Methode Formele Logica:

   

Inleiding

Formele Logica



Voordelen van formalisering en toepassing van logica.




1. Waarheidsclaims



Logica is allereerst toepasbaar op gedachten en denkbeelden, waarin op zijn minst wordt aangenomen dat iets waar is of zou kunnen zijn. Maar dat zijn vrijwel alle gedachten en denkbeelden: er wordt altijd wel íets voor waar gehouden. (Zelfs in zinnen als 'Niets is waar' of 'Waarheid bestaat niet').
De toepasselijkheid van logica is daarom zeker niet beperkt tot stellingen met een expliciete waarheidsclaim. Elk idee of zelfs maar vermoeden van waarheid herbergt onvermijdelijk oneindig veel logische implicaties, zeker wanneer het kader, universum of domein onbegrensd is. Bijvoorbeeld, als ik zeg 'Ik heb een fiets' dan zeg ik per implicatie oneindig veel méér, zoals: 'Ik heb een fiets en/of een vliegtuig en/of ..' enzovoorts.
Zelfs over volkomen fictieve of virtuele werelden kunnen we prima over waarheid redeneren. Bijvoorbeeld, de zin 'De kerstman heeft een witte baard' heeft binnen een bepaald kader de voorkeur boven 'De kerstman heeft een rode baard'.
Verder is stellen dat iets niet waar is, oftewel onwaar, eveneens een bewering over waarheid of waarheidsgehalte van iets.
Kortom, vrijwel alle soorten informatie, taaluitingen en voorstellingen lenen zich voor analyse op logische kenmerken en implicaties.

Elk aspect van een bepaalde hoeveelheid informatie dat iets 'zegt' over de (on)waarheid van een bepaalde toedracht, impliciet of expliciet, kunnen we een waarheidsbewering noemen.
De kleinste afzonderlijke, herkenbare waarheidsbewering in een hoeveelheid gegevens noemen we een elementaire bewering.

2. Beoordelen van redeneringen



Meerdere elementaire beweringen kunnen samen elementen vormen in een groter geheel, een redenering.

Combinatie van beweringen = redenering.

{Nb. Een redenering kan bestaan uit slechts één element, maar ze kan niet, zoals een verzameling in abstracte (wiskundige) zin, leeg zijn. Een lege verzameling beweringen is in de formele logica overigens per definitie onwaar.}

Vaak herkennen we een redenering in taaluitingen, als een reeks achtereenvolgende uitspraken, of in gedachtegangen, als een reeks denkstappen. Maar in feite herbergt elke denkbare voorstelling van zaken, elke hoeveelheid informatie, een verzameling van minstens één bewering, en dus een redenering in logische zin. Het maakt niet uit of die 'gelijktijdig' ge(re)presenteerd worden keten'.

Uit de manier waarop stellingen gecombineerd worden kunnen we voorspellen welke 'betekenis-effecten' deze hebben op andere stellingen of op de gehele redenering. In het geval van stellingen is dat op het punt van 'waarheidswaarde' en in het geval van redeneringen op het punt van 'geldigheid'.

Definitie:

Geldigheid betekent dat de combinatie van één of meer beweringen, in een redenering of andere voorstelling van zaken, altijd waar is, ongeacht het waarheidsgehalte van de afzonderlijke beweringen.

Om redeneringen zo goed mogelijk te kunnen beoordelen hebben we kennis van logische wetten nodig.

3. Inhoudsvrij redeneren



In de logica werken we met stellingen en redeneringen die ontdaan zijn van 'inhoud' en daardoor algemeen toepasbaar zijn - ongeacht het onderwerp of het gebied van de werkelijkheid (domein) waar we uitspraken over doen.
Bijvoorbeeld als we zeggen 'Niet alle beweringen zijn waar' dan is dat logisch hetzelfde als zeggen 'Minstens één bewering is niet waar'. Het maakt daarbij niet uit van de specifieke inhoud van die beweringen is.
{Nb. Merk wel het verschil op met een zin als 'Niet alle beweringen zijn bewezen waar'. Deze kan waar zijn ongeacht hoeveel beweringen waar zijn of onwaar.}

Afzonderlijke stellingen - of elementaire beweringen - leveren in combinatie samengestelde beweringen op, oftewel redeneringen.
Zo kunnen we redeneren
• van specifiek naar algemeen (generaliseren),
• van algemeen naar specifiek (specificeren),
• of op hetzelfde niveau (leveling).

