoor ze hun unieke, geordende waarheidswaardepatronen verkrijgen. Vervolgens worden alle overige geordende waardencombinaties ingevuld. Op deze manier ontstaat de tabel als een sluitend, samenhangend geheel van alle mogelijke volgordes van (waarheids)waarden, oftewel (waarheids)waardepatronen t, bij parameters (d,v).
De waardepatronen zijn te vergelijken met uitspraken met minstens één gezegde c.q. hoofdzin of bijzin, oftewel 'zinnen'.
Ze hebben in een binair systeem de vorm van binaire getallen. Elk hiervan heeft een lengte van b waardeconstanten. De laatste zijn te vergelijken met lettertekens of symbolen in geschreven taal.
De lengte b komt overeen met de hoeveelheid informatie in standaard eenheden: bits.
Bovendien geeft de tabel volkomen gegarandeerd alle mogelijke elementaire logische relaties weer in hun vaste, directe onderlinge logische relaties.

T

·(v,d)w : De geordende verzameling van alle cellen in de waarheidswaardentabel.
tw : Het totale aantal cellen in de bijbehorende waarheidswaardentabel.

Omvang.


Het getal tw wordt uiteraard nog groter dan t, nl. het product van het aantal domeintoestanden (rijen) b, en het aantal toestandsrelaties (kolommen) t.
{ v, d, b, t

|

(tw ((tw

=

|

T

·(v,d)w

|

);
(tw
 

=

|

(

T

*(v,d),

B

*(v,d) )

|

;  

=

(

|

T

*(v,d)

|

*

|

B

*(v,d)

|

);  

=

(

|

B

*(v,b)

|

*

|

B

*(v,d)

|

);
 

=

v **(v **d ) *v **d;  

=

v **((v **d) +d ) ) )tw )t, b, d, v }.

In een binair systeem.


Onder (v

=

2 ) geldt:
{ (v

=

2 ) ( tw  

=

|

T

·(2,d)w

|

;  

=

2 **((2 **d) +d ) ) }.
Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

..

} );
volgt (tw

=

{8, 64, 2018, 104 8576, 137 438 953 472, 1.18059162071744 ·(10**21), 4.35561429658752 ·(10**40), 2.96427748447488 ·(10**79), 6.86479766012928 ·(10**156), 1.840837770098688 ·(10**311),

..

};
resp. in bytes (64-bits): {0.125, 1, 32, 16 384, 2 147 483 648, 1.844674407371 ·(10**19), 6.805647338418 ·(10**38), 4.631683569492 ·(10**77), 1.072624634395 ·(10**155), 2.876309015779 ·(10**309),

..

} );

2.1.5.  Redeneervormen.


Of 'denkschema's'.
Wanneer we een redenering opzetten maken we meestal niet gebruik van alle mogelijke logische relaties over het onderwerp in kwestie, maar van een bepaalde selectie, of deelverzameling, uit

T

·(v,d).
Redeneervormen zijn combinaties van logische relaties (d.w.z. gezuiverd van doublures).
Op semantisch niveau zijn dit verzamelingen van voorwaardelijke waarheidsbeweringen die we bezien in conjunctie.
Ze geven het domein weer op een discursief niveau.
In logische talen zijn dit verzamelingen van waarheidswaardepatronen, formules, proposities, theorema's, e.d.: zgn. 'theorieën'.
Voor een solide oordeelsvorming moeten we rekening houden met alle mogelijke selecties.

U

·(v,d) : De verzameling van alle mogelijke unieke redeneervormen.
u : Het totale aantal mogelijke unieke redeneervormen.

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en één item (d

=

1) bestaat de verzameling

U

·(v,d) uit de volgende deelverzamelingen (redeneervormen) hier weergegeven als combinaties van logische relaties gesteld in termen van propositiesymbolen, en in arbitraire volgorde:

U

·(v

=

2,d

=

1)

=


{ {}
,{' T'}
,{' T' ,' F'} {' T' ,' A'} {' T' ,'¬A'}
,{' T' ,' F' ,' A'} ,{' T' ,'F' ,'¬A'} ,{' T' ,' A' ,'¬A'}
,{' T' ,' F' ,' A' ,'¬A'}
,{' F'}
,{' F' ,' A'} ,{' F' ,'¬A'}
,{' F' ,' A' ,'¬A'}
,{' A'}
,{' A' ,'¬A'}
,{¬A'} }.

Omvang.