We kunnen bijvoorbeeld redeneren van
(·) Een uitspraak over een specifiek geval, een individu (singulier):
'Deze/die bewering is waar' (over een betoog van precies één stelling).
(·) naar een minder specifieke existentiële uitspraak (particulier):
'Er bestaat een bewering die waar is' (dus minstens één).
(·) Vanaf dat punt kunnen we redeneren naar het iets algemenere meervoud:
'Er bestaan meerdere beweringen die waar zijn' (dus minstens twee), of, wat ongeveer op hetzelfde neerkomt, 'Deze/die beweringen zijn waar',
(·) ..
(·) en zo verder, tot uiteindelijk het meest algemene niveau, een universele uitspraak (categorisch):
'Alle beweringen zijn waar' (een verzameling van de grootst mogelijke omvang).
{N.b. In dit geval verliest het begrip 'waarheid' elk onderscheidend vermogen, en vervalt dus elk waarheidsbegrip.
In feite is dit de consequentie van elke onware bewering, falsum c.q. contradictie, volgens de logische wet 'Uit onwaarheid is wat dan ook afleidbaar' (Ex falso sequitur quodlibet).
Wet: { i ($0 F[i])i }.}
Dit laatste kunnen we ook zo stellen: 'Zodra niets (meer) als waar geldt, dan is alles waar'. }.

4. Mogelijkheden die de logica biedt.



Kort gezegd biedt logica de volgende interessante mogelijkheden:

(1) Het kunnen weergeven van waarheidsaspecten
van elke denkbare voorstelling van zaken.
Daardoor maken we de kenmerken duidelijk die direct bepalend zijn voor de aannemelijkheid van de informatie.

(2) Herordening van de logische structuur
, en omzetting in - oneindig veel mogelijke - gelijkwaardige beweringen, via omzettingsregels (transformatieregels).
Hierdoor kunnen we heel precies varianten herkennen die gelijkwaardig zijn aan de gegeven voorstelling.

(3) Analyse van de logische structuur
van elke denkbare voorstelling van zaken en daardoor kunnen afleiden c.q. blootleggen van talrijke impliciete aannamen, verbanden en consequenties, via afleidingsregels (productieregels).
Dit maakt de voorwaarden duidelijk waarvan de aannemelijkheid afhankelijk is.

(4) Kunnen beslissen over waarheid en geldigheid
van beweringen;
(a) hetzij inhoudsvrij, los van domein of specifieke interpretatie;
(b) hetzij onder een bepaalde interpretatie c.q. domein.
Hierdoor komen we te weten in hoeverre de informatie betrouwbaar en bruikbaar is.

5. Bewijsvoering in de logica.



De logica biedt een enorme vrijheid om creatieve ideeën te ontwikkelen, maar zonder bewijs houden deze de status van voorlopige aannamen. Er kan in de logica dus heel veel worden verondersteld, maar niets worden gesteld als waar zonder een perfecte, sluitende bewijsvoering.

Logische bewijsvoering kan op verschillende niveau's van abstractie plaatsvinden: gericht op de waarheidswaarde van beweringen, of de geldigheid van redeneringen, of nog abstracter, de beslisbaarheid van die geldigheid.
Vooral het bewijzen van logische geldigheid is van belang omdat daarmee de logische regels en wetten kunnen worden bepaald die onmiddellijk bruikbaar zijn voor correcte redenering en steekhoudende conclusies, ongeacht het specifieke onderwerp.

6. Inhoudsvrij bewijzen.



Als eerste leent de logica zich bij uitstek voor 'inhoudsvrije bewijsvoering': beweringen en voorstellingen worden niet beoordeeld op hun inhoud, maar op hun opbouw en samenhang, met name hun logische structuur. Dat heeft het voordeel dat de bewijsvoering niet afhankelijk is van de specifieke inhoud met haar vrijwel oneindig variërende details.
{Nb. Tegenover dit voordeel staat wel een nadeel: de toepassing van logica is afhankelijk van het gebruik van strikt afgebakende, volstrekt eenduidige termen en begrippen. De gebruikte begrippen worden uiteindelijk echter ontleend aan de natuurlijke taal met al zijn dubbelzinnigheden en 'wazige randen'. Voor praktische toepassingen dient logica uiteindelijk aan te sluiten op de fysische en sociaal-psychologische realiteit met alle kenmerken van 'open systemen'. Er zijn daarom vele pogingen ondernomen om logische systemen te ontwerpen die beter aansluiten op alle nuances en variaties in de werkelijkheid, met name zogeheten fuzzy logic systemen. Maar naarmate de expressie-mogelijkheden van een logisch systeem toenemen verliezen we vaak aan beslisbaarheid die juist het doel is van elk logisch systeem en de kracht van de 'zuivere' logica. Toch blijft de waarde van formele logica onvervangbaar: ze maakt duidelijk hoe eenduidig taalgebruik en geldige redenering kunnen worden bevorderd, waardoor de kwaliteit van informatie toeneemt en betrouwbare waarheidsvinding binnen bereik komt.}

Een inhoudsvrije bewijsvoering berust op een beoordeling van beweringen en denkbeelden op hun logische structuurkenmerken. De logica biedt hier volkomen eenduidige richtlijnen voor: formele regels. Als regels of andere onderscheidingen niet eenduidig zijn dan vallen ze ook per definitie buiten de logica.

Definitie:

van een formele logica.
Een formele logica, of formeel logisch systeem: verschaft een kunstmatig, formeel beslissingskader, waarbinnen beweringen en redeneervormen in formulevorm kunnen worden geanalyseerd en beoordeeld.
"De formele logica is de theorie van de formeel geldige redeneringen" (Kutchera & Breitkopf, 1972, p.11).

7. Hoofdfasen in formele bewijsvoering



Een inhoudsvrije bewijsvoering vereist op zijn minst twee stappen of hoofdfasen:

(1)

Formalisering.


Ideeën en gedachtengangen kunnen we meestal in natuurlijke taal weergeven, zoals uitspraken, verhalen of betogen. In taaluitingen zijn altijd logische structuurkenmerken te vinden: ze zijn direct waarneembaar in de waarneembare taalvorm of ze zijn af te leiden uit hun algemeen gangbare betekenis.
{Neem bijvoorbeeld de zinnen: 'Doe je jas aan, het is koud'. De impliciete redenering die we hier uit kunnen afleiden is 'Het is koud; [DUS] doe je jas aan'. Het voegwoord 'dus' (of 'daarom', enz.) is hier het impliciete logische structuurkenmerk.}

Op basis van zulke structuurkenmerken kunnen we vervolgens de 'ruwe' contouren van logische stellingen en redeneervormen herkennen. Die stellingen en redeneervormen kunnen we omzetten in een 'scherpe' formele vorm, dat wil zeggen, in logische expressies (tekenreeksen zoals formules, maar ook schema's, boomdiagrammen en tabellen).

Het voordeel van die formalisering is dat de logische structuur scherp wordt onderscheiden van de niet-logische inhoud, en zeer bondig, volkomen eenduidig en snel beslisbaar wordt weergegeven.
{Toegepast op het vorige voorbeeld krijgen we bijvoorbeeld het schema:
A: 'Het is koud';
B: 'doe je jas aan';
'A B'.}

Formeel: betekent dat gemaakte keuzes volledig navolgbaar en controleerbaar zijn.
Dat wil zeggen volkomen
· expliciet (het vereist geen 'raden' of 'gedachten-lezen') en
· eenduidig (elke uitdrukking heeft precies één mogelijke betekenis).

Voor deze formalisering biedt een logisch systeem specifieke vormvoorschriften: de syntax.

(2)

Interpretatie.


Vervolgens kunnen we beslissen over de logische betekenis, de (on)waarheid respectievelijk (on)geldigheid van logische formules met behulp van de regels van de logica. Dit proces heet logische interpretatie. Hiervoor biedt elk logisch systeem specifieke regels voor betekenisgeving: de semantiek.

Een stelling in de formele logica geeft louter een schema van relaties weer: dat bestaat uit de uiterlijke vorm, d.w.z. de expliciete syntactische structuur, en impliciet de 'lezing' van die vorm, de impliciete semantische structuur.