Het getal u is gelijk aan de som van alle mogelijke unieke ongeordende selecties (zonder interne herhaling) uit

T

·(v,d) - dus van de binomiaalcoëfficiënten van t boven de lengte (aantal logische relaties) t1 per deelverzameling van

T

·v,d.
{ v, d, t

|

(u ((u

=

|

U

·(v,d)

|

);
(u1 ((U*[u1]

U

·(v,d) ); ((u[u1]

=

|

U*[u1]

|

)   (1

u[u1]

t )
(t1 ((u[u1]

=

t1 ) ((U*[u1] U·t1 ) (U·t1

U

·(v,d) ) ) )t1 ) ) )u1 );
(u
 

=

(u1 := 1,

..

u )
u[u1];
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

U·t1

|

);
 

=

(t1 := 1,

..

t )

binomial

(t, t1 );
 

=

|

T

·(v,t)

|

;

=

2 **

|

T

·(v,d)

|

;

=

2 **(v **(v **d)) ) )u )t, d, v }.

In een binair systeem.


Onder (v

=

2 ) geldt:

U

·(v,d) is even groot als de power set van de power set van de power set van

D

·d.
(v

=

2 ) (u

=

|

U

·(2,d)

|

;

=

|

P

**t

|

;

=

|

P

**|

P

**b

|

|

;

=

|

P

**|

P

**|

P

**d

|

|

|

).
Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{1, 2, 3,

..

} );
volgt (u

=

{16, 65 536, 1.157 920 892 373 ·(10**77),

..

} ).

Bereik.


Het getal u blijft ultra-exponentieel in d.
(2

u

<

2 **(0 **(0 **0 ) ) ).

Complexiteitsklasse.


De verzameling

U

·(v,d) blijft algoritmisch doorzoekbaar binnen ultra-exponentiële rekentijd (

3-EXP-TIME

).
(

U

·(v,d)

3-EXP-TIME

(d ) ).

2.2.  Syntactische expansie.


Wanneer we semantische structuren willen vastleggen buiten onze eigen denkwereld, of overdragen aan anderen, zullen we ze eerst in een empirische vorm moeten weergeven, met een tijdruimtelijke structuur, bijvoorbeeld in de lineaire structuur van taaluitingen.

2.2.1.  Afleidingsreeksen (derivaties).


Oftewel redeneerketens.
Voor een 'vertaling' naar syntactische structuur moeten we eerst een bepaalde rangschikking kiezen in de tijd. Dat vereist linearisatie.
Op semantisch niveau is de volgorde van redeneerstappen volstrekt irrelevant voor hun logische inhoud en implicaties. Bijgevolg is ze in de logica op syntactisch niveau volkomen arbitrair. Ze kan naar goeddunken worden gekozen om redenen zoals 'smaak', gemak, conventie, associatie en esthetiek, of, rationeler, omwille van cognitieve ergonomie, dan wel efficiëntie van algoritme c.q. systematiek van bewijsvoering of weerlegging. Door dat arbitraire karakter - en het feit dat de meeste mensen nogal 'hap snap' hun redeneringen opbouwen - kunnen we in de praktijk alle mogelijke variaties in volgorde tegenkomen.
Afleidingsreeksen zijn volgorde variaties, of permutaties, of sequenties, zonder doublures, van elke unieke combinatie van logische relaties (eveneens zonder doublures).
Ze zijn te vergelijken met gegevensregels (records) in een sequentieel databestand.

Omvang.


Het totale aantal mogelijke unieke derivaties y wordt de som van alle mogelijke unieke geordende selecties (zonder interne herhaling) uit

T

·(v,d); dus van de faculteit van de omvang u[u1] van elke deelverzameling van

U

·v,d.
{ v, d, t, u

|

(y ((y

=

|

Y

·(v,d)

|

);
(y1 ((Y*[y1]

Y

·(v,d) ) ((y[y1]

=

|

Y*[y1]

|

)   (1

y[y1]

t )
(t1 ((y[y1]

=

t1 ) ((Y*[y1] Y·t1 ) (Y·t1

Y

·(v,d) ) ) )t1 ) ) )y1 );
(y
 

=

(y1 :=1,

..

y )
y[y1];
 

=

(u1 :=1,

..

u )
(u[u1]

!

);
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

U·t1

|

*

(t1

!

) );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

Y·t1

|

);
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(

binomial

(t, t1 )

*

(t1

!

) );
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(t

*

(t -1 )

..

*

(t -t1 +1 ) ) ) )y )u, t, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
bij (d

=

{1, 2,

..

} );
volgt (y

=

{64, 56 874 039 553 216,

..

} ).

Het is duidelijk dat het getal y al bij een redelijk alledaags aantal items d enigszins bizar van proportie - althans naar menselijke maatstaven, maar ook in termen van mechanische berekenbaarheid (computability). Niettemin is de volledige verzameling van die mogelijke volgordes,

Y

·(v,d), in feite het bereik waarin we onze alledaagse 'gedachtensporen' vormen, waarbij we uiteraard volledige vrijheid hebben om onze denkstappen te rangschikken in elke volgorde die we verkiezen.
Aan de andere kant is het ook de zoekruimte waain we de redeneringen van anderen begrijpen en op waarde proberen te schatten wat betreft hun 'redelijkheid', of meer precies, hun logische validiteit.

Complexiteitsklasse.


De verzameling

Y

·(v,d) laat in omvang weliswaar een enorme 'explosie' zien ten opzichte van de verzameling

U

·(v,d), maar deze toename is niet exponentieel zodat

Y

·(v,d) binnen dezelfde complexiteitsklasse blijft.

2.2.2.  Redeneerschakels ('denkstappen').


Dit zijn de verschillende elementen binnen de afleidingsreeksen.
Ze zijn te vergelijken met gegevensvelden, cellen of 'adressen' in een data record.

Omvang.


Het totale aantal redeneerschakels e wordt de som van het produkt van het aantal mogelijke derivaties y[y1] en de lengte (aantal logische relaties) t1 van elke deelverzameling van

U

·v,d.
{ v, d, t, u, y

|

(e ((e

=

|

E

·(v,d)

|

);
(e1 ((E[e1]

E

·(v,d) ); ((E*[e1]

=

{E[e1] } ) ((e[e1]

=

|

E*[e1]

|

) (e[e1]

=

1 );
(t1 y1 ((y[y1]

=

t1 ) ((y[y1]

=

(e[e1] *t1 ) ) ((E[e1] Y*[y1] )
((

|

E·t1

|

=

(

|

Y·t1

|

*t1 ) ) ((E[e1] E·t1 ) (E·t1

E

·(v,d) ) ) ) ) ) )y1, t1 ) ) ) )e1 );
(e
 

=

(e1 :=1,

..

e )
e[e1];
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

U·t1

|

*

(t1

!

)

*

t1 );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

Y·t1

|

*

t1 );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

E·t1

|

);
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(

binomial

(t, t1 )

*

(t1

!

)

*

t1 );
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(t

*

(t -1 )

..

*

(t -t1 +1 )

*

t1 ) ) )e )y, u, t, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2,

..

} );
volgt (e

=

{196, 853 110 593 298 256,

..

} ).

2.2.3.  Gecodeerde Redeneerschakels ('zinnen').


Dit behelst de hoeveelheid informatie die we minimaal nodig hebben om de schakels in de mogelijke afleidingsreeksen weer te geven.
De meest 'zuinige' oplossing volgt een strikt eenduidig stramien van codering, namelijk in termen van (waarheids)waardenpatronen, oftewel binaire getallen. Elk hiervan heeft - zoals eerder gezegd - een lengte van b waarde constanten, wat overeenkomt met de hoeveelheid informatie in standaard eenheden: bits.

Omvang.


Het totale aantal gecodeerde redeneerschakels g wordt de som van het produkt van het aantal mogelijke redeneerschakels e[e1] en de lengte (aantal waarde constanten) b bij parameters {v,d}.
{ v, d, b, t, u, y, e

|

(g ((g

=

|

G

·(v,d)

|

);
(g1 ((G[g1]

G

·(v,d) ); ((G*[g1]  

=

{G[g1] } ) ((g[g1]

=

|

G*[g1]

|

) (g[g1]

=

1 );
(t1 y1 ((y[y1]

=

t1 ) (e1 ((E*[e1] E·t1 ) ((G[g1] E*[e1] )
((

|

G·(t1,b)

|

=

(

|

E·t1

|

*b ) ) ((

|

G·(t1,b)

|

=

(

|

Y·t1

|

*

t1

*

b ) );
((G*[g1] G·(t1,b) ) (G·(t1,b)

G

·(v,d) ) ) ) ) ) )e1 )y1, t1 ) ) ) )g1 );
(g
 

=

(g1 :=1,

..

g )
g[g1];
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

U·t1

|

*

(t1

!