Een uitdrukking waarvan de precieze waarde (waarheidswaarde, kwantificatie of verwijzingsgebied) (nog) niet bepaald is, wordt in de logica indeterminaat genoemd (onbestemd, onbepaald).

Logische bewijsvoering maakt in ieder geval gebruik van de interpretatieregels voor het beslissen over de waarheidswaarde van beweringen en de geldigheid van redeneringen.

Een formele bewijsmethode is alleen bedoeld voor extensionele toepassingen. Dit betekent dat de bewerkingen altijd (1) op expliciete vormkenmerken horen plaats te vinden en (b) dit uitsluitend volgens de expliciete vormvoorschriften van de taal. Hierdoor blijven ze onafhankelijk van de inhoudelijke betekenis of interpretatie van de logische expressies.

8. Formeel logisch systeem



Inhoudsvrije bewijsvoering gebeurt met behulp van een formeel systeem.
Een logisch systeem is in feite een kunstmatige taal die voorschriften geeft over zowel de mogelijke uitdrukkingsvormen (zinnen) als de mogelijke betekenissen (waarheidswaarden) van beweringen in die taal. Daarom bestaat een formele logica uit een samenhangend geheel (een stelsel) van uitdrukkingsvormen en regels. Deze zijn op basis van hun functie geordend in een aantal groepen (componenten).

Syntax en semantiek.


Analoog aan de natuurlijke taal is er een grammatica (syntax) en een betekenisleer (semantiek).

I. Syntax.


Als eerste bevat een formeel systeem syntactische regels of expressieregels. Deze beschrijven welke vorm c.q. schrijfwijze logische uitdrukkingen (expressies) kunnen hebben om voor interpretatie in aanmerking te komen. Daardoor kan elke dubbelzinnigheid in de betekenis en interpretatie van formules worden vermeden.

De syntax van een formeel systeem omvat de volgende onderdelen:

Ia. De 'grondstof' voor de vorming van 'taalbouwsels'.


Deze bestaat uit een verzameling 'bouwstenen': de taalelementen.
(1)

'Taaltekens': het alfabet.


Een beperkte verzameling basis-elementen, de 'taaltekens': het alfabet, de primitieven. Bijvoorbeeld letters, cijfers, leestekens, e.d..
(2)

Termen: het lexicon.


Een verzameling 'woorden' of 'termen': het lexicon, dictionaire, de vocabulaire. Bijvoorbeeld voegwoorden, propositiesymbolen, predikaatnamen en functienamen.

Ib. 'Bouwvoorschriften'.


Een beperkte verzameling regels hoe uit de elementen van de taal taalbouwsels kunnen worden gevormd: de formatie-regels. Met name regels voor woordcombinaties en zinsbouw.

Syntactische welgevormdheid


Wanneer uitdrukkingen correct gevormd zijn volgens de syntactische regels van het formele systeem noemen we ze 'welgevormd'.
'wff' : een welgevormde formule (well-formed formula).
'WFF(f)' : f is een wff.
'WFF*' : de verzameling van welgevormde formules van een formeel systeem.
'WFF*[

T

]' : de verzameling van welgevormde formules van formeel systeem

T

.

Systematisch creatief


Elke natuurlijke taal kent voor de vorming van taalbouwsels een systematiek van een beperkte verzameling basis-elementen. Met deze beperkte systematiek kunnen in elke taal een oneindig aantal verschillende welgevormde taalbouwsels worden gegenereerd. Dit betekent dat de natuurlijke taal als zodanig creatief van aard is; dat wil zeggen systematisch creatief is.
{Nb. Dit is mogelijk door de aanwezigheid van recursieve elementen, waarbij constituenten naar constituenten van dezelfde categorie kunnen verwijzen, waardoor oneindig diepe inbeddingen mogelijk zijn; bijvoorbeeld: 'Ik denk dat jij denkt dat ik denk dat jij denkt ..'.}
{Nb. Voor de semantische creativiteit van de logica zie: De Creativiteit van de Logica .}

De elementaire bouwstenen in de taalbouwsels kunnen non-terminale elementen zijn, deze bevatten nog 'open' plaatsen, onbekenden c.q. variabelen; en terminale elementen, die bevatten uitsluitend constanten.