)

*

t1

*

b );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

Y·t1

|

*

t1

*

b );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

E·t1

|

*

b );
 

=

(t1 := 1,

..

t )
(

|

G·(t1,b)

|

);
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(

binomial

(t, t1 )

*

(t1

!

)

*

t1

*

b );
 

=

(t1 :=1,

..

t )
(t

*

(t -1 )

..

*

(t -t1 +1 )

*

t1

*

b ); ) )g )e, y, u, t, b, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2,

..

} );
volgt (g

=

{392, 3 412 442 373 193 024,

..

};
resp. in bytes (64-bits) {6.125, 53 319 412 081 141 (ca. 53 Terabyte),

..

} ).
Met andere woorden, om alle mogelijke unieke logische redeneerketens in termen van hun redeneerschakels extensioneel in standaard binaire code uit te schrijven, zonder syntactische doublures of andere (i.e. semantische) redundantie, hebben we in een binair waardensysteem voor slechts twee objecten al een 64-bits opslagruimte nodig van tenminste ca. 53 Terabyte.

3.  Interpretatie.


Een cruciale vraag in het dagelijks leven is: hoe kunnen we de waarde van een willekeurige hoeveelheid informatie bepalen? Dat kan gaan om bijv. bruikbaarheid, geloofwaardigheid, aannemelijkheid, betrouwbaarheid, .. en uiteindelijk waarheidsgehalte. In feite betekent dit dat we informatie willen kunnen herleiden (decoderen) naar reële eigenschappen van het domein waarop ze betrekking heeft. Anders gezegd, we zoeken naar een zinvolle, liefst een optimale interpretatie.

3.1.  Syntactische reductie.


De informatie die we tegenkomen is vaak 'verpakt', of gedecodeerd, in een bepaalde empirische vorm, zoals spraakgeluid, schrift, of andere symbolen.

3.1.1.  Taaltekens naar redeneerschakels.


De eerste stap om de informatieve inhoud te weten te komen, is decodering van de gegevens volgens het specifieke coderingssysteem, de taal waarin ze gesteld zijn. Dit betekent allereerst herkenning van woorden en zinnen.
Voor het doel van dit overzicht gaan we uit van het uiterst simpele geval van het strikt eenduidige, kunstmatige systeem van binaire codering. We kunnen dan bijvoorbeeld bits uit de verzameling

G

 (v,d) herleiden tot redeneerschakels van de verzameling

E

 (v,d).

3.1.2.  Redeneerschakels naar afleidingsreeksen.


De tweede stap is het herkennen van redeneerketens in de voorgaande verzameling redeneerstappen. Hiervoor maken we gebruik van syntactische regels, de grammatica. Daarmee kunnen we de redeneerstappen van de verzameling

E

 (v,d) eenvoudig groeperen in verschillende redeneerketens c.q. afleidingsreeksen van de verzameling

Y

·(v,d).

3.1.3.  Afleidingsreeksen naar redeneervormen.


De derde stap is het wegwerken van de volgorde 'effecten' van de redeneerstappen binnen de afleidingsreeksen. Zoals we hierboven zagen is deze volgorde syntactisch volkomen arbitrair.
We kunnen dus simpel één enkelvoudig, algemeen, volledig eenduidig en consequent ordeningsprincipe kiezen, en daarmee valt alle volgorde variatie weg. Een meestal toereikend principe is bijvoorbeeld standaard sortering naar lengte respectievelijk alfabet.
Het resultaat daarvan is dat we de afleidingsreeksen uit de verzameling

Y

·(v,d) terugbrengen naar redeneervormen uit de verzameling

U

·(v,d).

3.2.  Semantische reductie.


Hoe kunnen we de logische 'status', c.q. de semantische waarde, van een willekeurige redenering beoordelen? Dat betekent dat we een bepaalde deelverzameling van

U

·(v,d) willen kunnen beoordelen op haar waarheidswaarde, meer in het bijzonder haar logische geldigheid of validiteit.

3.2.1.  Consistente redeneervormen.


Wat we tenminste willen weten is of redeneervormen überhaupt 'serieus te nemen' zijn, dat wil zeggen, in aanmerking komen voor een beoordeling op logische geldigheid. Daarvoor kijken we redelijkerwijs eerst naar redeneervormen die in principe 'waar te maken' zijn, oftewel vervulbaar. Dat betekent dat ze tenminste vrij van interne strijdigheden zijn, met andere woorden, ze zijn consistent.
We moeten dan rekening houden met de verzameling van alle grootst mogelijke nog consistente deelverzamelingen van

U

·(v,d).
Hiervan zijn vier verschillende varianten, afhankelijk van het stadium in de procedure van selectie dat we kunnen toepassen.
Al deze varianten bezien we uiteraard weer zonder (syntactische) doublures binnen of tussen de deelverzamelingen.

3.2.1.1.  Consistente Redeneervormen: zonder directe contradicties.


Dit zijn deelverzamelingen van

U

·(v,d) zonder bewezen onwaarheid (falsum) of beweringen die complementair zijn.
De verzameling van alle mogelijke unieke consistente redeneervormen, zeg

U

·(v,d)(

C

)
, bestaat dus uit een (semantisch zwakkere) selectie van de deelverzamelingen van

U

·(v,d).

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2) bestaat de verzameling

U

·(v,d) (

C

)
uit de volgende deelverzamelingen (consistente redeneervormen), elk met elementen (logische relaties), hier weergegeven met propositiesymbolen en in arbitraire volgorde:

U

·(v

=

2,d

=

2)
(

C

)
 

=


{ {

$

(1111)}
,{

$

(1100)} ,{

$

(1010)} ,{

$

(0011)} ,{

$

(0101)}
,{

$

(1000)} ,{

$

(0100)} ,{

$

(0010)} ,{

$

(0001)}
,{

$

(1110)} ,{

$

(1101)} ,{

$

(1011)} ,{

$

(0111)}
,{

$

(1001)} ,{

$

(0110)} }.
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende logische relaties zijn daarbij achtereenvolgens:

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

consis

)
 

=


{ {' T'}
,{' A'} ,{' B'} ,{'¬A'} ,{'¬B'}
,{'( A B)'} ,{'( A ¬B)'} ,{'(¬A B)'} ,{'(¬A ¬B)'}
,{'( A B)'} ,{'( A ¬B)'} ,{'(¬A B)'} ,{'(¬A ¬B)'}
,{'( A B)'} ,{'( A

#

B)'} }.

Omvang.


De omvang van

U

·(v,d)(

C

)
, is, zeker bij iets grotere basisparameters, lastig te berekenen. Hieronder volgt een benaderingsformule.
{ v, d, t, u

|

(u(

C

)
((u(

C

)

=

|

U

·(v,d)(

C

)

|

);
(u1 ((U*[u1]

U

·(v,d) ); (¬(U*[u1] ) (CONSIS(U*[u1] );
((U*[u1](

C

)

:=

U*[u1] ) (U*[u1](

C

)

U

·(v,d)(

C

)
)
(u[u1](

C

)

=

|

U*[u1](

C

)

|

)   (1

u[u1](

C

)

(t /2 ) ) ) ) )u1 );
(

U

·(v,d)(

C

)

:=

( U*[u1](

C

)
) );
(u(

C

)
 

=

(u1 := 1,

..

u )
(U*[u1](

C

)

U

·(v,d)(

C

)
)

|

u[u1] ) );
(u(

C

)
 

<

(t1 :=1,

..

(t /2 ) )
(

binomial

((t /2 ), t1 )

*

b ) ) )u )t, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2,

..

} );
volgt (u(

C

)

=

{5, 941,

..

} ).

3.2.1.2.  Consistente redeneervormen van (1), zonder semantische redundantie binnen redeneervormen.


Deze verzameling is gelijk aan de vorige versie, maar nu na (uitputtende) parafrase reductie binnen elke deelverzameling. Hierdoor vallen alle logisch 'zwakkere' elementen binnen de deelverzamelingen weg, zonder informatieverlies. Hierdoor ontstaan veel 'dubbele' deelverzamelingen, die uiteraard kunnen worden weggelaten, eveneens zonder informatieverlies. De verzameling van alle mogelijke unieke minimale consistente redeneervormen, zeg

U

·(v,d)(

Cm

)
, bestaat dus uit een (semantisch gelijkwaardige) comprimatie van

U

·(v,d)(

C

)
- verkregen via parafrase resp. doublure reductie - van haar deelverzamelingen.

Omvang.