II. Semantiek.


De semantische regels in de logica dienen om formules te beoordelen op hun waarheid en geldigheid. De uitkomst wordt aan de formules toegekend door interpretatie c.q. valuatie. Alleen formules die syntactisch welgevormd zijn volgens de syntax van het systeem kunnen binnen dat systeem geïnterpreteerd worden.
De semantische regels zijn binnen het logische systeem in feite logische wetten, dus altijd ware, geldige, dat wil zeggen categorische beweringen anders genoemd: tautologieën.

De logische semantiek omvat in ieder geval de volgende componenten:

IIa. Het 'fundament': de basisaannamen.


Een verzameling uitgangsgegevens van het systeem. Dit zijn elementaire aannamen die niet verder te reduceren zijn.
(1)

Valuatieregels.


Allereerst zijn er regels voor de directe interpretatie en daarmee beslissing van de waarheidswaarde van de kleinste logische stellingen (de atomaire formules, zoals enkelvoudige proposities, predikaties en unit clauses).
(2)

Axioma's.


Een axiomatisch systeem (axiomatiek, axiomatische calculus).
Dit bestaat uit een verzameling van basisregels (axioma's, of axioma-schema's) die de interpretaties bepalen. De bedoeling is dat hiermee de valuatieregels zo efficiënt mogelijk worden samengevat.

IIb. Het 'bouwplan': de afleidingsregels.


Een verzameling regels om een specifieke bewering of redenering op te bouwen op de fundamenten van het systeem.
(1)

Transformatieregels.


Het is verder handig als we in staat zijn om de logische relaties tussen verschillende formules te kennen. Daarvoor zijn omzettings-, herschrijf- of transformatie-regels nodig. Hiermee kunnen we formules omzetten in volkomen gelijkwaardige - equivalente - varianten (parafrasering). Wanneer transformatieregels op geldige formules worden toegepast is de procedure geldigheidsbehoudend (validity preserving).
Bijvoorbeeld regels voor systematische herleiding van een formule naar een equivalente maar minder complexe vorm (tot hoogstens haar waarheidswaarde, 'waar' of 'onwaar'): reductie.
(2)

Deductieregels.


Een deductief systeem, of systeem voor 'natuurlijke deductie'.
Dit zijn regels om uit logische formules subformules van minder logische kracht af te leiden (degressie). Dit soort algemeen geldige 'afleidingsregels' staan bekend als inferentie-, deductie-, productie- en derivatie-regels.

De elementen van deze verzamelingen worden meestal omwille van het gemak en de overzichtelijkheid aangeduid met bondige verkortingen en merktekens (symbolen).

9. Toepassing van het systeem.



Het systeem kan gebruikt worden voor zowel de opbouw als de ontmanteling van redeneringen.
(1)

Constructie/ Codering van beweringen/ redeneringen.


· Op basis van de taalelementen (Ia) en de bouwregels (Ib) kunnen we 'taalbouwsels' vormen die vatbaar zijn voor betekenisgeving en beoordeling.
· Op grond van de uitgangsgegevens (IIa) en met behulp van de afleidingsregels (IIb) kunnen allerlei nieuwe combinaties worden gevormd, zogenaamde afgeleiden (theorema's), waarvan de waarheidswaarde c.q. geldigheid gegarandeerd is.

Definitie:

Een theorema, meestal vertaald als 'stelling', is een bewering of redenering die volgens de inferentieregels van een formeel systeem wordt geproduceerd.

(2)

Decodering/ Analyse van beweringen/ redeneringen.


Willen we omgekeerd weten of een bepaald gegeven X een theorema is van een systeem

S!

,
dan moeten twee dingen worden bewezen:
· De syntactische vorm van X is toelaatbaar in

S!

volgens de syntactische regels van

S!

.
· De syntactische vorm van X kan worden verkregen volgens de semantische regels van

S!

.

Een strikt eenduidige manier om logisch gevolg en geldigheid/ validiteit te bepalen, is de toepassing van een formele afleiding (derivatie), of bewijs c.q. bewijsvoering.

Definitie:

Een afleiding, of derivatie, is de geordende lijst (reeks) van axioma's en theorema's die geproduceerd worden door inferentieregels.
Elk onderdeel van een afleiding is een derivaat.
-
Elders wordt een overzicht gegeven van de logische basisregels, om te beginnen met die van het simpelste systeem, de Propositielogica.


Zie verder ..