Interessant is dat de omvang van

U

·(v,d)(

Cm

)
gelijk is aan die van de verzameling

T

·(v,d) waarbij elke logische relatie één afzonderlijke deelverzameling in beslag neemt, uitgezonderd het éne element falsum.
{ v, d, t, u(

C

)

|

(u(

Cm

)
((u(

Cm

)

=

|

U

·(v,d)(

Cm

)

|

);
(u(

Cr

)
((u(

Cr

)

=

|

U

·(v,d)(

Cr

)

|

);
(u1(

C

)
((U*[u1](

C

)

U

·(v,d)(

C

)
);
(u1(

Cr

)
((U*[u1](

Cr

)

:=

parf-reduc

(U*[u1](

C

)
) (U*[u1](

Cr

)

U

·(v,d)(

Cr

)
) )u1(

Cr

)
) )u1(

C

)
) )u(

Cr

)
);
(

U

·(v,d)(

Cr

)

:=

( (u1(

C

)
:= 1,

..

u(

C

)
)
(u1(

Cr

)
(u1(

Cr

)

=

u1(

C

)
)u1(

Cr

)

|

U*[u1](

Cr

)
) ) );
((

U

·(v,d)(

Cm

)

:=

doub-reduc

(

U

·(v,d)(

Cr

)
);
(u1(

Cm

)
((U*[u1](

Cm

)

U

·(v,d)(

Cm

)
);
((u[u1](

Cm

)

=

|

U*[u1](

Cm

)

|

)   (u[u1](

Cm

)

=

1 ) ) )u1(

Cm

)
) );
(u(

Cm

)
 

=

(U*[u1](

Cm

)

U

·(v,d)(

Cm

)
)

|

u[u1](

Cm

)
;
 

=

(t -1 ) ) )u(

Cm

)
)u(

C

),
t, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2, 3,

..

} );
volgt (u(

Cm

)

=

{3, 15, 255,

..

} ).

3.2.1.3.  Consistente redeneervormen van (2), zonder semantische redundantie tussen redeneervormen.


Vervolgens bekijken we de redeneervormen van

U

·(v,d)(

Cm

)
, die elk direct, als domeintoestand uit

B

 (v,d), een afbeelding kunnen vormen van het bijbehorende domein. Elk hiervan bestaat zoals we eerder zagen uit d objecttoestanden

H

 (v,d): voor elk object precies één.
De parafrase-gereduceerde verzameling van alle mogelijke unieke minimale consistente redeneervormen, zeg

U

·(v,d)(

Cmr

)
, bestaat dus uit een selectie van deelverzamelingen van

U

·(v,d)(

Cm

)
.

Omvang.


De omvang van

U

·(v,d)(

Cmr

)
is uiteraard gelijk aan b.
{ v, d, b, u(

Cm

)

|

(u(

Cmr

)
((u(

Cmr

)

=

|

U

·(v,d)(

Cmr

)

|

);
((

U

·(v,d)(

Cmr

)

:=

parf-reduc

(

U

·(v,d)(

Cm

)
) );
(u1(

Cmr

)
((U*[u1](

Cmr

)

U

·(v,d)(

Cmr

)
)
((u[u1](

Cmr

)

=

|

U*[u1](

Cmr

)

|

)   (u[u1](

Cmr

)

=

d ) ) )u1(

Cmr

)
);
(

U

·(v,d)(

Cmr

)

:=

( U*[u1](

Cmr

)
) );
(u(

Cmr

)
 

=

(U*[u1](

Cmr

)

U

·(v,d)(

Cmr

)
)

|

u[u1];
 

=

b ) ) )u(

Cmr

)
)u(

Cm

),
b, d, v }.

Voorbeeld.


De vorige versie van de 'primitieve' verzameling,

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

mC

)
,   na deze bewerking:

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

Cmr

)
 

=

{ {

$

(10)} ,{

$

(01)} };
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende redeneringen zijn daarbij [ achtereenvolgens:]

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

Cmr

)
 

=

{ {' A'} ,{'¬A'} }.
We kunnen de situatie ook met een iets grotere verzameling bekijken.

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2) kan de verzameling

U

·(v,d) (

Cmr

)
bestaan uit de volgende deelverzamelingen met elementen (waarheidswaardepatronen), in arbitraire volgorde:

U

·(v,d)(

Cmr

)
 

=

{ {

$

(1000) } ,{

$

(0100) } ,{

$

(0010) } ,{

$

(0001) } }.
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende logische relaties zijn daarbij achtereenvolgens:

U

·(v,d)(

Cmr

)
 

=

{ {'( A B)' } ,{'( A ¬B)' } ,{'(¬A B)' } ,{'(¬A ¬B)' } }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2, 3,

..

} );
volgt (u(

Cmr

)

=

{2, 4, 8,

..

} ).

3.2.1.4.  Consistente redeneervormen van (3), met alle afleidbare consistente redeneerstappen.


Dat zijn de zgn. 'maximaal consistente' deelverzamelingen (Niet te verwarren met de verzameling onder (1)).
Voor dit type (deel)verzameling zijn exacte voorwaarden gedefinieerd.
(1) Ze bevat uitsluitend redeneerschakels die met de andere elementen binnen de (deel)verzameling c.q. redeneervorm (consistent) verenigbaar zijn.
(2) Elk semantisch afwijkend element dat nog aan de (deel)verzameling wordt toegevoegd leidt tot contradictie met één of meer aanwezige elementen, dus inconsistentie van de (deel)verzameling.
De verzameling van alle mogelijke unieke 'maximaal consistente' redeneervormen, zeg

U

·(v,d)(

mC

)
, bestaat uit alle deelverzamelingen van

U

·(v,d)(

Cmr

)
die maximaal zijn uitgebreid terwijl ze nog steeds consistent blijven.
Het resultaat wordt dus gevormd door een selectie uit

U

·(v,d)(

C

)
van uitsluitend die (unieke, consistente) deelverzamelingen met maximale omvang die (uiteraard) nog intern consistent zijn èn die ook onderling consistent zijn.
Elke deelverzameling van de verzameling

U

·(v,d) (

mC

)
behoort tot de categorie, of het type, van zogeheten Hintikka verzamelingen.
(Het omgekeerde geldt niet noodzakelijk).

Omvang.


De omvang van

U

·(v,d)(

mC

)
, is gelijk aan de helft van t.
{ v, d, b, t, u(

C

)

|

(u(

mC

)
((u(

mC

)

=

|

U

·(v,d)(

mC

)

|

);
(u1(

C

)
((U*[u1](

C

)

U

·(v,d)(

C

)
); (((u[u1](

C

)

=

|

U*[u1](

C

)

|

) (1

u[u1](

C

)

(t /2 ) ) );
((u[u1](

C

)

=

(t /2 ) )
(u1(

mC

)
((U*[u1](

mC

)

:=

U*[u1](

C

)
) (U*[u1](

mC

)

U

·(v,d)(

mC

)
) )u1(

mC

)
);
(

U

·(v,d)(

mC

)

:=

( U*[u1](

C

)
) );
(u(

mC

)
 

=

|

(u1(

mC

)
:= 1,

..

u(

mC

)
)
(U*[u1](

mC

)

U

·(v,d)(

mC

)
) u[u1];
 

=

b ) ) )u(

mC

)
)u(

C

),
t, d, v }.

In een binair systeem.


Bijv., onder (v

=

2 );
uit (d

=

{1, 2, 3,

..

} );
volgt (u(

mC

)

=

2, 8, 128, 32 768,

..

} ).

Voorbeeld.


De vorige versie van de 'primitieve' verzameling,

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

C

)
  na deze bewerking:

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

mC

)
 

=

{ {

$

(11), ,

$

(10)} ,{

$

(11), ,

$

(01)} };
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende redeneringen zijn daarbij [ achtereenvolgens:]

U

·(v

=

2,d

=

1)
(

mC

)
 

=

{ {' T' ,' A'} ,{' T' ,'¬A'} }.
We kunnen de situatie ook met een iets grotere verzameling bekijken.

Voorbeeld.


Bij twee waarheidswaarden (v

=

2, binair systeem) en twee items (d

=

2) bestaat de verzameling

U

·(v,d) (

mC

)
uit de volgende deelverzamelingen met elementen (waarheidswaardepatronen), in arbitraire volgorde:

U

·(v

=

2,d

=

2)
(

mC

)
 

=


{ {

$

(1000) ,

$

(1100) ,

$

(1010) ,

$

(1001) ,

$

(1110) ,

$

(1101) ,

$

(1011)

$

(1111) }
,{

$

(0100) ,

$

(1100) ,

$

(0101) ,

$

(0110) ,

$

(1110) ,

$

(1101) ,

$

(0111)

$

(1111) }
,{

$

(0010) ,

$

(0011) ,

$

(1010) ,

$

(0110) ,

$

(1110) ,

$

(1011) ,

$

(0111)

$

(1111) }
,{

$

(0001) ,

$

(0011) ,

$

(0101) ,

$

(1001) ,

$

(1101) ,

$

(1011) ,

$

(0111)

$

(1111) } }.
De meestal gebruikelijke syntactische vormen (formulevormen) voor de bijbehorende logische relaties zijn daarbij achtereenvolgens:

U

·(v

=

2,d

=

2)
(

mC

)
 

=


{ {'( A B)' ,' A' ,' B' ,'( A B)' ,'( A B)' ,'(¬A B)' ,'( A ¬B)' ,' T' }
,{'( A ¬B)' ,' A' ,'¬B' ,'( A

#

B)' ,'( A B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' }
,{'(¬A B)' ,'¬A' ,' B' ,'( A

#

B)' ,'( A B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' }
,{'(¬A ¬B)' ,'¬A' ,'¬B' ,'( A B)' ,'( A ¬B)' ,'(¬A B)' ,'(¬A ¬B)' ,' T' } }.

3.2.2.  Ware redeneervorm(en).


Tenslotte bekijken we welke van de consistente redeneervormen op waar uitkomen.
Er zijn voor zo'n zogeheten evaluatie twee mogelijkheden.

3.2.2.1.  Geldigheid - onafhankelijk van domein.


Logisch geldig is in ieder geval één of meer van de consistente redeneervormen uit de (maximale) verzameling van mogelijke minimale consistente redeneervorm(en),

U

·(v,d)(

Cm

)
.
De verzameling van alle mogelijke unieke logisch geldige redeneervorm(en), zeg

U

·(v,d)(

Cmd

)
, bestaat dus in alle gevallen uit één samengesteld element: de disjunctie van alle redeneervormen uit die verzameling, zoals gezegd elk bestaande uit één logische relatie.

Omvang.


{ v, d, u(

Cm

)

|

(u(

Cmd

)
((u(

Cmd

)

=

|

U

·(v,d)(

Cmd

)

|

);
(n ((n

=

u(

Cm

)
) ((n

=

(t -1 ) )
(

U

·(v,d)(

Cmd

)
 

:=

{U*[1](

Cm

)
U*[2](

Cm

)

..

U*[n](

Cm

)
};
 

:=

( (u1(

Cm

)
:= 1,

..

u(

Cm

)
)
(U*[u1](

Cm

)

U

·(v,d)(

Cm

)
)u1(

Cm

)

|

U*[u1](

Cm

)
) ) ) )n );
(u(

Cmd

)
 

=

1 ) )u(

Cmd

)
)u(

Cm

)
, d, v }.

3.2.2.2.  Waarheid - afhankelijk van domein.


Pas wanneer we redeneervormen op een een specifiek domein toepassen zal blijken of één of meer van de domeintoestanden uit

B

·(v,d) van toepassing is, of zogezegd 'het geval is'. Hierbij vindt parafrase reductie plaats op alle nog 'openstaande' mogelijkheden uit de disjunctie van consistente redeneervormen,

U

·(v,d)(

Cmd

)
(via transferende equivalentie reductie).
Omdat die disjunctie tegelijk alle mogelijkheden van vervulbare redeneervormen bevat, komt deze operatie neer op uitputtende degressief reductie.
Het eindresultaat hiervan is de verzameling van alle mogelijke unieke ware redeneervormen, zeg

U

·(v,d)(

rdu

)
. Deze bestaat in alle mogelijke gevallen uit één element: 'waarheid' (verum, oftewel '

$

1').
Daarmee verliezen we overigens elke mogelijkheid om verder informatie af te leiden, dus alle logische kracht. Deze laatste stap brengt ons dus op het eindpunt van de gehele cyclus van expansie en reductie van een logisch systeem binnen de reikwijdte van zijn waardenschaal.

Omvang.


{ v, d, u(

Cmr

)

|

(u(

rdu

)
((u(

rdu

)

=

|

U

·(v,d)(

rdu

)

|

);
(u1(

Cmr

)
((U*[u1](

Cmr

)

U

·(v,d)(

Cmr

)
) ((U*[u1](

Cmr

)
)

$

=

1 ) ((U*[u1](

Cmr

)

$

1 )
((

U

·(v,d)(

rdu

)

=

U*[u1](

Cmr

)
) (

U

·(v,d)(

rdu

)

$

1 ) ) ) ) )u1(

Cmr

)
);
(u(

rdu

)
 

=

1 ) )u(

rdu

)
)u(

Cmr

)
, d, v }.

C.P. van der Velde © 2014, 2018.